精品解析：北京市丰台区区2024--2025学年八年级上学期期末数学试卷

丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 八年级数学 2025.01 考生须知 1.本练习卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2.在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和教育ID号． 3.练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5.练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. “二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案：         方案： 过点作于点，连接，，则铺设管道路径是．     方案： 连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI    方案： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI    方案： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 分解因式：a3－a=___________ 14. 计算：______． 15. 一个三角形的两边长分别为2和4，第三边的长可以是______（写出一个即可）． 16. 如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：______． 17. 为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断______（填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是______． 18. 如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上运动（点不与点，重合），且，连接，，.有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题（本题共54分，第19，20题，每小题4分，第21-25题，每小题5分，第26-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD． 23. 化简求值：，其中． 24. 解方程：． 25. 如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 26. 周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 27. 如图，是等边三角形，点在线段的延长线上，连接，设．点关于直线的对称点为点，连接．在线段上取一点，使，延长交于点． （1）补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 八年级数学 2025.01 考生须知 1.本练习卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2.在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和教育ID号． 3.练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5.练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. “二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的特点逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 故选D． 2. “九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数， 一般形式为（， n为正整数）， n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌握科学记数法表示绝对值小于1的数的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，由等底同高的三角形面积相等即可判断；理解三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：A.三角形的一条高将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； B.由等底同高的三角形面积相等得，三角形的一条中线将任意一个三角形分成的两部分积一定相等，结论正确，故符合题意； C.三角形的一条角平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； D.三角形一边的垂直平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故A选项计算错误，不符合题意； B．，故B选项计算错误，不符合题意； C．，故C选项计算正确，符合题意； D．，故D选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论，避免漏解是解题关键．分类讨论：①当的角为底角时和②当的角为顶角时，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当的角为底角时，即底角为； ②当的角为顶角时，它的一个底角的度数为． 综上可知它的一个底角的度数为或． 故选D． 7. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 10. 如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案：         方案： 过点作于点，连接，，则铺设管道路径是．     方案： 连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI    方案： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI    方案： 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 方案4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置． 故选：C； 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】∵分式有意义， ∴，即. 故答案为. 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 13. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15. 一个三角形的两边长分别为2和4，第三边的长可以是______（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系可求得第三边的取值范围是大于，小于，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和4， ∴第三边的取值范围是大于，小于， ∴第三边的长可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 16. 如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 17. 为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断______（填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是______． 【答案】 ①. 正确 ②. 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合 【解析】 【分析】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的． 根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，解答即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，即挂铅锤的绳与镜框垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合） 故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合． 18. 如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上运动（点不与点，重合），且，连接，，.有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，证明是解题的关键． 连接，结合等腰直角三角形的性质证明，可证得①；利用全等三角形面积相等可判断③；根据三角形的三边关系可证明②． 【详解】解：连接， ∵，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴且，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积面积的一半．，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 故答案为：①②． 三、解答题（本题共54分，第19，20题，每小题4分，第21-25题，每小题5分，第26-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、负整数指数幂和零指数幂．先计算绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】解： 22. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD． 【答案】见解析． 【解析】 【详解】试题分析：利用已知条件证明△ABE≌△ACD（ASA），然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 试题解析：∵AB=AC， ∠B=∠C， ∠A是公共角，∴△ABE≌△ACD，（ASA），∴BE=CD．（全等三角形的对应边相等）． 考点：全等三角形的判定与性质． 23. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 24. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验；方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 25. 如图，在中，平分，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得成立，并证明． 条件①于点，于点； 条件②． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形三线合一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．条件①：根据题干可证，再利用三角形三线合一可证明垂直；条件②：根据题干过点作于点，过点作于点，可证，，再得，易得，再利用三角形三线合一可证明垂直． 【详解】解：选择①，证明：于点，于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又平分， ； 选择②，证明：如图，过点作于点，过点作于点， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又平分， ． 26. 周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 【答案】能， 理由如下： 设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为， 总共所需时间为： （）， 到达钟鼓楼的时间为， 故能在当日上午前到达鼓楼． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】略 27. 如图，是等边三角形，点在线段的延长线上，连接，设．点关于直线的对称点为点，连接．在线段上取一点，使，延长交于点． （1）补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解析； （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照题意补全图形，求出，，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∵， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、轴对称的性质等知识，添加辅助线构造等边三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“双轴对称图形”的含义求解即可； ②求出M、N关于轴，直线的“双轴对称图形”的对应点的坐标，则可得线段关于点成中心对称，借助图形求出线段的端点与在y轴上时，s的值，即可求得s的范围； （2）设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为，当第一象限的角平分线与的边有交点时，此交点到两坐标轴的距离相等，结合图形即可求解t的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵直线过点且与轴垂直， ∴直线为直线； ∵点关于轴对称的坐标为，点关于直线对称的点坐标为， ∴点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为； 故答案为：； ②由点M、N的坐标知，点M、N分别在平行于y轴的直线上， ∵点M、N关于轴对称的点的坐标分别为，这两点关于直线对称的对应点的坐标分别为， 由于线段与的中点都为， ∴线段关于点成中心对称， 如图，当线段的端点在y轴上时，则，此时； 当线段的端点在y轴上时，则，此时； 综上，当时，线段与y轴有公共点； 【小问2详解】 解：设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为； ∵点E向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点F， ∴直线与第一象限的角平分线平行； ∵，且， ∴是等腰直角三角形，并且点G在第一象限的角平分线上； 如左图，当的顶点M在第一象限的角平分线上时，则点M到两坐标轴的距离相等， 此时点F在边上，且恰好为的中点， ∵的中点坐标为， ∴， ∴； 如右图，当点E向左平移，点P恰好在第一象限的角平分线上时，只要把左图中点P向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度即可，相应地，点E也向左平移2个单位长度， ∴； 综上，当时，关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点． 【点睛】本题考查了坐标与轴对称，等腰三角形的判定，平移的性质，角平分线的性质等知识，理解新定义、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $