第03讲 一元二次方程的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 一元二次方程的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 一元 【知识点01】一元二次方程的定义二次 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 .整理后. 2. 一元二次方程的“三要素”分母或根号内不含未知数 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 警示误区 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【知识点02】一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【知识点03】一元二次方程的解(根) 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【知识点04】直接开平方法 1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 知识链接 平方根的定义： 若 x2=a(a ≥ 0)，则 x 是 a 的平方根，即x=± . 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【知识点05】配方法 1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【知识点06】公式法 1.求根公式 x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值，然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【知识点07】因式分解法 1. 定义 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【题型一】一元二次方程的定义 例1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 例2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 例3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 例4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 例5．一元二次方程：，当二次系数为时，一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是把一元二次方程先化为一般形式． 将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴一次项系数是． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是， 故选A． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 变式3．方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 变式4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 例6．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 例7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故选：． 例8．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是， 故选A． 变式2．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【知识点】二次根式的混合运算、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 【题型五】一元二次方程的解的估算 例9．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围． 【详解】解：∵当时，当时， ∴当x在中取一个值时，， ∴一元二次方程的某一个解的取值范围是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 变式1．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 变式2．根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解． 【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时， ∴时， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键. 【题型六】解一元二次方程——直接开平方法 例10．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据已知方程的解得出或，求出即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别为，， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解，根据已知方程的解得出或是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．移项可得，再用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 变式2．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 【题型七】解一元二次方程——配方法 例11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程配方后得到，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用配方法，将方程左边配成完全平方式，右边化为常数，再求解．本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（移项、配方、开方、求解）是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴，． 【题型八】公式法解一元二次方程 例12．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得：，． 【题型九】因式分解法解一元二次方程 例13．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 变式1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先解方程可得，，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程的两个根一根大于1，另一根小于， ∴． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 通过移项，提取公因式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解：方程变形得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【题型十】换元法解一元二次方程 例14．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）关于的一元二次方程的一根为，则关于的方程的根为 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解题的关键． 由关于的方程，得，由于关于的一元二次方程的一根为，则关于的方程的根或，然后求解即可． 【详解】解：由关于的方程，得， ∵关于的一元二次方程的一根为， ∴关于的一元二次方程的根为或， ∴关于的方程的根或， ∴，， 故答案为：，． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 【题型十一】配方法的应用 例15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 变式1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）把方程化为的形式，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】配方法的应用 【分析】先将方程进行配方，求出和的值，再代入求解即可． 【详解】解： ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 一、单选题 1．一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 2．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 3．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A．x1=﹣1，x2=﹣2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x2﹣x﹣2=0， （x﹣2）（x+1）=0， x﹣2=0或x+1=0， 所以x1=2，x2=﹣1． 故选D． 4．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A. ， ，故该选项不正确，不符合题意； B. ， ，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ，故该选项不正确，不符合题意； D. ， ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 5．若方程，则 A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程进行开方运算，将看作整体求解即可得出结论. 【详解】， ， =5，=（舍去）， 故答案为B. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，熟练运用开方，移项，合并同类项等技巧是关键. 6．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 7．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 8．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案． 【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0， ∴（a+b+c）（a2+a+1）=0． ∵a2+a+1=（a+）2+＞0， ∴a+b+c=0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 二、填空题 9．一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 故答案为：． 10．定义运算，若，，则的值为 ． 【答案】-1或4 【分析】理解好定义，列出方程直接求解即可． 【详解】解：因为：， 所以：， 所以： , 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是在新定义情境下一元二次方程的解法，理解定义，掌握解法是解题关键． 11．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】16 【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【详解】解：分为两种情况： 情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解， 代入4到方程中，求得， 此时方程的两个解为4和8， 对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去； 情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根， ∴△=12²-4k=0，解得k=36， 此时方程的两个解为6和6， 对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解． 12．若（x+）2=，试求（x-）2的值为 ． 【答案】 【分析】根据配方法的概念和基本性质，将（x＋）2转化成（x－）2，再求出答案. 【详解】（x－）2＝x2＋－2×x×＝ x2＋－2＝ x2＋＋2－4＝ x2＋＋2×x×＝－4＝（x＋）2－4＝－4＝，故答案为. 【点睛】本题主要考查了配方法的概念和基本性质，解此题的关键在于用配方法将 （x＋）2转化成（x－）2. 13．若代数式2－2x与x2－2x＋1的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】3或1. 【详解】分析：由于代数式2－2x与x2－2x＋1的值互为相反数，则（2−2x）＋（x2－2x＋1）＝0，整理得，x2−4x+3＝0，根据方程系数的特点，应用因式分解法解答． 解答：解：∵代数式2－2x与x2－2x＋1的值互为相反数， ∴（2−2x）＋（x2－2x＋1）＝0， 即2（1−x）+（x−1）2＝0 即（x−1）（x-3）＝0， 解得，x1＝3，x2＝1． 故答案为：3或1． 点睛：本题既考查了相反数的性质，又考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法时，即可考虑用求根公式法，此法适用于任何一元二次方程． 14．已知a是方程一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 15．解方程：2（x﹣2）2=338． 【答案】x=15或x=﹣11． 【分析】用直接开平方法解一元二次方程可得． 【详解】∵2（x﹣2）2=338， ∴（x﹣2）2=169， ∴x﹣2=13或x﹣2=﹣13， 解得：x=15或x=﹣11． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16．用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题关键. 【详解】 解：， ， ∴， 解得：. 17．解方程 （1）． （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）． ， ， （2）． ， ， ， ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程． 18．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）移项，得：， 配方，得 ， 解得：． （2）方程整理，得， 即， 解得． 19．已知方程的一个根是3，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m=1；另一根为-3． 【详解】试题分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值． 试题解析：∵方程x2+（m-1）x+m-10=0的一个根是3， ∴方程9+3（m-1）+m-10=0， 即4m-4=0， 解得m=1； 有方程x2-9=0， 解得x=±3， 所以另一根为-3． 考点：1．解一元二次方程-直接开平方法；2．一元二次方程的解． 20．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 21．解方程时，有一名同学的解答如下： 上述过程中有无错误？如有错误请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 【答案】有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式．正确的解题过程见解析 【分析】先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据整理后的方程找出二次项系数，一次项系数及常数项，最后根据求根公式解方程． 【详解】解：有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式． 正确的解题过程如下： 将原方程化成一般形式为， 则，， ， ， ; 故该同学的答案有错误，错误在于没有将原方程化为一般形式进行分析二次项系数、一次项系数和常数项． 【点睛】本题主要考查的知识点为一元二次方程系数的识别以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键。 22．阅读理解： 方程的根是.方程的根是. 因此，要求的根，只要求出方程的根，再除以就可以了. 举例：解方程. 解：先解方程：，得，. 所以方程的两根是，. 即，. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程. 【答案】， 【分析】根据材料中方法先求出方程的根，然后再除以49即可. 【详解】先解方程，即， 分解因式得， 解得，， ∴方程的解为，. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−公式法与因式分解法，理解题中的方法是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 一元 【知识点01】一元二次方程的定义二次 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程 .整理后. 2. 一元二次方程的“三要素”分母或根号内不含未知数 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 警示误区 最高次数是 2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程， 如：(m－2)x2+3x－8=0不一定是一元二次方程. 【知识点02】一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中ax2是二次项， a是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax²+bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax²+c=0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax²=0(a ≠ 0) a 0 0 【知识点03】一元二次方程的解(根) 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 2.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的三个重要结论(拓展) (1)有一个根为x=1 a+b+c=0； (2)有一个根为x=-1 a-b+c=0； (3)有一个根为x=0 c=0. 【知识点04】直接开平方法 1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法. 知识链接 平方根的定义： 若 x2=a(a ≥ 0)，则 x 是 a 的平方根，即x=± . 2. 方程x2=p 的解(根)的情况 (1)当p>0 时，方程有两个不等的实数根=－ ，= ； (2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根==0； (3)当p<0 时，方程没有实数根. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根) 开平方 将方程转化为两个一元一次方程 解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根 【知识点05】配方法 1. 定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x²7x+3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x²-7x=-3 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 【知识点06】公式法 1.求根公式 x= 是一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的求根公式 . 2. 公式法 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a， b， c 的值，然后，把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根，这种解法叫做公式法 . 3.用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式； (2)确定公式中a，b，c 的值； (3)求出b2－4ac 的值； (4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解. 【知识点07】因式分解法 1. 定义 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3. 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型(a, b 为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x²+bx=0 x(x+b)=0 =0, =-b x²-a²=0 (x+a) (x-a)=0 =-a, =a x²±2ax+a²=0 (x±a)²=0 == ±a x²+(a+b)x+ab=0 (x+a) (x+b)=0 =-a, =-b 【题型一】一元二次方程的定义 例1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 例3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 例4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 例5．一元二次方程：，当二次系数为时，一次项系数是 ． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 变式3．方程的二次项系数是 ． 变式4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 例6．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 变式1．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 变式2．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 例7．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 例8．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A． B．2，1 C．0，1 D． 变式2．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 变式3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【题型五】一元二次方程的解的估算 例9．（22-23八年级下·安徽六安·期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　） x 1 4 0.06 0.02 A． B． C． D． 变式1．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 变式2．根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A． B． C． D． 【题型六】解一元二次方程——直接开平方法 例10．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）关于x的一元二次方程的解是 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【题型七】解一元二次方程——配方法 例11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程配方后得到，则 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程 【题型八】公式法解一元二次方程 例12．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若是一元二次方程的根，则的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【题型九】因式分解法解一元二次方程 例13．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 变式1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是 ． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【题型十】换元法解一元二次方程 例14．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）关于的一元二次方程的一根为，则关于的方程的根为 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【题型十一】配方法的应用 例15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）把方程化为的形式，则的值是 ． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 一、单选题 1．一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 3．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A．x1=﹣1，x2=﹣2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2 4．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．若方程，则 A．或 B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 8．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 二、填空题 9．一元二次方程的常数项是 ． 10．定义运算，若，，则的值为 ． 11．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ． 12．若（x+）2=，试求（x-）2的值为 ． 13．若代数式2－2x与x2－2x＋1的值互为相反数，则x的值为 ． 14．已知a是方程一个根，则的值为 ． 三、解答题 15．解方程：2（x﹣2）2=338． 16．用配方法解方程： 17．解方程 （1）． （2） 18．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 19．已知方程的一个根是3，求m的值及方程的另一个根． 20．已知m是方程的根，求代数式的值． 21．解方程时，有一名同学的解答如下： 上述过程中有无错误？如有错误请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 22．阅读理解： 方程的根是.方程的根是. 因此，要求的根，只要求出方程的根，再除以就可以了. 举例：解方程. 解：先解方程：，得，. 所以方程的两根是，. 即，. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $