第03讲 反比例函数的性质及其应用（复习讲义，3考点10题型2重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 第03讲 反比例函数的性质及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一反比例函数的图像与性质 题型01 反比例函数的定义 题型02 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 题型04 根据反比例函数解析式判断其性质 题型05 根据反比例函数的性质求参数 题型06 待定系数法求反比例函数解析式 题型07 反比例系数k的几何意义 题型08 反比例函数与一次函数综合 命题点二 反比例函数与实际问题 题型01 反比例函数与实际问题 题型02 函数综合应用 05·重难突破·思维进阶难 16 突破一 反比例函数与几何综合 突破二 反比例函数与存在性问题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的图像与性质 T7 T8 T8 理解反比例函数 ()的图像特征（双曲线），掌握其增减性（分象限讨论） 反比例系数k的几何意义 掌握反比例函数图像上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形 / 三角形面积与k的关系（面积=或 反比例函数的实际应用 能从实际问题（如 “路程 - 速度”“面积 - 边长” 等反比例关系场景）中抽象出反比例函数模型，求解实际问题 反比例函数与一次函数 能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系 命题预测 2026年天津中考反比例函数聚焦选择基础题，常考k 的几何意义、图像象限、增减性，以点坐标 / 函数值大小比较为核心，题型和难度保持稳定，偶与一次函数简单结合考查图像交点。 备考建议 熟记 k 的符号与图像、增减性的对应关系，掌握不同象限内点的函数值比较方法，强化基础计算，规避 “跨象限用增减性” 的易错点即可。 考点一 反比例函数的图像及性质 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于（x、y） 图像分别位于（x、y） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而 在每个象限内，y随x的增大而 图像特征 1）图像是关于直线和对称的双曲线； 2）图像是关于________对称的双曲线； 3）图像________________坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 3. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 1．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 2．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025南开区模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 考点二 反比例函数中|k|的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 1．（2025天津市模拟预测）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 2．（2025河东区模拟）如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为 ． 3．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 考点三 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 2．（2025和平区一模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 3．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025天津模拟预测）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. 忽视这个条件，而得到错误结论. 【典例1】（2025·天津滨海新·一模）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025南开区模拟预测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） ►题型02 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 【典例2】（2024南开区模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图像相交于点，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·河西区·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024南开区模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． ►题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 【典例3】（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►题型04 根据反比例函数解析式判断其性质 【典例4】（2023天津押题卷）已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象在第二、四象限内 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．当时， 【变式1】（2022河东区模拟）关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 【变式2】（2021·天津河西·一模）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣3 B．函数的图象在第二、四象限 C．函数图象经过点（3，﹣1） D．当x＞0时，y随x的增大而减小 ►题型05 根据反比例函数的性质求参数 【典例5】（2021·天津红桥·模拟预测）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）图象的一支． （1）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围； （2）点A(2，3)在该反比例函数的图象上． ①判断点B (3，2)，C(4，-2)，D(-1，-6)是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 【变式1】（2023·蓟州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·天津·一模）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【变式3】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． ►题型06 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【典例6】（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 【变式1】（2021·天津河北·一模）若两个点均在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． ►题型07 反比例系数k的几何意义 【典例7】（2024·和平区模拟预测）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2024天津市模拟预测）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【变式2】（2024塘沽模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． ►题型08 反比例函数与一次函数综合 1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式. 2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论. 3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点: (1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长； (2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解； (3)有时可利用|k|几何意义解决问题 【典例8】（2025天津模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【变式1】（2024东丽区模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． (1)求a、k的值； (2)结合图像，直接写出不等式的解集； (3)连接OA、OB，求的面积． 【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 命题点二 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 【典例1】（2025天津模拟预测）嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 【变式1】（2024河西区模拟预测）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， ►题型02 函数综合应用 【典例2】（2025南开区模拟预测）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：    (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【变式1】（2025·武清区·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【变式2】（2025·河北区·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 突破一 反比例函数与几何综合 【典例1】（2024南开区模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中． (1)求的值； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标． 【变式1】（2024南开区模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)直接写出时x的取值范围； (3)将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标． 突破二 反比例函数与存在性问题 【典例1】（2024南开区模拟押题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【变式2】（2025·吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】（2025·广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平区·一模）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B．C．D． 6．（2023·天津和平·一模）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，当时，反比例函数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 7．（2025天津模拟预测）已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是 ． 8．（2012·天津红桥·二模）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 1．（2022天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 2．（2024武清区模拟预测）如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 3．（2025南开区模拟）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 4．（2025天津市模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)反比例函数的表达式为_____，B点坐标为_____． (2)根据题意，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并标出A、B点． (3)在该函数的图象上分别取，和，如果，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“<”连接，其结果为_____． (4)结合函数的图象，直接写出的的取值范围_____． (5)分别连接，，则的面积为_____ 5．（2025天津市模拟预测）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． (1)求一次函数的表达式及点的坐标； (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求点的坐标． 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 4．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第03讲 反比例函数的性质及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一反比例函数的图像与性质 题型01 反比例函数的定义 题型02 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 题型04 根据反比例函数解析式判断其性质 题型05 根据反比例函数的性质求参数 题型06 待定系数法求反比例函数解析式 题型07 反比例系数k的几何意义 题型08 反比例函数与一次函数综合 命题点二 反比例函数与实际问题 题型01 反比例函数与实际问题 题型02 函数综合应用 05·重难突破·思维进阶难 37 突破一 反比例函数与几何综合 突破二 反比例函数与存在性问题 06·优题精选·练能提分 49 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的图像与性质 T7 T8 T8 理解反比例函数 ()的图像特征（双曲线），掌握其增减性（分象限讨论） 反比例系数k的几何意义 掌握反比例函数图像上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形 / 三角形面积与k的关系（面积=或 反比例函数的实际应用 能从实际问题（如 “路程 - 速度”“面积 - 边长” 等反比例关系场景）中抽象出反比例函数模型，求解实际问题 反比例函数与一次函数 能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系 命题预测 2026年天津中考反比例函数聚焦选择基础题，常考k 的几何意义、图像象限、增减性，以点坐标 / 函数值大小比较为核心，题型和难度保持稳定，偶与一次函数简单结合考查图像交点。 备考建议 熟记 k 的符号与图像、增减性的对应关系，掌握不同象限内点的函数值比较方法，强化基础计算，规避 “跨象限用增减性” 的易错点即可。 考点一 反比例函数的图像及性质 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 3. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 1．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当，反比例函数图象经过第一、三象限，当，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可． 【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·天津·二模）已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025南开区模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 该反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 考点二 反比例函数中|k|的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 1．（2025天津市模拟预测）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，据此即可求解． 【详解】根据反比例函数k的几何意义可知，， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选：D． 2．（2025河东区模拟）如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为 ． 【答案】6 【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点P的坐标为（x，y）， ∵点P的反比例函数解析式上， ∴xy＝﹣6， ∵PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N, ∴四边形PMON为矩形， ∴四边形PMON的面积为|xy|＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的意义;用到的知识点为:在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.注意面积应为正值． 3．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，， ， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得． 故选：D． 考点三 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出阻力F和阻力臂l之间的关系是解题关键． 直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；根据所求的函数解析式即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：， 则F与l的函数表达式为：； A、当动力臂时，动力，正确，故A不符合题意； B、当动力臂时，动力，正确，故B不符合题意； C、动力随着动力臂的加长而减小，原说法错误，故C符合题意； D、动力和动力臂之间是反比例关系，正确，故D不符合题意； 故选：C． 2．（2025和平区一模）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 3．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点 处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，随的增大而减小， 当时，可有， 越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值， ∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是． 故选：D． 4．（2025天津模拟预测）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的定义 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. 忽视这个条件，而得到错误结论. 【典例1】（2025·天津滨海新·一模）下面四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是正比例函数，故此选项不符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 【变式2】（2025南开区模拟预测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 【答案】D 【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以判断各个选项中的点是否在该函数的图象上，本题得以解决． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，得， ， ， A、，故选项不符合题意， B、，故选项不符合题意， C、，故选项不符合题意， D、，故选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的知识解答． ►题型02 由反比例函数图像的对称性求点的坐标 【典例2】（2024南开区模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图像相交于点，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图像的特点可知两点关于原点对称，从而求出点坐标，再用待定系数法求反比例函数的解析式即可． 【详解】解： 是反比例函数与过原点的直线的交点， 关于原点对称， 由图形可知，点的坐标为：， 设反比例函数的解析式为：， 将代入解析式，得， 这个反比例函数解析式为：； 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数图像的对称性、用待定系数法求反比例函数的解析式，正确得出两点关于原点对称是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河西区·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 【变式2】（2024南开区模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. ►题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 【典例3】（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【变式1】（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 【变式2】（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． ►题型04 根据反比例函数解析式判断其性质 【典例4】（2023天津押题卷）已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象在第二、四象限内 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质即可找出错误的结论． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，， 当或时，，当时，不能判断，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据确定比例系数的符号． 【变式1】（2022河东区模拟）关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．y的值随x值的增大而减小 C．当x＞﹣2时，y＜﹣3 D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式结合反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为y， ∴反比例函数经过一、三象限，且在每个象限内y的值随x值的增大而减小，故A、B不符合题意； ∴当x＞0时，y＞0，故C不符合题意； 当x=1时，y=6，当x=6时，y=1， ∴点（1，6）和点（6，1）都在该图象上，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键． 【变式2】（2021·天津河西·一模）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（　　） A．k＝﹣3 B．函数的图象在第二、四象限 C．函数图象经过点（3，﹣1） D．当x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、反比例函数y＝的图象经过点（-3，1），∴k=-3×1=-3，故本选项正确，不符合题意； B、∵k=-3＜0，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故本选项正确，不符合题意； C、∵当x=3时，y=-1，∴此函数图象过点（3，-1），故本选项正确，不符合题意； D、∵k=-3＜0，∴当x＞0时，y随着x的增大而增大，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． ►题型05 根据反比例函数的性质求参数 【典例5】（2021·天津红桥·模拟预测）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）图象的一支． （1）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围； （2）点A(2，3)在该反比例函数的图象上． ①判断点B (3，2)，C(4，-2)，D(-1，-6)是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 【答案】（1）第三象限，；（2）①点B(3，2)在该反比例函数图象上，点C(4，-2)不在该反比例函数图象上，点D(-1，-6)在该反比例函数图象上．理由见解析；②． 【分析】（1）根据反比例函数关于原点对称的性质即可解答． （2）①利用待定系数法求出该反比例函数解析式，再将各点代入即可判断．②根据反比例函数的增减性即可解答． 【详解】（1）根据反比例函数关于原点对称可知，图象的另一支在第三象限， 故，即． （2）①∵点A(2，3)在该反比例函数上， ∴， 解得：． 故该反比例函数解析式为． 当时，，故点B(3，2)在该反比例函数图象上． 当时，，故点C(4，-2)不在该反比例函数图象上． 当时，，故点D(-1，-6)在该反比例函数图象上． ②∵该反比例函数y随x的增大而减小，且M、N两点同时在同一支上， ∴当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．利用待定系数法求函数解析式，掌握反比例函数的性质是解答本题关键． 【变式1】（2023·蓟州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，则可以判断图象的位于二四象限，再根据点的纵坐标，判断出具体象限，再根据纵坐标比较出横坐标的关系，即可得到答案． 【详解】解： 在各自象限内，y随x的增加而增加 点在第四象限，点和点在第二象限，且，则， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，掌握反比例函数的性质是解答此题的关键． 【变式2】（2024·天津·一模）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当k＞0时， 函数y＝kx的图象位于一、三象限，y＝（k≠0）的图象位于一、三象限，（2）符合； 当k＜0时， 函数y＝kx的图象位于二、四象限，y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，（4）符合； 故选C． 【点睛】考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 【变式3】（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． ►题型06 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【典例6】（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】先判断出函数图象在一、三象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数）的图象过点． ∴， ∴反比例函数，此函数图象在一、三象限， ， 在第三象限；点在第一象限， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键． 【变式1】（2021·天津河北·一模）若两个点均在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】把两个点坐标代入解析式，根据题意列出不等式，确定k的取值范围即可． 【详解】解：把代入得， ，， 根据题意得， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数和不等式，解题关键是代入点的坐标，根据题意列出不等式，确定确定k的取值范围． 【变式2】（2024·天津红桥·一模）已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． ►题型07 反比例系数k的几何意义 【典例7】（2024·和平区模拟预测）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断 ；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 【变式1】（2024天津市模拟预测）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 【变式2】（2024塘沽模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． ►题型08 反比例函数与一次函数综合 1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式. 2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论. 3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点: (1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长； (2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解； (3)有时可利用|k|几何意义解决问题 【典例8】（2025天津模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 【变式1】（2024东丽区模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． (1)求a、k的值； (2)结合图像，直接写出不等式的解集； (3)连接OA、OB，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为6 【分析】（1）根据待定系数法即可求得k的值，即可求得一次函数的解析式，代入A(a，-2a)即可求得a； (2)根据图像即可求得； (3)由直线解析式求得C点的坐标，从而求出AOB的面积． 【详解】（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、， ∴-2=4k+2， ∴k = -1， ∴， 代入得，-2a=-a+2 解得a=-2， ∴a的值为-2，k的值为-1； （2）∵a=-2， ∴A(-2，-4)， ∵B(4，-2)， 观察图像，当或x>4时， ， ∴不等式的解集为： 或； （3）由直线可知C(2,0)， 所以△AOB的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 【答案】(1)，理由见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）分别讨论当或时，的大小，先设点A和中心对称点的坐标，代入直线l解析式转化为，联立双曲线解析式后进行整理因式分解求得，此时计算出点B的坐标，再利用勾股定理求出、和的长度，利用勾股定理的公式判断是否为直角三角形，最终求出对应角度即可； （2）先设，则，点在直线上和双曲线上，联立两个方程得到，此时该方程有两个根，说明直线l与双曲线有两个不同的交点A，B，从而得出点B的坐标，根据已知直线解析式将，B两点代入解析式中得到，之间的关系，进而得出结论． 【详解】（1）解：当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得： ， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，； 当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得：， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，， 综上所述，． （2）证明：设，则， ∵在双曲线上， ∴，即， 又∵在直线上， ∴，移项可得， ∴直线l的解析式为：， 联立方程，得， ∴此时，则，点， ，则，即点， ∵直线的解析式为，点，点在直线上， ∴将两点代入解析式后得到：， 由得：， 又∵点A在上，将代入上式：， ∴，即， 若，则，代入得， 又∵，故， 此时直线l过原点，交点A，B关于原点对称，即，直线无法确定，与题意不符， 故只能是． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数与几何的综合应用，利用勾股定理判断直角三角形，需正确设立未知数表示系数之间的关系． 命题点二 反比例函数与实际问题 ►题型01 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 【典例1】（2025天津模拟预测）嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出R的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当时，, 解得； （3）解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 【变式1】（2024河西区模拟预测）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． ►题型02 函数综合应用 【典例2】（2025南开区模拟预测）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：    (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：；爆炸后： (2) (3) 【分析】（1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x值即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点与， ， 解得， ， 此时自变量的取值范围是， 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点， ， ， ， 此时自变量的取值范围是； （2）解：当时，由得，，解得， 撤离的最长时间为（小时）， 撤离的最小速度为 （3）解：当时，由得，，（小时）， 矿工至少在爆炸后小时才能下井． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 【变式1】（2025·武清区·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【变式2】（2025·河北区·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 突破一 反比例函数与几何综合 【典例1】（2024南开区模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中． (1)求的值； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握面积的计算方法是解答本题的关键． （1）根据点的坐标求的值即可； （2）根据函数图象可直接写出不等式的解集； （3）设，利用，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， ，； （2）解：由反比例函数图象的对称性可得点的坐标为， 由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：由反比例函数图像的中心对称性知点， 设，则 ， 解得， 或． 【变式1】（2024南开区模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)直接写出时x的取值范围； (3)将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1)直线为；反比例函数为 (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的x的取值； （3）设平移后的一次函数的解析式为，交y轴于Q，连接，根据同底等高的三角形面积相等列方程求出a的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数为， 在上， ， ， ， 一次函数的图象经过A，， ， 解得：， 直线为． （2）解：由图象可知，的解集是或； （3）解：设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，如图所示： 令，则， ， ， ， 解得：， 平移后的一次函数的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 突破二 反比例函数与存在性问题 【典例1】（2024南开区模拟押题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 【变式2】（2025·吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是反比例函数图象上的点． ①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①存在，可使最小；②可使线段与的差最大． 【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，解直角三角形． （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标； ②求得直线的解析式后求得直线与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，，可设，， ∴，又， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即点C的坐标为； ①在x轴上存在点P，使得最小． 理由如下：由点可知它关于x轴的对称点为， 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使最小； ②在x轴上存在点Q，使得线段与的差最大．理由如下： 设直线的解析式为：， ∵与在其图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，可知， ∴可使线段与的差最大． 【变式3】（2025·广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 1．（2025·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，故A不不符合题意； B、是二次函数，故B不符合题意； C、不是反比例函数，故C不符合题意； D、是反比例函数，故D符合题意， 故选：D． 2．（2025·天津和平区·一模）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，该点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； C、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）若点 在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数)的图像是双曲线，当时，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数图像的性质解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象在二、四象限上，且在每一个象限y随x的增大而增大， ∴在第二象限，即； 在第四象限，且y随x的增大而增大，， ∴． 故选B． 4．（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；掌握函数的图象与性质是解题的关键；由于反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，由此即可作出判断． 【详解】解：∵； ∴当时，， 则；故A正确； 当时，， 则；故B错误； 当时，，的符号不确定， 若，则；若，即，则；故C错误； 当时，，则；故D错误； 故选：A． 5．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 6．（2023·天津和平·一模）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，当时，反比例函数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入，求出交点的坐标，将此坐标代入反比例函数，即可求出k的值，进而求出时y的取值，再根据反比例函数的增减性求出y的取值范围． 【详解】解：把代入，得 将，代入中，得：． ∴所求反比例函数的解析式为． 当时，；当时，． ∵， ∴反比例函数在每个象限内y随x的增大而减少． ∴当时，反比例函数取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式． 7．（2025天津模拟预测）已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用待定系数法求得两个函数的解析式，然后联立解方程，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴直线为，双曲线为， 联立，解得或， 所以它们的另一个交点坐标是； 故答案为：． 8．（2012·天津红桥·二模）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 【答案】(1)直线的解析式为：；反比例函数的解析式为 (2) (3)当时， 【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可得； （2）联立，进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ， ∴直线的解析式为：， ∵点在反比例函数上， ∴， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， 解得， ∴； （3）解：根据函数图象得，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握． 1．（2022天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 【答案】-2 【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，交点为P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵O（0，0），B（1，2）， ∴P的坐标， ∵A（3，1）， ∴C的坐标为（-2，1）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C， ∴k=-2×1=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 2．（2024武清区模拟预测）如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2025南开区模拟）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．（2025天津市模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)反比例函数的表达式为_____，B点坐标为_____． (2)根据题意，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并标出A、B点． (3)在该函数的图象上分别取，和，如果，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“<”连接，其结果为_____． (4)结合函数的图象，直接写出的的取值范围_____． (5)分别连接，，则的面积为_____ 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)或 (5)3 【分析】（1）把代入，求出，得到，然后把代入，求得，即得反比例函数的表达式；令，解得或，即可求得B点坐标； （2）通过列表、描点和连线，即可画出反比例函数的图象； （3）根据，可得，再根据反比例函数在第三象限内的增减性，可求得，即得答案； （4）结合图象即可求得答案； （5）先求直线与y轴的交点坐标，再根据计算即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ， 把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为； 令， 去分母，整理得， 解得或， 当时，， ， 故答案为：；． （2）解：列表： x 1 2 4 4 2 1 描点，连线如下图： （3）解：， ， ， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 当时，， ， 即． 故答案为：． （4）解：结合图象可知，当时，或． 故答案为：或． （5）解：设直线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了画反比例函数的图象，求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象与性质，反比例函数与几何的综合问题，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 5．（2025天津市模拟预测）如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． (1)求一次函数的表达式及点的坐标； (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）作，，垂足分别为，，由，即，得，然后证明，所以，从而求出点，然后代入即可求出； （）由轴，且点在反比例函数的图像上，则，又，且点在反比例函数的图像上，得，然后代入到即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴； （2）解：如图，作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，作，垂足为，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点横坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 把代入到中得， 解得：， ∴． 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 4．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 5．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时， Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 10．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $