2026年 九年级数学中考一轮复习 一元二次方程+分式方程 知识点分类常考热点选择题专题提升训练

2026年春九年级数学中考一轮复习《一元二次方程+分式方程》 知识点分类常考热点选择题专题提升训练（附答案） 一、一元二次方程 1．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 4．已知方程，则该方程所有的实数根之和为（        ） A． B． C． D． 5．若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 8．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 9．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 10．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 11．已知菱形的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为（　） A．8 B．10 C．12 D．14 12．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 13．对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．某电影上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入达11亿元，将增长率记作，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 15．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 17．如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 18．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 19．2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为元/个，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、分式方程 20．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 21．若分式与分式的和为1，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 22．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 23．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 24．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 25．若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 26．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 27．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 28．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 29．随着科技的发展，新能源汽车逐步替代了燃油汽车，如图，、分别表示燃油汽车和新能源汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比新能源汽车每千米所需的费用的2倍多1元，设新能源汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 30．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产20万件产品，现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产万件产品，依题意得（） A． B． C． D． 参考答案 1．解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将根代入方程求解m． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故m的值为． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值. 由方程根的性质得出的值，再整体代入代数式求解，即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．通过换元法将原方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，再代回解关于的方程，仅有一个二次方程有实数根，利用根与系数关系求和． 【详解】解：设，则原方程化为． ∵， ∴判别式， ∴， 即，． ∴或． 对于，即，判别式，无实数根． 对于，即，有实数根，根之和为． ∴所有实数根之和为． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴即，且判别式． ∵ ∴， ∴． 综上，且． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则， ； 若，则； 故选：B． 9．B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 10．B 【分析】本题考查根与系数之间的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵ m， n是方程的实数根， ∴，， ∴． 故选B． 11．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，菱形的性质，解一元二次方程．由菱形的性质可知邻边相等，即，因此方程有两个相等的实数根，判别式为零，求解的值并排除不合题意的解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 即， ∴， ∴， ∴或， ∵当时，方程变为，根为，边长不能为零，故舍去， ∴， 故选：A． 12．B 【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 【详解】解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 13．C 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴方程必有一根为；故①正确； ②当时，方程变为， 即， ∴或， ∴方程至少有一个根为；故②正确； ③若方程两根为和， 则两根之和为，即， 两根之积为，即， ∴；故③正确； ④若，则， 判别式， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，但说法是“有两个相等的实数根”，故④错误； 综上，正确的有①②③，共3个； 故选C． 14．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率模型，第三天的票房是在第一天票房基础上经过两次相同增长率增长得到的，列方程即可． 【详解】解：∵该市第一天票房约2亿元，且以后每天票房按相同的增长率x增长， ∴该市第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 根据题意得：． 故选：D． 15．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据单循环赛规则，每组x个球队的比赛总场数为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵每组有个球队，单循环赛每两队之间赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵每组安排28场比赛， ∴可列方程． 故选：D． 16．B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 17．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 故选：B． 18．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 19．B 【分析】本题主要考查的知识点是一元二次方程的应用，根据“利润(售价成本)销量”建立方程，再结合成本和利润的要求列出方程即可． 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：． 故选：B． 20．D 【分析】本题考查了解分式方程，观察分母关系，将方程变形后乘以最简公分母去分母，得到等式，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 去分母可得：， 故选：D． 21．A 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可得方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵分式与分式的和为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当，， ∴是原方程的解，且符合题意， 故选：A． 22．B 【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 即可得， 解得 故选：B． 23．D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后方程矛盾，无解；二是解出的根使分母为零，为增根．先化简方程，利用分母关系简化，再求解关于x的方程，讨论m的值． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 24．A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 通过解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， 方程两边乘，得 ， ， ， ∴ ． ∵ 解为非负数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ 分母 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上， 且 ． 故选：A． 25．B 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 26．A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 27．A 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 28．C 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出汽车的速度为千米/小时，则骑自行车的时间为小时，汽车的时间为小时，再根据骑自行车的时间比汽车的时间多20分钟，即小时建立方程即可得． 【详解】解：设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时， 由题意得：骑自行车的时间为小时，汽车的时间为小时， 则所列方程是，即， 故选：C． 29．C 【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：C． 30．A 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，关键是找到等量关系． 根据工作时间工作总量工作效率，利用现在生产600万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品， ∵现在生产600万件产品所需时间更新技术前生产500万件产品所需时间 ∴ 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $