第03讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，3考点+17题型）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”，覆盖解法、判别式、根与系数关系、实际应用四大核心考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-真题训练”系统架构，帮助学生构建知识网络，突破配方法、实际应用建模等难点。 亮点在于以核心素养为导向，如通过利润问题培养模型意识，根与系数关系变形训练推理能力，设计“五步解题法”规范实际应用步骤，分层练习适配不同学生，助力教师精准复习，提升学生解题效率与应考能力。

第一章 数与式 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 解一元二次方程 题型01配方法求参数的取值 题型02利用直接开方法进行相关求解 题型03公式法解一元二次方程 题型04解一元二次方程（计算题） 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 题型02已知一元二次方程根的情况求参数取值范围 题型03根的判别式综合应用 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01根与系数的关系之直接求解 题型02根与系数的关系之降次法 题型03根与系数的关系之构造方程 题型04已知等式求参数的值 题型05根与系数的关系综合求解 命题点四 一元二次方程的实际应用 题型01传播问题 题型02增长率问题 题型03利润问题 题型04工程问题 题型05行程问题 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 配方法的综合应用 突破二 一元二次方程实际应用中探索问题 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 根与系数的关系 / / 天津卷 （第9题） 要求学生理解一元二次方程根与系数关系的内涵及适用前提（方程有实数根），掌握其在求根的和积、代数式值、结合判别式求参数等方面的应用，了解利用根的和积构造一元二次方程的逆向用法。 命题预测 考查形式固定，基础题占比高且侧重规范作答：选择/填空聚焦概念、解法、判别式、根与系数关系的直接应用，解答题必考实际应用建模（增长率、面积、销售利润三类核心模型），还常与二次函数、几何结合作为综合题小问；全板块以基础至中档为主，无超纲题，配方法步骤、实际应用的检验环节、含参数题的前提条件（二次项系数≠0、Δ≥0）是评分关键，漏写会扣分。 命题稳中有新，核心考点不变且侧重本地考向：近 5 年高频考点（方程概念、四种解法、判别式求参数、根与系数关系基础变形、三类实际模型）2026 年仍为重点考查内容；仅实际应用的题干背景会结合天津本地发展、新能源等热点创新，建模本质不变；同时更注重知识综合应用，判别式、根与系数关系极少单独考查，多与二次函数结合考查数形结合和方程思想。 考点一 解一元二次方程 方法1：直接开平方法 核心步骤：将方程化为的形式，直接开方得，解出x；若，方程无实数根。 适用题型：方程无一次项或能整理为完全平方式（形如，系数为整数，计算简单。 方法2：因式分解法 核心步骤：①移项使方程右边为0，；②将左边因式分解（提公因式、平方差公式为主，天津中考极少考十字相乘）；③令每个因式为0，解两个一元一次方程，得方程的两个根。 适用题型：左边能快速因式分解，无复杂系数，如提公因式型、平方差型4x2-9=0。 方法3：配方法 核心步骤：①化二次项系数为1(方程两边同除以a)； ②移项，将常数项移到方程右边，化为； ③配方，两边同时加一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式； ④用直接开平方法求解。 适用题型：所有一元二次方程（通用），天津中考常考系数为整数的一般方程，如、。 方法4：公式法（通用解法，天津中考高频） 核心步骤：①将方程化为一般形式，确定a、b、c(注意符号);②计算根的判别式，判断根的情况：有两个不相等实根，有两个相等实根，无实根；③若，代入求根公式，计算得两个根。 适用题型：无法用因式分解法、配方法快速求解的一般方程，或系数含分数/小数的方程。 1．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程，找到两个根即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故方程的两个根为，． 故选：A． 2．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 3．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 4．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，核心是通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将一元二次方程的左边配成完全平方式，把复杂的一元二次方程转化为一元一次方程求解． 先将常数项移到等号的右边，将等号左边写成完全平方形式，进而求解方程的根． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 一、核心定理(适用前提+公式) 1.适用前提：一元二次方程为一般形式，且方程有实数根(根的判别式 ； 2.核心公式：若方程的两个实数根为、，则 两根之和：(注意一次项系数的负号) 两根之积： 3.特殊形式：当二次项系数时，方程为。 二、高频变形公式(天津中考仅考基础变形) 由核心公式推导，用于求代数式值，直接套用即可： 1．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 2．（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；先由根的判别式求出c的值，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 即方程为； 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选：C． 3．（2025·天津南开·二模）若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 4．（2025·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 5．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程判别式的意义及根与系数的关系； （1）方程整理后，利用公式法求解即可； （2）①由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可；②利用根与系数的关系得出，求出k并舍去不合题意的值即可． 【详解】解：（1）移项整理得：， ， ∴， 解得：，； （2）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：； ②∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴， 解得：或， 又∵， ∴． 考点三 一元二次方程实际应用 通用解题五步(中考评分规范，缺一不可) 1.设：设未知数，优先直接设元（问什么设什么），带单位，如设增长率为x、边长为x米、定价为x元； 2.列：根据实际问题的等量关系，列一元二次方程（核心步骤，找准数量关系是关键）； 3.解：用配方法/公式法/因式分解法解方程（天津中考多为整数解，优先因式分解法）； 4.验：双重检验(评分点)，①代数检验：解是否满足方程；②实际检验：解是否符合实际意义(如增长率、边长、价格为正数，人数为正整数),舍去不合题意的根； 5.答：规范作答，带单位回应题目问题，表述简洁。 1．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 2．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 4．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 5．（2025·天津和平·二模）如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、整式的混合运算等知识．求出改造后花圃的面积和原正方形花圃的面积即可判断①；设的长为，则，根据面积列出方程，解方程即可判断②；设的长为，则，求出改造后花圃的面积，与原正方形花圃的面积作差即可判断③． 【详解】解：①当的长为时，， ∴改造后花圃的面积为， ∵原正方形花圃的面积为， ∴改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；故①正确； ②设的长为，则， ∵花圃面积为； ∴， 即， 解得，，（负值，不合题意）， ∴的长为， 即的长有一个值满足花圃面积为； 故②错误， 设的长为，则， ∴改造后花圃的面积为， 由原正方形花圃的面积为 ， 若，即， ∵， ∴方程无实数根， 即改造后花圃的面积不可以比原正方形花圃的面积增加． 故③错误， 故选：B 命题点一 解一元二次方程 ►题型01 配方法求参数的取值 【典例】将一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（    ） A．2，7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握完全平方式的特征是解题关键． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数得出m和n的值即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时加4，得 ，即， 配方，得， ∴ ，， 故选：A． 【变式1】用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较得出和的值，再计算． 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握基本概念是解题关键． 【详解】对方程 配方： ∵ ∴ 即 与 比较，得 a = 3, b = 1 ∴ 故选：D． 【变式2】用配方法将方程转化成的形式，则（    ） A． B．2027 C． D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． ►题型02 利用直接开方法进行相关求解 【典例】若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式1】关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 【变式2】若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 【变式3】若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． ►题型03 公式法解一元二次方程 1.适用前提：方程化为一般形式(a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数 项，均含符号）； 2.求根公式：当△≥0时，方程的两个实数根为 【典例】用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 【变式1】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 【变式2】在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 【变式3】用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的一般形式，得到，，，根据一元二次方程的求根公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故“□”处应填． 故选：A． ►题型04 解一元二次方程（计算题） 【典例】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 【变式1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， 即：， 或， 解得：，． 【变式2】按要求解下列方程： (1)（因式分解法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：，． 【变式3】用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ∴或， ∴． 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 核心解题三步法 1.整理定型：将方程化为一元二次方程一般形式(a≠0)，若为含参数方程，先标注二次项系数的前提(无参数则直接确认)，明确a、b、c的取值(包含前面的符号); 2.计算判别式：将a、b、c代入判别式公式，准确计算出△的具体值(含参数则化简为含参数的代数式)； 3.依号判根：根据△的符号，直接判定根的情况，结论表述规范： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 【典例】已知一元二次方程，下列判断正确的是（　　） A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 【答案】A 【分析】通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ∴ 方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【变式1】关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 【变式2】关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过计算判别式确定方程有两个不相等实数根，并验证是方程的一个根，从而求得另一个根为，结合判断各选项即可． 【详解】解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 【变式3】定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． ►题型02 已知一元二次方程根的情况求参数取值范围 通用四步解题思路(所有题型适配，核心框架) 步骤1：定前提，锁定一元二次方程本质 由方程为一元二次方程，得二次项系数≠0,先列出参数的第一个限制条件(如方程，先得，此为易漏前提，丢分重灾区)。 步骤2：化一般式，确定a、b、c(含参数) 将方程整理为标准一般式，把参数当作常数，明确a、b、c的表达式(必须带符号，如 步骤3：算判别式△,根据根的情况列条件 1.代入公式，化简得到含参数的△代数式； 2.依据根的情况，对应列出△的符号条件(核心对应关系，死记) 有两个不相等的实数根→△>0； 有两个相等的实数根→△=0； 有实数根(含相等/不相等)→△≥0； 无实数根→△<0。 步骤4：联立求解，确定参数最终取值范围 联立步骤1的二次项系数≠0和步骤3的△符号条件，解不等式(组),最终写出参数的取值范围(单独△=0时，解等式后验证二次项系数≠0即可)。 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；一元二次方程有两个相等实数根的条件是判别式为零且二次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得， 又∵，满足条件， ∴实数的值为4． 故选：D． 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟悉一元二次方程根与判别式的关系，确定系数的取值范围，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，时方程有实数根，求解的范围后取最大整数． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴，即， ∵， ∴的最大整数值为； 故选：C． 【变式2】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数与函数的图象交点个数为 ． 【答案】2 【分析】由一元二次方程有实数根可得判别式大于零，从而得到k的取值范围；再联立两个函数方程，解出交点对应的方程，根据k的取值范围讨论交点个数． 本题考查了一元二次方程根的判别式，函数的交点，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 则判别式， 解得； 联立函数和，得， 整理得， 当时，方程有两个实数解，即两函数图象有两个交点； 故答案为：2． ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形   见解析 (2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． (2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【答案】(1) (2)的值为，另一个实数根为 【分析】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据方程总有两个实数根，可得，代入数值化简即可． （2）根据根与系数的关系，得，，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程总有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 则m的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：设另一个实数根为， 由根与系数的关系，得， 即， 整理得：， 解得：， 代入中，即， ∴， ∴的值为，另一个实数根为． 【变式2】【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)3 (2)17 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到解，根据已知等式可得，再结合一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据题意，分是方程的一个根和两种情况进行讨论，结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴ ， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ∴； （2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长， ∴①或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为， 此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； ②，，解得， 此时方程为，解得， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； 综上，三角形的周长为． 【变式3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)负整数的值为、、或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与因式分解法解方程． （1）通过计算判别式，判断其非负性，从而证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的根，再根据根为负整数的条件，结合为负整数的要求，确定的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：对原方程因式分解，得， 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数， ∴也需为负整数. 又∵是负整数， ∴，解得， ∴的取值为、、或． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根与系数的关系之直接求解 【典例】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 则． ∴． 故答案为 8． 【变式1】若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求值，即可解题． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：10． 【变式2】实数分别满足且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意得和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，求出和的值，再代入的表达式求解即可． 【详解】解：∵和满足方程和，且， ∴和是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为:． 【变式3】已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． ►题型02 根与系数的关系之降次法 【典例】设是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根．根据根与系数的关系可得，由根的意义得，将转化为后代入求值，即可作答． 【详解】解：∵ , 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴. 故答案为：2025 【变式1】已知、是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系得到，并由方程的解得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【变式2】已知，是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用根与系数的关系求出两根之和，并将原表达式化简为含两根之和的形式． 【详解】解：因为m是方程的根， 所以， 即． 代入原式得：． 又，是方程的两个实数根， 所以， 所以原式． 故答案为：2026． 【变式3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2038 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，是方程的实数根，可得，，代入要求的代数式进行计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ， ，是方程的两个实数根， ， ∴ 故答案为：2038． 【变式4】设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． ►题型03 根与系数的关系之构造方程 【典例】若m，n是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系. 根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 【变式2】若两个不等实数m，n满足条件：，，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根．由根与系数的关系得到，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ， ， 故答案为：13． ►题型04 已知等式求参数的值 【典例】若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 【变式1】若，是关于的方程：的两个根，且则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． 根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式变形得到，即，解方程得到，进而根据根的判别式找出符合要求的解即可． 【详解】解：∵若，是关于的方程：的两个根， ∴，． 由，得， 即， 整理得， 解得． 当时，判别式，方程无实根，舍去； 当时，判别式，方程有两个实根，符合题意． 故答案为：1． 【变式2】已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，先将方程化为标准形式，利用判别式得到的取值范围，再根据根与系数的关系代入条件方程求解，最后验证判别式以确定符合题意的值． 【详解】解：方程化为 方程有两个实数根， ，即， 解得：， ，， 由， 可得：， ， 即， 整理得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 时，，符合条件， 故答案为：． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，由根的和等于17列出关于的方程，求解即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． ►题型05 根与系数的关系综合求解 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】（1）解：． 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 的值为或． 【变式1】已知实数满足，． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)不可能都为整数，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，数的奇偶性，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，，所以是一元二次方程的两个根，利用一元二次方程根的判别式为非负数即可证明； （2）假设都为整数，因为均为奇数，故可能有两种情况，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，分别推出矛盾，说明这两种情况都不可能成立，所以不可能都为整数． 【详解】（1）解：∵满足，． ∴是一元二次方程的两个根， ∴； （2）解：不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当都为奇数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； 综上所述，不可能都为整数． 【变式2】已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 【答案】(1) 当时，四边形是菱形 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识点． （1）由题意得出当时，平行四边形为菱形，从而得到，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，将化简为，代入可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 当时，平行四边形为菱形， 的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 整理得：， 解得：， 当时，四边形为菱形； （2）解：的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ，即 整理得：， 解得：或， 边长为正数， 它们的和， 当时，不符合题意，应舍去， ． 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 传播问题 传播问题是一元二次方程增长率模型的典型变式，也是中考常考的实际应用题型，核心是找准传播次数、确定每轮传播的数量关系，遵循“设→列→解→验→答”规范步骤，解题关键是理解每轮传播的基数会随传播次数增加而变化，无复杂推导，以下梳理核心模型、解题思路、典型例题、避错要点，贴合天津考法。 一、核心模型(两类高频传播，公式直接套用) 传播问题的本质是多次等量增长，分单一人/物传播和多人/物同时传播两类，均以每轮传播的数量为核心，设基础量为a,每轮每个传播者传播x个对象，传播n轮，最终总数量为b,核心公式如下： 模型1:单一人/物起始传播(最基础，中考高频) 适用场景：从1个初始传染源开始，每轮1个传染源传播x个，无重复传播 公式： 简化考法：两轮传播→ (注：1为初始传染源，1+x为第一轮传播后总数量，也是第二轮传播的基数) 模型2：多人/物起始传播(变式考法) 适用场景：从a个初始传染源开始，每轮每个传染源传播x个，无重复传播 公式：两轮传播→ (与增长率公式完全一致，a为初始量，x为每轮传播率，本质是每轮以倍增长) 【典例】2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出一元二次方程是关键； 设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到． 【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人． 最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为． 由题意，， 即， 解得：（舍去）， 所以． 答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人． 【变式1】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式2】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【变式3】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． ►题型02 增长率问题 增长率/下降率问题是一元二次方程实际应用的核心考法，本质是多次等量增长/下降，解题关键是找准初始量、增长次数、最终量，套用固定公式建模，全程遵循“设→列→解→验→答”规范步骤，无复杂推导，直接套用即可。 一、核心基础(必记，建模前提) 1.核心公式(增长率/下降率通用，中考唯一考法)； a：初始量/基础量(增长/下降前的原始量，如原产值、原销量、原人口); +：对应增长率，—：对应下降率/降低率； x：平均每次的增长率/下降率(无单位，用小数/百分数表示均可，如增长20%即x=0.2); n：增长/下降的次数(如1年2次、连续2年则n=2，中考99%考两轮/两次); b：最终量/结果量(增长/下降后的量)。 2.关键限制：下降率c满足0<x<1(如下降率不能大于1,否则量为负，无实际意义)；增长率x>0。 【典例】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．若该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设第二、三两个月的月平均增长率为，利用该单车公司第三个月投放单车的数量该单车公司第一个月投放单车的数量第二、三两个月的月平均增长率），列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设第二、三两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三两个月的月平均增长率为． 【变式1】市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 【变式2】年，某初中为持续打造“绿色校园”，逐年优化绿植种植方案，相关绿植采购及养护费用的变化如下： (1)年学校采购观赏绿植幼苗，单价为元/盆，受绿植培育成本上涨影响，年、年的采购单价连续两年上调，每次上调的百分率相同，年的采购单价涨到元/盆，求每次上调的百分率． (2)绿植种植后需定期采购专用营养液，年月学校计划采购一批营养液．经调研发现：当营养液市场售价为元/瓶时，可采购瓶；若售价每降低元，可多采购瓶．为高效使用预算，学校与供应商协商调整售价，求营养液每瓶降低多少元，刚好用完元的采购预算（总费用调整后单价采购数量） 【答案】(1)每次上调的百分率为 (2)营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设每次上调的百分率为，根据两次上调后每盆的售价为元，列方程求解即可； (2)设营养液每瓶降低元，根据刚好用完元的采购预算，可列方程，解方程求出营养液降低的钱数． 【详解】（1）解：设每次上调的百分率为， 根据题意得： 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：每次上调的百分率为； （2）解：设营养液每瓶降低元， 根据题意得：， 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算． 【变式3】公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． ►题型03 利润问题 利润问题是一元二次方程实际应用的高频题型，核心是紧扣“总利润=单件利润×销售量”,结合“售价变化引发销量反向变化”的关系建模，遵循设→列→解→验→答规范步骤，天津中考侧重基础建模，销量与价格的关系直接给出，无复杂推导，以下梳理核心公式、通用思路、典型考法、避错要点，贴合本地考情。 一、核心公式(必记，建模基础) 所有利润问题均围绕以下3个公式展开，无需额外推导，直接套用： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本); 2.总利润=单件利润×销售量(核心等量关系，列方程的依据); 3.销量变化关系：售价每涨价/降价m元，销售量就减少/增加n件(题干直接给出，如“每涨价1元，销量减5件”)。 关键变量关系 设进价为固定值，原售价为p,原销量为q,设售价涨/降x元(或直接设新售价为x),则： 涨价x元：新售价，单件利润一进价，新销量 降价x元：新售价，单件利润一进价，新销量。 【典例】2025年乡村振兴背景下，平顺县“新农人”宋建红通过直播带货推广家乡地理标志产品——潞党参，这款太行山滋补佳品广受青睐．已知每盒潞党参成本30元，售价为50元时，每月可售200盒；售价每降低1元，月销量增加20盒．若月利润目标为4480元，为更多让利于顾客，求该款潞党参的实际售价． 【答案】该款潞党参的实际售价为44元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设每盒降价x元（x为整数），则实际售价为元，根据月利润目标为4480元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每盒降价x元（x为整数），则实际售价为元， 根据题意得， 解得（舍去），， 当时，售价元． 答：该款潞党参的实际售价为44元． 【变式1】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲、乙两种头盔进行销售，用2400元购进甲种头盔，用1800元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.5倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个． (1)求购进甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为50元/个时，月销售量为600个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到12000元，而且能尽快减少库存，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【答案】(1)甲种头盔的购进单价为40元/个，乙种头盔的购进单价为60元/个； (2)甲种头盔的售价应上涨20元/个． 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设甲种头盔的购进单价为x元/个，则乙种头盔的购进单价为1.5x元/个，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个．据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲种头盔的售价应上涨a元/个，甲种头盔的月销售利润达到12000元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种头盔的购进单价为x元/个，则乙种头盔的购进单价为1.5x元/个， 根据题意得： 解得，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则 答：甲种头盔的购进单价为40元/个，乙种头盔的购进单价为60元/个； （2）解：设甲种头盔的售价应上涨a元/个， 根据题意可得，， 解得， 要尽快减少库存，应取， 答：甲种头盔的售价应上涨20元/个． 【变式2】某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． (1)用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； (2)若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； (3)该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：每天销售精品图书为：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：销售单价的值为26； （3）根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴销售利润不能为500元． 【变式3】某商店购进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，那么每天可销售40件．为尽快减少库存，现降价以促进销售，经试销发现，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件．设每件文创产品降价元． (1)每天销售量为___________件，每件盈利___________元；（用含x的代数式表示） (2)按这样的降价措施，该商店销售这种文创产品每天获利能否达到3300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种文创产品每天获利3300元，进行列方程，再整理，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意：∵每天可销售40件，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件；设每件文创产品降价元． ∴每天多卖出去； 故每天销售量为件， ∵进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，每件文创产品降价元． ∴每件盈利元，即元； 故答案为：；； （2）解：根据题意，可列方程为：，整理得：，          根据判别式得：，即无实数解； 故不能达到； ►题型04 工程问题 【典例】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式1】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式2】某企业为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装． (1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8小时，生产工装的总套数不少于380套，则乙厂至少生产这种工装多少小时? (2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间（增加的生产时间不得超过8小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3小时，因为甲厂机器损耗及人员不足，甲厂每增加1小时，该厂每小时的平均产量将减少3套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装总套数为890套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间． 【答案】(1)4小时 (2)5小时 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意求得结果要符合题意． 【详解】（1）解：设乙厂生产这种工装小时，则甲厂生产这种工装小时， 由题意得， 解得， 答：乙厂至少生产这种工装4小时； （2）解：设甲厂实际每天生产工装增加的时间为小时， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：甲厂实际每天生产工装增加的时间为5小时． 【变式3】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式4】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． ►题型05 行程问题 【典例】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 【变式1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 【变式2】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 突破一 配方法的综合应用 【典例】阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 【变式1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当时，的面积最大，且最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ； （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 【变式2】通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了配方法、因式分解以及作差法比较大小： （1）通过配方法将多项式转化为平方项减常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）把等式左边拆分为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出的值，再代入计算； （3）通过作差法比较与的大小，将差式配方后，利用平方的非负性判断差的正负，从而确定大小关系． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ． （3）解： ， ， ， 即， 则． 【变式3】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1） （2） （3） （4），理由见详解 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又 、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 突破二 一元二次方程实际应用中探索问题 【典例】问题背景：在长方形几何图形设计里，满足长和宽比例相同的两个长方形图形设计问题，称为“和谐设计问题”，对应的长和宽的比称为“和谐比”．某数学小组围绕长方形封面边衬设计，开展“和谐设计问题”的探究． 信息一：2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，封面整体和封面中央的图画是符合“和谐设计”的两个长方形． 信息二：要使四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，其中上、下边衬等宽，左、右边衬等宽． 探究1 （1）根据材料可知，纪念册封面中央图画的面积是___________． 探究2 （2）根据“和谐比”，设中央图画的长、宽分别为，，求封面四周边衬的宽度． 探究3 （3）请你用与（2）不同的方法求四周边衬的宽度．（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比） 【答案】（1）；（2）上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度；（3）见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解“和谐设计”的定义是解题的关键． （1）四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，则纪念册封面中央图画的面积占整个封面面积的，由此可解； （2）结合（1）中结论可得，求出x的值，进而可得结论； （3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度，则，根据“和谐设计”可得，推出，代入，解关于z的一元二次方程即可． 【详解】解：（1）纪念册封面中央图画的面积是：， 故答案为：； （2）由题意知，即， 解得， 长度不能为负， ， 中央图画的长为，宽为， 上、下边衬的宽度， 左、右边衬的宽度． 答：上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度． （3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度， 则：， 由题意得， ， ， 整理得， 解得 ， ， ， ， 即上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度． 【变式1】 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶ 探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 三、项目成果 长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值． 【答案】探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键． 探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可； 探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可； 三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可． 【详解】探究1：∵， ∴， ∵设长方形乙的长为x，宽为y， ∴， ∴，即 代入得， 解得，或（因y是宽小于长，故舍去） ∴； 探究2：要使成立 则， ∴设长方形丙两条邻边长分别为a和， ， ， ∴方程无解 不存在； 三、设长方形B的两边长分别为 则有 消去得，得 解得：或 ∵ m的最小值为． 【变式2】周长与面积数值相等的图形叫做“等量图形”．小月在学习《正多边形》这一节时发现正三角形、正方形、矩形中存在“等量图形”，并进行了如下探究： 【探究一】正方形中的“等量图形” 设正方形的边长为a，周长为C，面积为S，则 当 时，可以求出a，所以当正方形的边长为 ① 时，它是“等量图形”． 【探究二】等边三角形中的“等量图形” 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则② ，③ ，当时，可以求出b，所以，当等边三角形的边长为 ④ 时，它是“等量图形”． 【探究三】矩形中的“等量图形” 设矩形的长为x，宽为y，周长为C，面积为S，则 ． (1)根据题意，完成上面的填空：① ，② ，③ ，④ ； (2)请你用图象法（可在网格上画图表示）与代数法分别研究：当时，是否存在一个矩形是“等量图形”，如果存在，它的长和宽分别为何值；如果不存在，请说明理由； (3)若，请你直接写出当m满足什么样的条件时，能使矩形是“等量图形”． 【答案】(1)①4；②；③；④ (2)不存在，见解析 (3) 【分析】（1）令，可求满足要求的解为； 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则，如图，等边三角形，过作于，则，，令，可求满足要求的解为； （2）由题意知，，即，，即，建立平面直角坐标系，然后作图象，根据图象无交点，判断作答即可； 令，整理得，，由，可知方程无解，然后判断作答即可； （3）由，可得，，令，整理得，，由矩形是“等量图形”，可知，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 解得，或（舍去）， ∴当正方形的边长为4时，它是“等量图形”． 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S， ∴， 如图，等边三角形，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴当等边三角形的边长为时，它是“等量图形”． 故答案为：4；；；； （2）解：由题意知，，即， ，即， 作图象如下： 由图象可知，当时，不存在一个矩形是“等量图形”； ∵，即，，即， 令，整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在一个矩形是“等量图形”； （3）解：∵， ∴，， 令，整理得，， ∵矩形是“等量图形”， ∴， 令， 解得，或， ∵， ∴或（舍去）， ∴当时，能使矩形是“等量图形”． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦等知识．熟练掌握解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦是解题的关键． 【变式3】数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……．    【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是465？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）请根据材料通过代数运算求前行的点数和． （2）前______行的点数和是465． 【应用延伸】： （3）如图3，该点阵的点数从上到下依次为：这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）30 （3）能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据倒序相加法即可求解； （2）理解题意，列出方程，即可求解； （3）设，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意，得①． 由①式倒序，得②， ①②，得． ，即前行的点数和为． （2）当时， 解得：，（舍）， 故前30行的点数和为465． （3）这个点阵的点数和能是841． 设， ， 则． 同（1）可得， ． 当时， 解得或（不合题意，舍去）． 当时，这个点阵的点数和是841． 1．已知是方程的解，则b的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均下降率问题，从第一个月到第三个月经过两个月下降，成本按倍变化． 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 4．从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两次取出数的积不大于9的结果数，进而求出概率． 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可， 用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为， 故答案为：． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 6．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法（十字相乘法）和直接开平方法解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）直接开平方法解一元二次方程：通过变形将常数项移项至等式右边，等式两边直接开平方，进而求解． （2）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）解：， 因式分解，得：， 解得：，． 7．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—动点问题，解题的关键是正确列出方程． 首先表示出，，然后根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：点P的速度是，点Q的速度是，，，， ∴点P从点A到点B的时间为（秒），点Q从点B到点C的时间为（秒）， 设Q运动的时间为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 当时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去， ∴． ∴经过时，四边形的面积等于． 故选：A． 2．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 3．【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的实际应用，设计轴对称图案，理解题意是解题的关键． （1）根据比例尺求出的长，根据中点求出的长即可； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点，两部分作为花坛即可． 【详解】（1）解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴， 故答案为：． （2）解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，且阴影部分是轴对称图形； ∴第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 5．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 解一元二次方程 题型01配方法求参数的取值 题型02利用直接开方法进行相关求解 题型03公式法解一元二次方程 题型04解一元二次方程（计算题） 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 题型02已知一元二次方程根的情况求参数取值范围 题型03根的判别式综合应用 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01根与系数的关系之直接求解 题型02根与系数的关系之降次法 题型03根与系数的关系之构造方程 题型04已知等式求参数的值 题型05根与系数的关系综合求解 命题点四 一元二次方程的实际应用 题型01传播问题 题型02增长率问题 题型03利润问题 题型04工程问题 题型05行程问题 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 配方法的综合应用 突破二 一元二次方程实际应用中探索问题 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 根与系数的关系 / / 天津卷 （第9题） 要求学生理解一元二次方程根与系数关系的内涵及适用前提（方程有实数根），掌握其在求根的和积、代数式值、结合判别式求参数等方面的应用，了解利用根的和积构造一元二次方程的逆向用法。 命题预测 考查形式固定，基础题占比高且侧重规范作答：选择/填空聚焦概念、解法、判别式、根与系数关系的直接应用，解答题必考实际应用建模（增长率、面积、销售利润三类核心模型），还常与二次函数、几何结合作为综合题小问；全板块以基础至中档为主，无超纲题，配方法步骤、实际应用的检验环节、含参数题的前提条件（二次项系数≠0、Δ≥0）是评分关键，漏写会扣分。 命题稳中有新，核心考点不变且侧重本地考向：近 5 年高频考点（方程概念、四种解法、判别式求参数、根与系数关系基础变形、三类实际模型）2026 年仍为重点考查内容；仅实际应用的题干背景会结合天津本地发展、新能源等热点创新，建模本质不变；同时更注重知识综合应用，判别式、根与系数关系极少单独考查，多与二次函数结合考查数形结合和方程思想。 考点一 解一元二次方程 方法1：直接开平方法 核心步骤：将方程化为的形式，直接开方得，解出x；若，方程无实数根。 适用题型：方程无一次项或能整理为完全平方式（形如，系数为整数，计算简单。 方法2：因式分解法 核心步骤：①移项使方程右边为0，；②将左边因式分解（提公因式、平方差公式为主，天津中考极少考十字相乘）；③令每个因式为0，解两个一元一次方程，得方程的两个根。 适用题型：左边能快速因式分解，无复杂系数，如提公因式型、平方差型4x2-9=0。 方法3：配方法 核心步骤：①化二次项系数为1(方程两边同除以a)； ②移项，将常数项移到方程右边，化为； ③配方，两边同时加一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式； ④用直接开平方法求解。 适用题型：所有一元二次方程（通用），天津中考常考系数为整数的一般方程，如、。 方法4：公式法（通用解法，天津中考高频） 核心步骤：①将方程化为一般形式，确定a、b、c(注意符号);②计算根的判别式，判断根的情况：有两个不相等实根，有两个相等实根，无实根；③若，代入求根公式，计算得两个根。 适用题型：无法用因式分解法、配方法快速求解的一般方程，或系数含分数/小数的方程。 1．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 3．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 4．（2025·天津·模拟预测）解方程：． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 一、核心定理(适用前提+公式) 1.适用前提：一元二次方程为一般形式，且方程有实数根(根的判别式 ； 2.核心公式：若方程的两个实数根为、，则 两根之和：(注意一次项系数的负号) 两根之积： 3.特殊形式：当二次项系数时，方程为。 二、高频变形公式(天津中考仅考基础变形) 由核心公式推导，用于求代数式值，直接套用即可： 1．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 2．（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 3．（2025·天津南开·二模）若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津东丽·模拟预测）（1）解一元二次方程：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ①求k的取值范围； ②若，求k的值． 考点三 一元二次方程实际应用 通用解题五步(中考评分规范，缺一不可) 1.设：设未知数，优先直接设元（问什么设什么），带单位，如设增长率为x、边长为x米、定价为x元； 2.列：根据实际问题的等量关系，列一元二次方程（核心步骤，找准数量关系是关键）； 3.解：用配方法/公式法/因式分解法解方程（天津中考多为整数解，优先因式分解法）； 4.验：双重检验(评分点)，①代数检验：解是否满足方程；②实际检验：解是否符合实际意义(如增长率、边长、价格为正数，人数为正整数),舍去不合题意的根； 5.答：规范作答，带单位回应题目问题，表述简洁。 1．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津和平·二模）如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 命题点一 解一元二次方程 ►题型01 配方法求参数的取值 【典例】将一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（    ） A．2，7 B． C． D． 【变式1】用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】用配方法将方程转化成的形式，则（    ） A． B．2027 C． D．2023 【变式3】用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 ►题型02 利用直接开方法进行相关求解 【典例】若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【变式1】关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 ►题型03 公式法解一元二次方程 1.适用前提：方程化为一般形式(a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数 项，均含符号）； 2.求根公式：当△≥0时，方程的两个实数根为 【典例】用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C． D． ►题型04 解一元二次方程（计算题） 【典例】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程：． 【变式2】按要求解下列方程： (1)（因式分解法）； (2)（公式法） 【变式3】用适当的方法解下列方程： (1) (2) 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况 核心解题三步法 1.整理定型：将方程化为一元二次方程一般形式(a≠0)，若为含参数方程，先标注二次项系数的前提(无参数则直接确认)，明确a、b、c的取值(包含前面的符号); 2.计算判别式：将a、b、c代入判别式公式，准确计算出△的具体值(含参数则化简为含参数的代数式)； 3.依号判根：根据△的符号，直接判定根的情况，结论表述规范： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 【典例】已知一元二次方程，下列判断正确的是（　　） A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 【变式1】关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【变式3】定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 ►题型02 已知一元二次方程根的情况求参数取值范围 通用四步解题思路(所有题型适配，核心框架) 步骤1：定前提，锁定一元二次方程本质 由方程为一元二次方程，得二次项系数≠0,先列出参数的第一个限制条件(如方程，先得，此为易漏前提，丢分重灾区)。 步骤2：化一般式，确定a、b、c(含参数) 将方程整理为标准一般式，把参数当作常数，明确a、b、c的表达式(必须带符号，如 步骤3：算判别式△,根据根的情况列条件 1.代入公式，化简得到含参数的△代数式； 2.依据根的情况，对应列出△的符号条件(核心对应关系，死记) 有两个不相等的实数根→△>0； 有两个相等的实数根→△=0； 有实数根(含相等/不相等)→△≥0； 无实数根→△<0。 步骤4：联立求解，确定参数最终取值范围 联立步骤1的二次项系数≠0和步骤3的△符号条件，解不等式(组),最终写出参数的取值范围(单独△=0时，解等式后验证二次项系数≠0即可)。 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数与函数的图象交点个数为 ． ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，则的取值范围是_______． (2)若方程有一个实数根为1，求的值和另一个实数根． 【变式2】【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【变式3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根与系数的关系之直接求解 【典例】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式1】若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式2】实数分别满足且，则的值是 ． 【变式3】已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． ►题型02 根与系数的关系之降次法 【典例】设是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式1】已知、是方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式2】已知，是方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【变式4】设，是方程的两个根，那么的值为 ． ►题型03 根与系数的关系之构造方程 【典例】若m，n是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【变式1】已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ． 【变式2】若两个不等实数m，n满足条件：，，则 ． ►题型04 已知等式求参数的值 【典例】若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 【变式1】若，是关于的方程：的两个根，且则的值是 ． 【变式2】已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为 ． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且，则 ． ►题型05 根与系数的关系综合求解 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【变式1】已知实数满足，． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【变式2】已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 传播问题 传播问题是一元二次方程增长率模型的典型变式，也是中考常考的实际应用题型，核心是找准传播次数、确定每轮传播的数量关系，遵循“设→列→解→验→答”规范步骤，解题关键是理解每轮传播的基数会随传播次数增加而变化，无复杂推导，以下梳理核心模型、解题思路、典型例题、避错要点，贴合天津考法。 一、核心模型(两类高频传播，公式直接套用) 传播问题的本质是多次等量增长，分单一人/物传播和多人/物同时传播两类，均以每轮传播的数量为核心，设基础量为a,每轮每个传播者传播x个对象，传播n轮，最终总数量为b,核心公式如下： 模型1:单一人/物起始传播(最基础，中考高频) 适用场景：从1个初始传染源开始，每轮1个传染源传播x个，无重复传播 公式： 简化考法：两轮传播→ (注：1为初始传染源，1+x为第一轮传播后总数量，也是第二轮传播的基数) 模型2：多人/物起始传播(变式考法) 适用场景：从a个初始传染源开始，每轮每个传染源传播x个，无重复传播 公式：两轮传播→ (与增长率公式完全一致，a为初始量，x为每轮传播率，本质是每轮以倍增长) 【典例】2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【变式1】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式2】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【变式3】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ ►题型02 增长率问题 增长率/下降率问题是一元二次方程实际应用的核心考法，本质是多次等量增长/下降，解题关键是找准初始量、增长次数、最终量，套用固定公式建模，全程遵循“设→列→解→验→答”规范步骤，无复杂推导，直接套用即可。 一、核心基础(必记，建模前提) 1.核心公式(增长率/下降率通用，中考唯一考法)； a：初始量/基础量(增长/下降前的原始量，如原产值、原销量、原人口); +：对应增长率，—：对应下降率/降低率； x：平均每次的增长率/下降率(无单位，用小数/百分数表示均可，如增长20%即x=0.2); n：增长/下降的次数(如1年2次、连续2年则n=2，中考99%考两轮/两次); b：最终量/结果量(增长/下降后的量)。 2.关键限制：下降率c满足0<x<1(如下降率不能大于1,否则量为负，无实际意义)；增长率x>0。 【典例】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．若该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 【变式1】市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【变式2】年，某初中为持续打造“绿色校园”，逐年优化绿植种植方案，相关绿植采购及养护费用的变化如下： (1)年学校采购观赏绿植幼苗，单价为元/盆，受绿植培育成本上涨影响，年、年的采购单价连续两年上调，每次上调的百分率相同，年的采购单价涨到元/盆，求每次上调的百分率． (2)绿植种植后需定期采购专用营养液，年月学校计划采购一批营养液．经调研发现：当营养液市场售价为元/瓶时，可采购瓶；若售价每降低元，可多采购瓶．为高效使用预算，学校与供应商协商调整售价，求营养液每瓶降低多少元，刚好用完元的采购预算（总费用调整后单价采购数量） 【变式3】公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ►题型03 利润问题 利润问题是一元二次方程实际应用的高频题型，核心是紧扣“总利润=单件利润×销售量”,结合“售价变化引发销量反向变化”的关系建模，遵循设→列→解→验→答规范步骤，天津中考侧重基础建模，销量与价格的关系直接给出，无复杂推导，以下梳理核心公式、通用思路、典型考法、避错要点，贴合本地考情。 一、核心公式(必记，建模基础) 所有利润问题均围绕以下3个公式展开，无需额外推导，直接套用： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本); 2.总利润=单件利润×销售量(核心等量关系，列方程的依据); 3.销量变化关系：售价每涨价/降价m元，销售量就减少/增加n件(题干直接给出，如“每涨价1元，销量减5件”)。 关键变量关系 设进价为固定值，原售价为p,原销量为q,设售价涨/降x元(或直接设新售价为x),则： 涨价x元：新售价，单件利润一进价，新销量 降价x元：新售价，单件利润一进价，新销量。 【典例】2025年乡村振兴背景下，平顺县“新农人”宋建红通过直播带货推广家乡地理标志产品——潞党参，这款太行山滋补佳品广受青睐．已知每盒潞党参成本30元，售价为50元时，每月可售200盒；售价每降低1元，月销量增加20盒．若月利润目标为4480元，为更多让利于顾客，求该款潞党参的实际售价． 【变式1】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲、乙两种头盔进行销售，用2400元购进甲种头盔，用1800元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.5倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个． (1)求购进甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为50元/个时，月销售量为600个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到12000元，而且能尽快减少库存，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【变式2】某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． (1)用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； (2)若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； (3)该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 【变式3】某商店购进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，那么每天可销售40件．为尽快减少库存，现降价以促进销售，经试销发现，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件．设每件文创产品降价元． (1)每天销售量为___________件，每件盈利___________元；（用含x的代数式表示） (2)按这样的降价措施，该商店销售这种文创产品每天获利能否达到3300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． ►题型04 工程问题 【典例】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【变式1】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式2】某企业为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装． (1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8小时，生产工装的总套数不少于380套，则乙厂至少生产这种工装多少小时? (2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间（增加的生产时间不得超过8小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3小时，因为甲厂机器损耗及人员不足，甲厂每增加1小时，该厂每小时的平均产量将减少3套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装总套数为890套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间． 【变式3】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式4】学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 ►题型05 行程问题 【典例】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【变式1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【变式2】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 突破一 配方法的综合应用 【典例】阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【变式1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【变式2】通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)填空：多项式的最小值为______； (2)若满足，求的值； (3)已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【变式3】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 突破二 一元二次方程实际应用中探索问题 【典例】问题背景：在长方形几何图形设计里，满足长和宽比例相同的两个长方形图形设计问题，称为“和谐设计问题”，对应的长和宽的比称为“和谐比”．某数学小组围绕长方形封面边衬设计，开展“和谐设计问题”的探究． 信息一：2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，封面整体和封面中央的图画是符合“和谐设计”的两个长方形． 信息二：要使四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，其中上、下边衬等宽，左、右边衬等宽． 探究1 （1）根据材料可知，纪念册封面中央图画的面积是___________． 探究2 （2）根据“和谐比”，设中央图画的长、宽分别为，，求封面四周边衬的宽度． 探究3 （3）请你用与（2）不同的方法求四周边衬的宽度．（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比） 【变式1】 探究不同长方形周长与面积的关系 一、项目化情境与问题 某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示 根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？ 二、项目支架与探究 为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶ 探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 三、项目成果 长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值． 【变式2】周长与面积数值相等的图形叫做“等量图形”．小月在学习《正多边形》这一节时发现正三角形、正方形、矩形中存在“等量图形”，并进行了如下探究： 【探究一】正方形中的“等量图形” 设正方形的边长为a，周长为C，面积为S，则 当 时，可以求出a，所以当正方形的边长为 ① 时，它是“等量图形”． 【探究二】等边三角形中的“等量图形” 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则② ，③ ，当时，可以求出b，所以，当等边三角形的边长为 ④ 时，它是“等量图形”． 【探究三】矩形中的“等量图形” 设矩形的长为x，宽为y，周长为C，面积为S，则 ． (1)根据题意，完成上面的填空：① ，② ，③ ，④ ； (2)请你用图象法（可在网格上画图表示）与代数法分别研究：当时，是否存在一个矩形是“等量图形”，如果存在，它的长和宽分别为何值；如果不存在，请说明理由； (3)若，请你直接写出当m满足什么样的条件时，能使矩形是“等量图形”． 【变式3】数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……．    【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是465？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）请根据材料通过代数运算求前行的点数和． （2）前______行的点数和是465． 【应用延伸】： （3）如图3，该点阵的点数从上到下依次为：这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． 1．已知是方程的解，则b的值为（   ） A． B．1 C． D．3 2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 6．解方程． (1)； (2)． 7．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    1．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 3．【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 3．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $