精品解析：广东省深圳市南山区2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了三视图，根据主视图定义求解即可． 【详解】解：钢块零件的主视图为 ， 故选：A． 2. 若是关于x一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程，利用方程解的定义出m即可求解． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解， ，解得， 即的值是． 故选：D． 3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右 ∴黄球的个数为 ∴布袋中白球可能有 故选：D 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4. 如图（1）是一个置物架，它的侧面可以抽象为图（2），若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 解得， 故选B． 5. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； 故选：B． 6. 如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得，， 故选：D． 7. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．结合图象解答即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴由图象可得，当或时，， 故选：C． 8. 如图，矩形中，，，点P是对角线上的点，将沿折叠，得到，若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定， 先根据折叠得，再结合矩形的性质，及勾股定理求出，然后说明，可求出，进而表示出，求出，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，根据折叠得， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得，则，． 在中，， 即， 解得． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 若，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据已知比例关系，设，再代入分式进行计算，即可解题． 【详解】解：由，设.， 代入有. 故答案为：． 10. 如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，且点B' 不在第一象限，则点B' 的坐标是_______． 【答案】（-3，-2） 【解析】 【分析】根据位似图形的性质：位似图形一定是相似图形，以及相似图形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方可得=，，即可得到 【详解】∵矩形OA'B'C'与矩形OABC位似， ∴矩形OA'B'C'与矩形OABC相似， ∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的， ∴矩形OA'B'C'与矩形OABC相似比为， ∴=，， ∵各点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4）， ∴==3，=2， ∵原点O是位似中心，且点B' 不在第一象限， ∴点B' 在第三象限，如图， ∴点B' 的坐标为（-3，-2）， 故答案为：（-3，-2）． 【点睛】本题考查了位似，掌握位似的性质和相似的性质是解题的关键． 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，据此建立不等式求出m的取值范围，再取最大整数，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得， 因此m可取的最大整数为1， 故答案为：1． 12. 如图，正方形绕点顺时针旋转得到正方形，已知正方形的边长为，则两个正方形重叠部分的面积为______， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质、全等三角形判定和性质、勾股定理及面积计算，解题关键是构造全等三角形． 如图所示，设与交于点，连接，证明出，得到，，求出，然后利用代入求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点，连接 ∵四边形和四边形是正方形， ∴， 在和中 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，边与轴交于点，恰为中点，反比例函数经过点，若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，以及反比例函数中的几何意义，准确添加辅助线找准等量关系是解题的关键． 过点作轴交轴于点，连接，根据点为中点和，得出图中各三角形的面积，再证出，通过面积相等，得出的面积，最终得出的值． 【详解】解：过点作轴交轴于点，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， 即，， ∵， 同理可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故得，解得， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 小问1详解】 解： ∴， 【小问2详解】 解： ， 15. 为丰富校园文化生活，某校开展了丰富的“庆元旦·迎新年”活动，其中游戏类活动有：．成语接龙；．抢凳子；．剪纸比拼；．猜灯谜；．你画我猜．该校为了解学生对这五类游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选择一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示，根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查抽取的总人数是______人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）在剪纸比拼中，甲、乙、丙、丁4名同学脱颖而出，学校决定从这4人中随机抽取2人为全校同学进行剪纸展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到甲和丁的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据类游戏的人数和占比，得出总人数；根据类游戏的人数，先得出其占总体的百分数，再乘以，得出对应扇形的圆心角的度数； （2）根据总人数，算出类游戏的人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图进行求值即可． 【小问1详解】 解：根据类游戏的人数和占比，得出总人数为人； 类游戏的占比为， ∴其对应的扇形的圆心角为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：类游戏的人数为人，补全条形图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丁两名同学的结果有2种， 所以恰好抽到甲、丁两名同学的概率为． 16. 为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 【答案】（1） （2）此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入即可； （2）求出正比例关系阶段的函数表达式，求出当时对应的时间，即可得出有效杀灭病毒的持续时间． 【小问1详解】 解：当时，设函数的表达式为， 将代入上式得， 并解得， 即函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，设该段函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故该段的函数表达式为， 当时，解得； 当时， 时，得； ∵（min） 即此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是． 17. 如图，在中，，． （1）请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形； （2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【小问1详解】 解：四边形为所求作的四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴． 18. “激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 【答案】（1）每次上涨的百分率为20% （2）达到4800元利润并使销量最大化，每套摆件应降价12元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）设每次上涨的百分率为m，依题意得，求出符合题意的解即可； （2）设每套摆件降价x元，根据题意得出，求出符合题意的解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为m，依题意，得： ， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每次上涨的百分率为20%； 【小问2详解】 解：设每套摆件降价x元，根据题意，得 ， 解得：， 当降价12元时，销售量为100＋5×12＝160套， 当降价10元时，销售量为100＋5×10＝150套， 为了使销量最大化，应选择销售量更大的方案，即降价12元． 答：为达到4800元利润并使销量最大化，每套摆件应降价12元． 19. 数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离为，点光源O到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图1，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （1）请判断长度的变化情况为：______； A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变 （2）请证明（1）的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （3）请判断长度的变化情况为：______． A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变 （4）当木棒平移至某处时，，请计算此时投影长度． 【答案】（1）C；（2）证明见解析；（3）A；（4） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键． （1）根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例得，由、、均为定值即可得出结论； （2）分析同（1）； （3）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，当垂直放置的木棒沿方向平移时，长度变长，由、、均为定值即可得投影逐渐变长，投影长度也逐渐变长； （4）根据中心投影的特点可知，，利用相似三角形对应边成比例得，，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变， 故选：C； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵从点M出发，将木棒沿方向平移， ∴长度逐渐变长， ∵、、不变， ∴长度逐渐变长， 故选：A； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，解得：， ∴投影的长度为． 20. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的2倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“倍角三角形”． 【提出问题】三角形中的角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？ 【发现问题】“从特殊到一般”是我们研究数学问题的重要思想方法．研究小组从特殊情况进行了探究：在中，，设，，． 特例1：如图2，当时，则为等腰直角三角形，由勾股定理可得：，而，进一步推理可得：． 特例2：如图3，当时，则为直角三角形，，由勾股定理可得：，而，可得：即：． 猜想：在“倍角三角形”中，若，则______． 【推理证明】“转化”是我们研究数学问题的重要思想方法，研究小组思考将“倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路： 思路一 如图，延长至D，使，连接． 思路二 如图，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接． 请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明． 【拓展应用】是“倍角三角形”，．该三角形有一条边的长度为6，设，请求出的周长．（用含k的式子表示） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边对等角，三角形外角的性质， 对于（1），根据题意可得答案； 对于（2），选择思路一：先根据“等边对等角”和三角形外角的性质得，即可得出，进而得，再将，，代入得出答案； 选择思路二：由翻折可知， ，即可得出，再说明，可得，然后将，，代入可得，，最后结合得出答案； 对于（3），先设，可得，由（1）得，分三种情况：当时，，再代入，求出，可得周长； 当时，当时，仿照上述过程求出周长即可． 【详解】解：（1） （2）证明：选择思路一： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 即； 选择思路二： 由翻折可知， ， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，设，则， ∵， 由（1）知：，分三种情况： ①当时，即， ∴， 即， 代入得： ， 解得： ∴周长； ②当时，代入得， 解得：， ∴周长； ③当时，则，代入得， 解得：， ∴周长； 综上所述： 当时，； 当时，； 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 4. 如图（1）是一个置物架，它的侧面可以抽象为图（2），若，，，则的长为（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 6. 如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 8. 如图，矩形中，，，点P是对角线上的点，将沿折叠，得到，若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共计15分） 9. 若，则＝______． 10. 如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，且点B' 不在第一象限，则点B' 的坐标是_______． 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 12. 如图，正方形绕点顺时针旋转得到正方形，已知正方形的边长为，则两个正方形重叠部分的面积为______， 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，边与轴交于点，恰为中点，反比例函数经过点，若，则k的值为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 为丰富校园文化生活，某校开展了丰富的“庆元旦·迎新年”活动，其中游戏类活动有：．成语接龙；．抢凳子；．剪纸比拼；．猜灯谜；．你画我猜．该校为了解学生对这五类游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选择一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示，根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查抽取的总人数是______人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）在剪纸比拼中，甲、乙、丙、丁4名同学脱颖而出，学校决定从这4人中随机抽取2人为全校同学进行剪纸展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到甲和丁的概率． 16. 为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 17. 如图，在中，，． （1）请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 18. “激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 19. 数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离为，点光源O到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图1，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （1）请判断长度的变化情况为：______； A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变 （2）请证明（1）的结论： 实践探究二： 如图2，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点M出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． （3）请判断长度的变化情况为：______． A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．不变 （4）当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 20. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的2倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“倍角三角形”． 【提出问题】三角形中角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？ 【发现问题】“从特殊到一般”是我们研究数学问题的重要思想方法．研究小组从特殊情况进行了探究：在中，，设，，． 特例1：如图2，当时，则为等腰直角三角形，由勾股定理可得：，而，进一步推理可得：． 特例2：如图3，当时，则为直角三角形，，由勾股定理可得：，而，可得：即：． 猜想：在“倍角三角形”中，若，则______． 【推理证明】“转化”是我们研究数学问题重要思想方法，研究小组思考将“倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路： 思路一 如图，延长至D，使，连接． 思路二 如图，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接． 请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明． 【拓展应用】是“倍角三角形”，．该三角形有一条边的长度为6，设，请求出的周长．（用含k的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $