第01讲 二次根式及其性质（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 二次根式及其性质（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的定义 1.二次根式的定义  我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 特别提醒 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 应用提醒 1. 逆用公式： 若 a ≥0， 则 a=( ) 2，如 2=() 2， =( )2. 注意： 无论正用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用， 都要注意前提： a ≥ 0. 性质 2 =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 逆用公式：如3== ( 以后将会学习). 2. 与(  )²( a ≥ 0)的区别与联系 (  )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= (  )²= a(a ≥ 0) 联系   与(  )²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =(  )² 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握形如的式子称为二次根式是解题的关键． 根据二次根式的定义，若被开方数为负数，则不属于二次根式．据此逐一判断即可． 【详解】解：A：，被开方数为，是负数，不符合二次根式的定义，不是二次根式．故此选项符合题意． B：，无论取何实数，，被开方数非负，属于二次根式．故此选项不符合题意． C：，被开方数为，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意． D：，被开方数为，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意． 故选：A． 例2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 变式1．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【题型二】求二次根式的值 例3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 变式1．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 变式2．计算： ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 【题型三】求二次根式中的参数 例4．（2023八年级下·安徽·月考）若是正整数，最小的正整数n是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先将所给的二次根式化为最简二次根式，然后再判定n的最小正整数值. 【详解】，由于是正整数，所以最小的正整数n是3， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的定义，正确化简二次根式为最简二次根式是解题的关键. 例5．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）已知最简二次根式与能合并，则a＝ ． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先化简二次根式，根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到a-1=2，从而可求得a的值． 【详解】∵最简二次根式与能合并， ∴a-1=2, ∴a=3. 故答案是:3. 【点睛】考查的是同类二次根式的定义，解题关键是抓住最简二次根式和依据同类二次根式的定义得到关于a的方程． 变式1．（2023八年级下·安徽合肥·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵48=42×3， 又∵n是正整数，是整数， ∴符合n的最小值是3， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 变式2．已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【题型四】二次根式有意义的条件 例6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0．根据二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 例7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开负数为非负数是解题的关键． 由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵使在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）已知满足． (1)有意义，的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______． (2)根据（1）的分析，求的值． 【答案】(1)， (2)2024 【知识点】绝对值方程、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键． （1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简； （2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． （2）解：则原方程为， 即， ∴，即． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例8．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．根据二次根式的性质，即可判断答案． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D错误，不符合题意． 故选：A． 例9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 直接运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 例10．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 【答案】6 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简二次根式． 由已知条件且可知，和均为负数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴和均为负数， A：，选项A错误； B：当和均为负数时，和在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误； C：左边结果为负数，右边为正数，等式不成立，选项C错误； D：，等式成立，选项D正确； 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．根据数轴可得，进而可得，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 变式3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 【题型六】二次根式的性质与化简规律探究 例11．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 例12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的性质，解题的关键是发现等式的规律． （1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以大4的数再加上4，右边是该自然数加2，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： ∴ （2）． 为正整数， ∴左边右边， ∴等式成立． 例13．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：： 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字的变化规律及二次根式的性质，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的4个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：结合以上规律容易得出：， 故答案为：； （2）解：第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． （1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （3）根据二次根式的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 变式2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． （1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （3）根据二次根式的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 变式3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 【答案】(1) (2),，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律，再根据二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2） 解：第个式子是： ， 证明：． 一、单选题 1．使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 【答案】D 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2．下列式子不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要判断哪个式子不是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，其中根指数是，通常省略不写；依次分析每个选项是否符合该定义． 【详解】选项A：，符合二次根式的形式，是二次根式； 选项B：，根指数是，是三次根式，不符合二次根式根指数为的定义，不是二次根式； 选项C：，符合二次根式的形式，是二次根式； 选项D：，符合二次根式的形式，是二次根式． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式是形如且根指数为的式子是解题的关键． 3．若，化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到再利用二次根式的性质：，结合条件求绝对值即可得到答案． 【详解】解： 故选 【点睛】本题考查的是二次根式的化简,绝对值的化简，掌握是解题的关键． 4．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠ 【答案】C 【详解】由题意可知：，解得：x=， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 【答案】A 【详解】， ，解得， 故选：A． 6．若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可． 【详解】∵当时，无意义， ∴，解得， ∵当时，是二次根式， ∴，解得， ∴， ∴a的值可能是8， 故选：B． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 8．已知m为实数，则代数式 的值为(       ) A．0 B． C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出m的值，然后即可得出代数式的值． 【详解】由题意得：-m2≥0， ∴可得m=0， ∴代数式 的值为-=-． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及二次根式的加减运算，难度不大，注意细心解答． 二、填空题 9．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键． 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥0且x≠2 【解析】略 11．若实数满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，再得出y的值，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 12．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    【答案】 【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 三、解答题 13．求下列各个二次根式中x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 (4) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件： （1）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （2）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （3）根据被开方数为非负数，进行求解即可； （4）根据被开方数为非负数，进行求解即可； 【详解】（1）解：，解得：； （2），解得：； （3）∵，故x为任意实数； （4），解得：． 14．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，继而得出，，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知： ，即． 且． ，即： 得：， ． 15．古希腊数学家海伦在他的菩作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 【答案】5100元 【知识点】求二次根式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据题干所给的方法计算出三角形周长的一半，再将其代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴王大爷的承包费用为：，                                     答：王大爷的承包费用为5100元． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 17．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】解：（1）由，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， ∴， ∴ ； （3）由题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 第2行 3 第3行 第4行 4 第5行 5 第6行 … … … … … 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行，第2列上的二次根式是______； (2)我们规定一个二次根式落在第行，第列，可记作，如落在第2行，第4列，记作，则可记作______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格可知，每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行总左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大，计算出第7行，第2列上的二次根式是第32个二次根式，即可解答； （2）计算可得是第405行从左往右第3个二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第7行，第2列上的二次根式是第个二次根式， ∴第7行，第2列上的二次根式为， 故答案为：； （2）解：， ∴是第405行从左往右第3个二次根式， 即位于第405行第3列，记作， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的变化规律，解题的关键是根据表格得出每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行总左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大． 19．（23-24八年级下·安徽六安·期中）观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）由题意的规律即可用n表示该等式； （3）利用（2）中的结论即可求出答案． 【详解】（1）∵①； ② ； ③； …； ∴． 故答案为：； （2）由上述规律可得：． 故答案为：； （3） ． 20．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 21．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， ， ； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 22．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如： (1)根据以上规律完成以下化简． ， (2)若 且，，均为正整数，则 ． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算； （1）用题干的方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）计算的平方，与进行对比即可求出a值． 【详解】（1）解： （2）解： 且、、均为正整数， ， ，， 当，或，时，； 当，或，时，； 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的定义 1.二次根式的定义  我们把形式如 ( a ≥ 0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号. 特别提醒 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”；2.被开方数是正数或0. 2. 二次根式的特征 (1) 必须含有二次根号“ ”， “” 的根指数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“ ” . (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . (3) 双重非负性： 二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2.使式子有意义的字母取值范围(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 1 ( ) ²=a( a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 应用提醒 1. 逆用公式： 若 a ≥0， 则 a=( ) 2，如 2=() 2， =( )2. 注意： 无论正用( )2=a(a ≥ 0) 进行化简，还是逆用， 都要注意前提： a ≥ 0. 性质 2 =|a|= 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 . 2. 逆用公式：如3== ( 以后将会学习). 2. 与(  )²( a ≥ 0)的区别与联系 (  )² 区别 取值范围不同  a 为全体实数  a ≥ 0 运算顺序不同  先平方后开方  先开方后平方 运算结果不同  =｜a｜= (  )²= a(a ≥ 0) 联系   与(  )²均为非负数，当 a ≥ 0 时， =(  )² 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【题型二】求二次根式的值 例3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．当时，二次根式的值是 ． 变式2．计算： ． 【题型三】求二次根式中的参数 例4．（2023八年级下·安徽·月考）若是正整数，最小的正整数n是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 例5．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）已知最简二次根式与能合并，则a＝ ． 变式1．（2023八年级下·安徽合肥·期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．已知是整数，求自然数n的值． 【题型四】二次根式有意义的条件 例6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 例7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）使有意义的x的取值范围是 ． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如果有意义，则实数的取值范围是 ． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）已知满足． (1)有意义，的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______． (2)根据（1）的分析，求的值． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例8．（24-25八年级下·安徽滁州·月考）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简的结果为 ． 例10．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．0 B． C． D． 变式3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【题型六】二次根式的性质与化简规律探究 例11．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 例12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 例13．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：： 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 变式2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 变式3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 一、单选题 1．使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 2．下列式子不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．若，化简等于（    ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则x满足的条件是( ) A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠ 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 6．若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 8．已知m为实数，则代数式 的值为(       ) A．0 B． C．3 D．无法确定 二、填空题 9．当时，二次根式的值为 ． 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 11．若实数满足，则的立方根为 ． 12．观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    三、解答题 13．求下列各个二次根式中x的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：．求的值． 15．古希腊数学家海伦在他的菩作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 17．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 18．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）一组二次根式按如下规律排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 第2行 3 第3行 第4行 4 第5行 5 第6行 … … … … … 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行，第2列上的二次根式是______； (2)我们规定一个二次根式落在第行，第列，可记作，如落在第2行，第4列，记作，则可记作______． 19．（23-24八年级下·安徽六安·期中）观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 20．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 21．问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 22．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如： (1)根据以上规律完成以下化简． ， (2)若 且，，均为正整数，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $