精品解析：四川成都市2025-2026学年上学期课程实施水平监测九年级数学

2025-2026学年度（上）学校课程实施水平检测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答案卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为中点，，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 皮影戏是中国民间古老的非物质文化遗产．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏油灯，其投影属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 11. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____． 12. 如图，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，垂足为E，连接．若，，则的长是_______． 三、解答题：本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. （1）计算：． （2）解方程：． 15. 2025年11月，成都市实施了为期三天的中小学秋假制度，为了解同学们在秋假过程中对饮品的饮用情况，某数学兴趣小组对本班同学秋假第一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种，A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数； （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率． 16. 如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线AC于点E，F． （1）求证：； （2）当四边形是菱形时，请说出四边形的形状并证明． 17. 已知：如图，等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图1，正方形中，点分别在边上，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，在中，，高，则的长度为多少？ B卷 一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 19. 已知，那么的值是___________． 20. 已知，且，，那么________ 21. 如图，与双曲线两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是___________． 22. 在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 23. 如图，在矩形中，，是中点，连接，点与点关于对称，连接并延长，交于点，交于点．若是的中点，则的长为___________． 二、解答题：本大题共3个小题，共30分． 24. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25. 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数与，当时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数与图象交点为，已知点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在（1）的条件下，若点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点． ①设直线交轴于点，直线交轴于点．求证：． ②当点坐标为时，判断的形状，并用表示出的面积． 26. 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，___________；②当时，___________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）学校课程实施水平检测 九年级数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答案卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 2. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置及增减性是解题的关键． 反比例函数中，，图象在第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象在第二、四象限， ∴选项A错误，该选项不符合题意；选项B正确，该选项符合题意， ∵， ∴反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵选项C和D未限定“在每个象限内”，若跨象限变化则可能减小， ∴选项C错误，该选项不符合题意；选项D错误，该选项不符合题意． 故选：B． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：D． 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 皮影戏是中国民间古老的非物质文化遗产．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏油灯，其投影属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】根据中心投影的定义，点光源发出的光线形成的投影是中心投影． 本题考查了投影的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：皮影戏使用油灯作为光源，油灯是一个点光源，光线从一点向四周发散，因此投影属于中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根求参数，将代入方程，求解的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得：， 即， 整理得：， ∴ ． 故答案为：1． 11. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，， ∴． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键． 12. 如图，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握意义是解题的关键．根据反比例函数k的几何意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，且， 则， 故答案为：4． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，垂足为E，连接．若，，则的长是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 根据菱形的性质，得到及的长，由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到的长，再根据勾股定理求得菱形的边长，根据菱形的面积公式对角线乘积的一半等于底乘高，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O，， ，， ， ，， ∵， ， 中，， ∴菱形的面积， 即， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， 解得． 15. 2025年11月，成都市实施了为期三天的中小学秋假制度，为了解同学们在秋假过程中对饮品的饮用情况，某数学兴趣小组对本班同学秋假第一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种，A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数； （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用圆心角计算公式计算即可；利用频数之和等于样本容量×所占百分数，计算补图即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角计算，样本容量，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，圆心角计算，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得瓶装矿泉水有20人，占比为， 故， （人）， 补图如下： ． 【小问2详解】 解：根据题意，得“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：画树状图如图． 由图中可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果有12种， 所以． 16. 如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线AC于点E，F． （1）求证：； （2）当四边形是菱形时，请说出四边形的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，，结合已知，证明即可； （2）根据菱形的判定定理解答即可． 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴, ∴四边形是菱形． 17. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2或1 【解析】 【分析】(1)证明即可． (2)根据三角形相似的性质，列出方程，计算求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 18. 如图1，正方形中，点分别在边上，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，在中，，高，则的长度为多少？ 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）延长到T，使得，连接，证明，，解答即可． （2）把沿翻折得，把沿翻折得，延长，二线交于点G，故，，四边形是矩形，故四边形是正方形，，故，设，则，，根据勾股定理，解答即可． 【小问1详解】 解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴平分． 【小问2详解】 解：把沿翻折得，把沿翻折得，延长，二线交于点G， 根据题意，得，，， ， 又， ， 故四边形是矩形， ，， 故四边形是正方形，， ， ， ， ， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 故的长度为6． B卷 一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 19. 已知，那么的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例关系设参数表示a、b、c，再代入表达式计算即可． 【详解】解：设，则，，． ∴， 故答案为：． 20. 已知，且，，那么________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据，，，可得，看成是方程变为的两个实数根，根据根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：，，， ，可以看成是方程变为的两个实数根， ，， ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 21. 如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定交点的横坐标分别为，2，再根据函数的增减性解答即可． 本题考查了反比例函数和直线交点的问题，函数的增减性，数形结合的思想，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2， 故， 解得， 故交点的横坐标分别为，2， 当时， 解得， 由，得， 故答案为：． 22. 在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 23. 如图，在矩形中，，是的中点，连接，点与点关于对称，连接并延长，交于点，交于点．若是的中点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作，连接交于点H，连接，先证明，设，则，再表示出，，然后证明，得到，由，求出，最后由求解即可． 【详解】解：过B点作，连接交于点H，连接，如图所示： 则， ∵， , ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵矩形中，，E是的中点， ∴， ， 设，则， 为中点， ， ∴， ∵矩形中，， ∴， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的斜边中线定理，相似三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键，遇轴对称，常常伴随着全等三角形出现，等腰三角形出现． 二、解答题：本大题共3个小题，共30分． 24. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据10月份和12月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调m万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 25. 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数与，当时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数与图象的交点为，已知点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在（1）的条件下，若点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点． ①设直线交轴于点，直线交轴于点．求证：． ②当点坐标为时，判断的形状，并用表示出的面积． 【答案】（1） （2）①见解析；②是直角三角形；当时，； 当时，． 【解析】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了正(反)比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点的坐标求出点的坐标；（2）①利用等腰三角形的三线合一证出；②学会勾股定理逆定理的应用． （1）根据题意，得两点关于原点对称，结合点的坐标为，则点的坐标为点A坐标的相反数解答即可． （2）①不妨设，设直线的解析式为，求得故直线的解析式为，得到，同理可证，，过点P作于点H，则，证明直线是线段的垂直平分线，解答即可． ②根据勾股定理的逆定理，两点间距离公式，直角三角形的面积，二次根式的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得两点关于原点对称， 又点的坐标为， 故点的坐标为点A坐标的相反数即， 故答案为：． 【小问2详解】 ①解：点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点，由反比例函数的解析式为，不妨设，设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为， 令，解得， 故， 同理可得，， 过点P作于点H，则， 又， 故线段的中点坐标为， 故直线是线段的垂直平分线， 故． ②解：由点坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，， ， ， 故， 故直角三角形； 故， 当时，； 当时，． 26. 如图1，在中，，点分别是边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现 ①当时，___________；②当时，___________． （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①；② （2）无变化，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意，得，根据勾股定理，得，，，，解答即可；②当时，仿照①解答即可． （2）根据三角形相似的判定和性质，证明即可． （3）根据题意，分类计算线段的长即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 ①解：根据题意，得， 根据勾股定理，得， ，，， 故当时，， 故答案为：； ②解：当时，根据题意，得，， 故， 故答案为：． 【小问2详解】 解：的大小无变化，证明如下： 根据旋转的性质，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴． ∴的大小无变化． 【小问3详解】 解：当三点共线时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三点共线时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $