第02讲 二次根式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 二次根式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘法 1.性质 3  如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为a 表示a 与的乘积，即a =a· . 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【知识点02】积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【知识点03】二次根式的除法既可以是数，也可以是式子 . 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【知识点04】商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 . 2.分母有理化 把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法 当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【知识点05】最简二次根式 1.定义 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【知识点06】同类二次根式 1. 定义  将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2. 合并的方法  合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变， 合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【知识点07】二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则  二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【知识点08】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a － b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( － ) = = =. 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若，其中是有理数，则 ． 变式2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【题型二】二次根式的除法 例2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 例3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）计算÷＝ ． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：的结果是 ． 变式2．已知，，求的值． 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【题型四】复合二次根式的化简 例5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 变式2．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且mn=，则a±2，变成m2+n2+2mn=（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 因为3±2=1+2±2=12+（）2+2=（1+）2， 所以==|1±|=±1． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【题型五】最简二次根式的判断 例6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 变式1．在①；②；③；④中，最简二次根式有 个． 变式2．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【题型六】化为最简二次根式 例8．已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值 ． 变式1．把化成最简二次根式得 ． 变式2．阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【题型七】已知最简二次根式求参数 例9．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【题型八】同类二次根式 例10．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．10 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 变式2．把二次根式与分别化简后，被开方数相同． （1）如果是正整数，那么符合条件的的值有哪些？ （2）如果是整数，那么符合条件的的值有多少个？最大值是什么？有没有最小值？ 【题型九】二次根式的加减运算 例11．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【题型十】二次根式的混合运算 例12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 【题型十一】分母有理化 例13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，则的值为 ． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 【题型十二】已知字母的值，化简求值 例14．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知，则代数式的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 【题型十三】已知条件式，化简求值 例15．已知，，，则的值是 ． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 变式2．（22-23八年级下·安徽·月考）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【题型十四】比较二次根式的大小 例16．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小： （填“”或“”）． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【题型十五】二次根式的应用 例17．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（   ） A． B． C． D． 例18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 变式1．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 变式2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．设，，则下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．对于所有实数a，b，下列等式总能成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么a的值是（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．下列计算中正确的是（    ） A． （＋ ）＝3 B．（− ）÷＝−1 C．÷＝2 D． （＋）＝＋2 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 8．若a＝+1，b＝﹣1，则（﹣）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．2 9．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．100 D．5050 10．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．当 时，二次根式的值为． 12．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 13．若，则x的值等于 ． 14．若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ． 三、解答题 15．先化简，再求值：已知：，求的值． 16．计算： （1）；            （2）；            （3）． 17．计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知x=+2，y=﹣2 （1）求代数式的值； （2）求x2+y2+7的平方根． 19．（1）计算； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣ ）2=0，求的值． 20．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 21．阅读下面的材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时候会碰到形如，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简： (1)__________；__________． (2)． 22．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的运算（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘法 1.性质 3  如果 a ≥ 0， b ≥ 0，那么有 · = ，即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根 . 2. 性质3的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为a 表示a 与的乘积，即a =a· . 积的根号外因数(式)，被开方数(式)之积作为积的被开方数(式) ，即： a · c =ac ( b ≥ 0， d ≥ 0) . (2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 · · = ( a ≥ 0， b ≥ 0， c ≥ 0 ) . 注意：几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便 . 【知识点02】积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质  由等式对称性，性质 3 也可以写成= · ( a ≥ 0， b ≥ 0 ) ，即积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积 . 2. 积的算术平方根的性质的拓展 该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的情况，如 = · · (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0)，利用这个等式可以进行二次根式的化简. 【知识点03】二次根式的除法既可以是数，也可以是式子 . 1.性质 4  如果 a ≥ 0， b>0，那么有= 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 . 2. 性质4的推广 (1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即 ÷ ÷ = ( a ≥ 0， b ＞ 0， c ＞ 0) . (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即a ÷ c =(a÷ c) ( b ≥ 0，d ＞ 0， c ≠ 0) . 【知识点04】商的算术平方根 1. 商的算术平方根的性质 由等式对称性，性质 4 也可以写成= ( a ≥ 0， b ＞ 0 ) .即商的算术平方根等于商中被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.a，b既可以是一个数，也可以是一个式子 . 2.分母有理化 把分母中的根号去掉的过程，就是分母有理化. 3. 分母有理化的方法 当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 . 【知识点05】最简二次根式 1.定义 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤 (1) “一分”，即利用因数 (式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； (3) “三化”，即化去被开方数中的分母 . 【知识点06】同类二次根式 1. 定义  将二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么像这样的二次根式称为同类二次根式 . 2. 合并的方法  合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变， 合并的依据是乘法分配律的逆向运用， 即： a +b =(a+b) (m ≥ 0) . 【知识点07】二次根式的加减 1. 二次根式加减法法则  二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 . 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简； (2)“找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 【知识点08】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同 . 3. 二次根式混合运算中的运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1) (+ ) = ＋ ； (2)( + )( + ) = ＋ ＋ ＋ ； (3)( + ) ( － ) =( ) 2 －( ) 2=a － b； (4)( ± ) 2=( ) 2±2 +( ) 2=a±2 +b； (5)( + )÷ = = ； (6) ( + ) ÷( － ) = = =. 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）若（a，b为有理数），那么等于（   ） A． B．9 C． D．11 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算．根据完全平方公式展开，即可得出答案． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若，其中是有理数，则 ． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是有理数， ∴， 故答案为：2． 变式2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、零指数幂 【分析】本题考查了二次根式的化简和乘法，零指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的化简和乘法，零指数幂求解即可． 【详解】解： ． 【题型二】二次根式的除法 例2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 例3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）计算÷＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法计算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的除法计算法则，属于基础题型．理解这个法则是解决问题的关键． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：的结果是 ． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除性质计算即可； 【详解】． 故答案是6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，准确计算是解题的关键． 变式2．已知，，求的值． 【答案】； 【知识点】二次根式的除法、分式化简求值 【分析】先根据分式的基本性质将分式化简，然后代入求值即可． 【详解】解： = = 将，代入，得 原式== 【点睛】此题考查的是分式的化简求值和二次根式的运算，掌握分式的基本性质和二次根式的除法公式是解决此题的关键． 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）计算：． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型四】复合二次根式的化简 例5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 变式2．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且mn=，则a±2，变成m2+n2+2mn=（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 因为3±2=1+2±2=12+（）2+2=（1+）2， 所以==|1±|=±1． 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】(1) +1;(2) ﹣ 【知识点】化为最简二次根式 【详解】试题分析:根据题目中的例题中的研究方法即可求解. 试题解析: （1）原式==, （2）原式==. 【题型五】最简二次根式的判断 例6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式．满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、是最简二次根式，本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 例7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 变式1．在①；②；③；④中，最简二次根式有 个． 【答案】3个 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：最简二次根式有①；②；④，共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键． 变式2．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【题型六】化为最简二次根式 例8．已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值 ． 【答案】1 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案． 【详解】解：∵n＞0且是最简二次根式， ∴n=1， 故答案为：1(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键． 变式1．把化成最简二次根式得 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复合二次根式的化简、化为最简二次根式 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 【题型七】已知最简二次根式求参数 例9．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【题型八】同类二次根式 例10．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：∵即化简后为最简二次根式，其被开方数为3． 又∵最简二次根式与可以合并，而可合并的二次根式需满足被开方数相同， 的被开方数与的被开方数相同，即． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 变式2．把二次根式与分别化简后，被开方数相同． （1）如果是正整数，那么符合条件的的值有哪些？ （2）如果是整数，那么符合条件的的值有多少个？最大值是什么？有没有最小值？ 【答案】（1）a的值为5，15，21；（2）a的值有无数个，最大值是21，没有最小值． 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】（1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有23-a=2，23-a=8，23-a=18三种； （2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21． 【详解】（1）∵， ∴，； ，； ，； ，（不合题意舍去）； 综上，a的值为5，15，21； （2）除了5，15，21之外； ，； ，； …… ∴的值有无数个，最大值是21，没有最小值． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键． 【题型九】二次根式的加减运算 例11．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可． 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 变式1．计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可． 【详解】原式． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减； 先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 【题型十】二次根式的混合运算 例12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【分析】解：选项A：，故错误． 选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而与非同类根式，无法直接相加，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先算乘方，再算乘法，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】解： 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 【答案】 4 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的定义，并熟练掌握完全平方公式． （1）按照已知条件中的方法求出答案即可； （2）把所求代数式先提取公因式x，再把x的值代入分解后的式子，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 【题型十一】分母有理化 例13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 变式1．已知，则的值为 ． 【答案】2021 【知识点】分母有理化 【分析】先把x的值进行分母有理化，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2021． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)发现：从上述化简中找出规律________（为正整数）； (2)应用：利用这一规律计算：； (3)拓展：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；数字的变化类，分母有理化， （1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， （3）解： ， …… ∴ 【题型十二】已知字母的值，化简求值 例14．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先利用已知条件得，两边平方后得到，再整体代入中，逐步计算和代换，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了求代数式的值，将化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、因式分解的应用．由题意可得，，，将所求式子因式分解得出，代入式子计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 【题型十三】已知条件式，化简求值 例15．已知，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】首先根据a＋b＝−8，和ab＝10确定a和b的符号，然后对根式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 原式= 则原式= 故答案为：. 【点睛】本题考查了根式的化简求值，正确确定a和b的符号是解决本题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)44 (3)0 【知识点】分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再计算加减法即可； （3）先求出a的值，进而求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 变式2．（22-23八年级下·安徽·月考）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)，方法见详解； (2) (3) 【知识点】分母有理化、已知条件式，化简求值 【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案； （2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案； （3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案； 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：由题意可得， ， ； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法． 【题型十四】比较二次根式的大小 例16．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，由于两个二次根式都大于0，因为只需要比较出两个二次根式平方后的结果的大小即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 【题型十五】二次根式的应用 例17．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 例18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：大正方形边长为，小正方形边长为， ． 变式1．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算的应用，根据题意得：．将，，代入即可得到b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析； (2)或或 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．设，，则下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除法．直接利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不合题意； B、，无法化简，错误，本选项符合题意； C、，正确，本选项不合题意； D、，正确，本选项不合题意； 故选：B． 3．对于所有实数a，b，下列等式总能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法和完全平方公式计算可判断A项，根据最简二次根式的定义可判断B项，根据二次根式的性质可判断C、D两项，进而可得答案． 【详解】解：A、，故本选项等式不成立，不符合题意； B、是最简二次根式，所以，故本选项等式不成立，不符合题意； C、，故本选项等式成立，符合题意； D、，故本选项等式不成立，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、最简二次根式的定义和二次根式的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是关键． 4．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么a的值是（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解． 【详解】=2． 由题意，得 7-2a=3，解得a=2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 5．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．下列计算中正确的是（    ） A． （＋ ）＝3 B．（− ）÷＝−1 C．÷＝2 D． （＋）＝＋2 【答案】B 【解析】略 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 8．若a＝+1，b＝﹣1，则（﹣）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算得到原式＝|a|﹣|b|，然后把a、b的值代入计算即可． 【详解】﹣) = = ＝， ∵a＝+1，b＝﹣1， ∴原式＝|+1|﹣|﹣1| ＝+1﹣(﹣1) ＝+1﹣+1 ＝2， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 9．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．100 D．5050 【答案】C 【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键． 10．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ②，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 二、填空题 11．当 时，二次根式的值为． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次根式的值的计算，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键． 当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：． 12．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 13．若，则x的值等于 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式化简和运算，将等号左边的化简合并，然后解方程即可． 【详解】解： 解得： 故答案为：2 【点睛】本题主要考查二次根式的基本运算，能够利用二次根式的性质化简是解题的关键． 14．若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【分析】将配方可得，于是，则当m＜2时方程无实数解； 【详解】解：∵ ∴ ∴当m＜2时，方程无实根， 故答案为：m＜2； 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式，不等式的性质，掌握平方的非负性是解题关键． 三、解答题 15．先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 16．计算： （1）；            （2）；            （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】利用二次根式乘除法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解题． 17．计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂，绝对值，平方差及完全平方化简求值，掌握相关计算是解题的关键． （1）利用二次根式化简，再合并即可； （2）由零次幂，负整数指数幂，绝对值及二次根式化简求值即可； （3）根据二次根式的乘除计算即可； （4）由平方差及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ; （3）原式 ； （4）原式 ． 18．已知x=+2，y=﹣2 （1）求代数式的值； （2）求x2+y2+7的平方根． 【答案】（1）；（2）±5． 【分析】（1）先化简分式，再代入求值； （2）利用完全平方公式变形代数式，求出代数式的值，再求其平方根． 【详解】解：（1）原式= = = ==； （2）原式=（x+y）2﹣2xy+7 =（+2+﹣2）2﹣2（）（）+7 =（2）2﹣2（5﹣4）+7 =25 ∴x2+y2+7的平方根为±5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、代数式的变形和平方根及二次根式的混合运算．先约分再代入能使（1）简便，恒等变形后代入求值能使（2）简便． 19．（1）计算； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣ ）2=0，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用二次根式的乘除法法则求解； （2）利用算术平方根和一个数的平方的和等于0求出x，y，再求的值． 试题解析：（1）原式=； （2）由+（y﹣）2=0可知：=0且（y﹣）2=0，即： 2x+y=0，y﹣=0 解得：x=-,y= 所以：. 考点：1.二次根式的乘除法；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根． 20．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 21．阅读下面的材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时候会碰到形如，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简： (1)__________；__________． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确地进行分母有理化． （1）将的分子和分母同时乘，将的分子和分母同时乘即可化简； （2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解． 【详解】（1）解：，． ． （2）解：原式 ． 22．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别． 1 学科网（北京）股份有限公司 $