专题1.5 平方差公式（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3平方差公式 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01平方差公式 知识清单 知识点02平方差公式的变形 题型01判断是否可用平方差公式运算 平方差公式 题型02运用平方差公式进行运算 题型03利用平方差公式进行简便运算 题型精讲 题型04与平方差公式有关的化简求值 题型05利用平方差公式求解连乘问题 题型06平方差公式在几何图形中的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解平方差公式的几何背景与代数推导，掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2的结构特征。 教学目标 2.能准确识别公式适用的式子结构，并熟练运用公式进行简便计算与整式乘法运算。 3.通过运用公式解决实际问题，发展符号意识，提升代数推理与运算能力。 重点： 1.掌握平方差公式的结构特征，能准确判断何时适用并正确套用公式。 2.熟练运用公式进行计算和化简，并能用于简化某些数字与式子的乘积运算。 教学重难点 教学难点： 1.准确识别公式中的“a”和“b”,尤其是在复杂或变形后的式子中正确对应。 2.理解公式的几何意义，并能灵活应用公式进行逆向变形与简单的推理证明。 知识清单 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=2-b2 【即学即练】1.(25-26七年级下·全国·课后作业)计算： (1)x+3)(x-3= (2)(-x+y)(-x-y)= (3)-6a-b)(-6a+b)=_ 2.(25-26七年级上·上海杨浦·期末)计算：（2x+3)(2x-3)4x2+9. 3.(25-26八年级上·山东济宁·周测)运用平方差公式计算： (1)a+3b)(a-3b): (2)3+2aj(-3+2a; (3)51×49; 知识点02平方差公式的变形 公式的几种变化： ①位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2: (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2 ②系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2 ③指数变化：(2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(ab)2-c2 ⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(ad2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b) 【即学即练】4.(25-26八年级上山东期末) 01-0--20-8) 5.(25-26八年级上云南文山期末)如图1，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，然后将 剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示， a 图1 图2 ()根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式：一 (②)应用以上公式，解答下列问题： ①已知x-2y=3,x+2y=5,求x2-4y2的值； 2/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②计算：20252-2026×2024； 题型精讲 题型01判断是否可用平方差公式运算 【典例1】(25-26七年级上·上海期末)下列各式中能用平方差公式计算的是() A.（3a+2b)(3b-2a B.(m+3n)(3n-m) C.2x+1)(-2x-1) D.(3x-y)(-3x+y) 【变式1】(25-26八年级上·广东江门·月考)下列各式可以用平方差公式的是() A.(-a+4c)(a-4c) B.-3a-1)1-3a C.x-2y)(2x+y) D.（-2x-y)(2x+y 【变式2】(25-26八年级上·云南昆明·期末)下列式子中，不能用平方差公式运算的是() A.（a+b)(a-b B.（-a+b)(-a-b C.(a+b)(-a-b) D.（a+b)-a+b 【变式3】(25-26八年级上·四川内江·期末)下列各式中，不能用平方差公式计算的是() A.（x+y)x-y B.（-x+y(-x-) C.(x+y)(-x-y) D.(x-y)(-x-y) 题型02运用平方差公式进行运算 【典例2】(25-26七年级下·全国·课后作业)计算： (1)(2x+y)2x-y); a后+5j〔-5月 (3)(-5a+3b)(-5a-3b) 【变式1】(25-26七年级下，全国课后作业)计算： (1)(x-2)x+2); (2)(x+2y)x-2y); (3)(3m+2n)3m-2n): (4(4a+3b)(3b-4a). 【变式2】(25-26八年级上全国课后作业)计算： (1)a-1)(a+1; 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)ab+3(ab-3: (3)3a-b)(-3a-b): 行-+ 【变式3】(25-26七年级下，全国课后作业)计算： (1)3x+4)(3.x-4: (2)3a-4b)-4b-3a: g+儿a-月 (42-1)(2+1)(2+1(24+1. 题型O3利用平方差公式进行简便运算 【典例3】(25-26七年级上·上海闵行·期中)利用乘法公式简便运算：999.52-1000.52 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)利用平方差公式简便运算： (1)1.03×0.97: (2)602-58×62. 【变式2】(25-26八年级上全国课后作业)简便运算： (1)1007×993: 2)6652x-3352x1 11 11 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)运用平方差公式计算： (1)197×203. (2)99.8×100.2. (③)602×591 2 3 3 (4) 20252 2026×2024+1 题型04与平方差公式有关的化简求值 【典例4】(25-26八年级上陕西安康期末)先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-4(x+y)(x-2y),其中 x=-2,y=2 1 【变式1】(25-26八年级上·云南昆明期中)先化简，再求值：x-2y)-(2x-y)(2x+y)-x(x-4y),其中 (x-1)2+y+2=0 4/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上北京期中)已知3a2-a-1=0,求代数式(2a+1)(a-1)+(a+3)(a-3)的值. 【变式3】(25-26八年级上北京西城期中)先化简，再求值：已知x2-x-】=0,求代数式 (x+2)(x-2)+(x+1)(x-3)的值 题型05利用平方差公式求解连乘问题 【典例5】(25-26八年级上江苏苏州月考)计算： 1 【变式1】(25-26八年级上·海南海口·月考)计算： 3+3+3+3+3+司 【变式2】(25-26八年级黑龙江大庆·月考)计算下列各式： 1)1- 20 )0)月 你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式： 00月 【变式3】(24-25八年级上·甘肃武威期末)综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算.(2+1)×(22+1)×(24+1×(2+1)： 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题， 具体解法如下： (2+1)×22+1)×24+1)×(28+1 =(2-1)×(2+1×(22+1×(24+1×(2+1 =(22-1×22+1×24+1×28+1 =(24-1×(24+1×28+1 =(28-1×2+1 =216-1. 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1)2+1(22+124+1(28+1(26+1 (②3+1×32+1×3+1)×38+1×…x(34+1 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型06平方差公式在几何图形中的应用 【典例6】(25-26八年级上贵州遵义·期末)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示). b a a b 图1 图2 ()上述操作能验证的公式是_（填序号）. ①a2-2ab+b2=(a-b12 ②a2-b2=a+b)(a-b ③a2+2ab+b2=(a+b)2 (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若a2-b2=22,a+b=11,则a-b=- ②计算：2025×2027-20262 【变式1】(25-26八年级上·广西北海·期末)边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. 6 ←一b 图1 图2 ()上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个选项) A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) D.a2-ab=a(a-b (2)若x2-y2=12,x+y=4,求x-y的值； 3)计算： --0--0240n2s) 【变式2】(24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考)【探究】如图①，边长为Q的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分 面积，可以得到乘法公式 (用含a,b的等式表示) 【应用】请应用这个公式完成下列各题： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)已知4m2=12+n2,2m+n=4,则2m-n的值为= (2)计算：20232-2024×2022. 【扩展】计算：1002-992+982-972+…+42-32+22-12 -a- b← b长 图① 图② 【变式3】(24-25七年级下·广东河源·期中)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1）， 然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2). a b b 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (填字母). A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值： ②计算： 〔00)-〔-： ®计算： 〔+++云 强化训练 一、单选题 1.(25-26七年级上·上海期末)下列各式中，能运用平方差公式计算的是() 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(2x+y)(-2x-y B.-2x+y)(-2x-y) C.（-2x-y)-2x+y) D.（-2x+y)(y-2x 2.(25-26八年级上广东广州期末)已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为（). A.-1 B.1 C.5 D.6 3.(25-26八年级上甘肃定西月考)为了应用平方差公式计算a-b+c(a+b-c),必须先适当变形，下列 变形中正确的是() A.[(a+c)-b][(a-c+b] B.[a-b)+c][a+b)-c] c.[a-(b-c][(a-c+b] D.[a-(b-c][a+(b-c] 4.(25-26八年级上贵州黔东南期末) 计算1-01-}1-20201-203s 的值是() 2025 2026 1013 B. C. 2024 2025 2025 D.2 5.(25-26八年级上·北京·期末)已知k为任意整数，代数式(k+2)2-(k-1)的值记为M,有下列三个结论： ①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除.其中所有正确结论的序号是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 6.(25-26八年级上·广东汕头月考)(b+2a(2a-b)= 7.(25-26八年级上湖北武汉·期中)运用平方差公式计算：21×19=一， 200-2×1994 5 8.(25-26八年级上黑龙江伊春·期末)若m2-n2=-8,m-n=-2,则代数式m+n的值是」 9.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)己知2026-a)(2024-a)=36,那么(2025-a)=一 10.(25-26八年级上辽宁大连期末)数学活动课上，小明和小组同学一起用“Z字型框架探究月历中的奥 秘.图1是2026年1月份的月历，小明用图2所示的“Z字型框架框住月历中的5个数（图1中的阴影部分）， 移动框架，发现位置在b,d上的两个数的积与位置在α，e上的两个数的积的差与位置在c上的数的大小无 关.设“Z字型框架中位置c上的数为x,用含x的等式可以表示这一规律为· 二三四五六 2 3 8910 4151617 a b 18192021222324 c 25262728293031 d e 图1 图2 三、解答题 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级上全国课后作业)计算： (1)xy+5(xy-5); 2)3x+4)(-3x+4); (3)-4a+3)(-4a-3): (4-x-y(x-y); (5)xx+2+(1+x)(1-x). 12.(25-26八年级上全国·课后作业)运用平方差公式计算： (1)97×103; 20263 (②)2025×2027+1 13.(2025八年级上全国专题练习)某同学化简a2a+ab)-2(a+b)(a-b)出现了错误，解答过程如下： 原式=2a2+a2b-2a2-b2)(第-步) =2a2+a2b-2a2-b2(第二步) =a2b-b2(第三步). (1)该同学解答过程从第 步开始出错： (2)写出此题正确的解答过程. 14.(25-26七年级下·全国课后作业)(1)用简便方法计算： 19x21= ；29×31= ;39×41= 49×51= (2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来. 15.(25-26七年级上·上海宝山期中)观察下列等式： 第1个等式：32-2×4=1： 第2个等式：42-3×5=1： 第3个等式：52-4×6=1： 第4个等式：62-5×7=1： 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：52-4×6=52-(5-1)×(5+1)=52-52-1=1， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母α、b表示这个公式： (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示） 16.(25-26八年级上·全国·课后作业)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇， 比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如： 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12=42-22,20=62-42,28=82-62,我们称12,20,28这三个数为“智慧数”. D (1)36 “智慧数”（填“是”或“不是”）方 (2)设两个连续偶数是2n和2n+2（其中n取正整数)，由这两个连续偶数构造的智慧数”是4的倍数吗？为 什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，…按此规律拼接到正方形ABCD,其边长为100，求 阴影部分的面积。 17.(25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考)阅读材料后解决问题 郑铭遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1(2+1经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出 现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 2+102+02+-2-2+2+2+-2-02+12+ 2-1 =(24-124+1=28-1; 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： ()计算：(3+1)(32+(34+1(3+1(36+1=_ (2)化简：(m+n)(m2+n2)m4+n)(m+n)m6+n6,(m≠n 18.(25-26八年级上·全国期末)从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩 余部分拼成一个长方形（如图2). b 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是_： (2)计算：(x+y+z2-(x+y)2: (3)运用1)写出的等式，解答下列各题： ①已知a-b=3,a2-b2=21,求a+b的值： 10/11 专题1.3 平方差公式 教学目标 1. 理解平方差公式的几何背景与代数推导，掌握公式(a+b)(a-b) = a2 - b2 的结构特征。 2. 能准确识别公式适用的式子结构，并熟练运用公式进行简便计算与整式乘法运算。 3. 通过运用公式解决实际问题，发展符号意识，提升代数推理与运算能力。 教学重难点 重点： 1. 掌握平方差公式的结构特征，能准确判断何时适用并正确套用公式。 2. 熟练运用公式进行计算和化简，并能用于简化某些数字与式子的乘积运算。 教学难点： 1. 准确识别公式中的“a”和“b”，尤其是在复杂或变形后的式子中正确对应。 2. 理解公式的几何意义，并能灵活应用公式进行逆向变形与简单的推理证明。 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：． 直接应用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点02 平方差公式的变形 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 【即学即练】4．（25-26八年级上·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 题型01 判断是否可用平方差公式运算 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广东江门·月考）下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键，平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．选项C中两个二项式整体互为相反数，不符合公式条件． 【详解】解：选项A∶ ，a相同，b与相反，∴可用公式． 选项B∶ ，相同，b与相反，∴可用公式． 选项C∶，不符合平方差公式“一项相同，另一项互为相反数”的结构特点，∴不能用公式． 选项D∶ ，b相同，a与相反，∴可用公式． ∴不能用平方差公式的是C． 故选C． 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项B：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项C：，不符合平方差公式，故符合题意； 选项D：，符合平方差公式，故不符合题意． 故选：C． 题型02 运用平方差公式进行运算 【典例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式 ，解题关键在于熟练掌握其运算方法即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)255 【分析】本题考查了平方差公式的运算， （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型03 利用平方差公式进行简便运算 【典例3】（25-26七年级上·上海闵行·期中）利用乘法公式简便运算： 【答案】 【分析】本题主要考查利用平方差公式进行简便计算，将原式转化为两个数的和与差的乘积，从而简化运算． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型04 与平方差公式有关的化简求值 【典例4】（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，整式乘法及求代数式的值，正确计算是解题的关键；由非负数的性质可求得x与y的值，再利用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，合并同类项，最后代值求解即可． 【详解】解：， ，， 原式 当，， 原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确将所求式子变形是解题的关键．先化简代数式，然后利用已知条件整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式3】（25-26八年级上·北京西城·期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是先化简代数式，再结合已知条件整体代入求值． 先利用平方差公式和多项式乘法法则化简代数式，再根据已知方程变形得到相关式子的值，最后整体代入求值． 【详解】解： ， 已知，移项可得． 原式． 题型05 利用平方差公式求解连乘问题 【典例5】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行有理数的简便运算，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据平方差公式写出运算过程，进而运用简便计算即可得到答案； 【详解】解： ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·海南海口·月考）计算：． 【答案】 【分析】该题考查了平方差公式的运用，将原式变形后根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级·黑龙江大庆·月考）计算下列各式： （1）___________； （2）__________； （3）__________； 你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查了应用平方差公式计算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式展开计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为； （3）， 故答案为； ． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 题型06 平方差公式在几何图形中的应用 【典例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的验证与应用． (1)根据拼接前后阴影的面积不变，可以验证平方差公式； (2)①把，代入即可求出的值； ②把转化为，用平方差公式展开进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为， 如下图所示，图中平行四边形的高为，底为， 平行四边形的面积为， 拼接前后阴影部分的面积没有变化， ， 能验证的公式是②， 故答案为②； （2）①解：，，， ∴ ， 故答案为：； ②解： ． 【变式1】（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，其中a和b是数或代数式．逐项判断是否符合此形式即可． 【详解】解：A．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； B．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； C．∵ ，令，，则原式 ，符合平方差公式，故此选项符合题意； D．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式的结构特征，需将原式变形为相同两项的和与差相乘的形式，即，从而判断正确选项． 【详解】解：∵ 平方差公式要求形式为，   ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·北京·期末）已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式可推出，再根据整数性质判断各结论即可． 【详解】解： ， 当时，，不是正整数，故①错误； ∵为任意整数， ∴是奇数， 又∵3是奇数，奇数乘以奇数仍是奇数， ∴一定是奇数，故②正确； ∵， ∴总能被3整除，故③正确． ∴ 正确结论的序号是②③．， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东汕头·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）运用平方差公式计算： ， ． 【答案】 399 【分析】本题主要考查了平方差公式，将整理为，将整理为，然后应用公式计算即可． 【详解】解：． ． 故答案为：399；． 8．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式将已知条件代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴． 故答案为：4． 9．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）已知，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查平方差公式，通过换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值． 【详解】解：设， 则： ， ∴， ∴； 故答案为：37 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，小明和小组同学一起用“Z”字型框架探究月历中的奥秘．图1是2026年1月份的月历，小明用图2所示的“Z”字型框架框住月历中的5个数（图1中的阴影部分），移动框架，发现位置在b，d上的两个数的积与位置在a，e上的两个数的积的差与位置在c上的数的大小无关．设“Z”字型框架中位置c上的数为x，用含x的等式可以表示这一规律为 ．      【答案】 【分析】本题考查平方差公式．设“Z”字型框架中位置c上的数为x，则a，b，d，e位置上的分别为，可得，，即可求解． 【详解】解：设“Z”字型框架中位置c上的数为x，则a，b，d，e位置上的数分别为， ∴，， ∴， ∴用含x的等式可以表示这一规律为． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了平方差公式： （1）（2）（3）（4）利用平方差公式直接计算即可； （5）用单项式乘多项式法则以及平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)1 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步）． (1)该同学解答过程从第______步开始出错； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再观察解题过程，结合括号前面是负号，去括号的时候，括号内的各项变号，进行分析，即可作答． （2）先根据平方差公式以及单项式乘多项式法则展开，再去括号，然后合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：观察解题过程，得该同学解答过程从第二步开始出错， 故答案为：二； （2）解： ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 【答案】（1）399，899，1599，2499；（2）规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，． 【分析】本题考查了平方差公式． （1）通过观察，每个乘法算式中的两个数都相差2，可以利用平方差公式进行简便计算，即； （2）由（1）可知两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，用含有字母的式子表示为． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：399，899，1599，2499； （2）解：由（1）发现规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，因此用含有字母的式子表示为． 15．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数，理由见解析 (3)5100 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）． ． 17．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ； 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算： (2)化简：， 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为； （2）解：原式 ． 18．（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $