精品解析：广西南宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年秋季学期义务教育质量调研 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列铜鼓纹饰中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（ ） A 明天一定会下雨 B. 明天一定不会下雨 C. 明天下雨的可能性比较大 D. 明天下雨的可能性比较小 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形可能性相等，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，一个海港在范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角，已知危险角，若深水船只未进入浅滩，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 11. 一块矩形铁皮长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，可制作成一个无盖方盒．若该方盒的底面积为，设切去的正方形边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 下表是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 9 3 1 3 9 … 则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象开口向下 B. 二次函数的最小值为2 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 若点，都在抛物线上，则 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则________． 15. 函数图象如图所示，当时，的取值范围是________． 16. 相机镜头通过控制光圈叶片开合来调节进光孔的大小．如图，镜头半径为，若某时刻正六边形的进光孔的半径长为，则被光圈叶片挡住的阴影部分面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并直接写出，的坐标； （2）画出以为旋转中心顺时针旋转得到． 19. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 在一个不透明的口袋中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球． （1）请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率； （2）某数学兴趣小组在以上条件下，进行多次重复试验，结果如下表所示： 实验次数 两次都摸到红球的频率 根据表中数据，估计两次都摸到红球的概率，请直接写出此概率的值（精确到）； （3）根据以上内容，请说明频率与概率的关系． 21. 某文创店购进一批壮锦香包，进价为每个6元，现在售价为每个22元，每星期可卖出60个．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10个．文创店决定降价促销，设每个香包降价x元． （1）请用含的式子表示出降价后一个香包的利润； （2）要使本周销售香包的利润为1120元，并让利于顾客，每个香包应降价多少元？ 22. 综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部B到两边抛球线的距离和均为，高杆高度为，球圈的半径是． 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高． 【实践建模】如图2，测试过程中，球从O点正上方的A处飞出，穿过球圈后，落到点E（点O，B，E在同一条直线上）．绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）当绣球飞行的水平距离为时，达到最大高度． ①求y关于x的函数解析式； ②请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由； 【方案优化】实践发现，绣球落点E的位置影响得分效率，当时，落点E位于最佳区域． （2）请判断（1）中绣球落点E是否位于最佳区域，并说明理由； （3）调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点E在最佳区域．设此时飞行路线的解析式为，请直接写出a的取值范围． 23. 综合与探究 【概念理解】若一个多边形既有外接圆又有内切圆，则这个多边形叫作谐圆多边形． （1）结合谐圆多边形概念，请判断下列猜想的正误，并在横线上填写“正确”或“错误”； 猜想 判断正误 ①任意三角形都是谐圆三角形 ________ ②平行四边形一定是谐圆四边形 ________ ③正多边形一定是谐圆多边形 ________ 性质探究】 如图1，是谐圆四边形的外接圆，是谐圆四边形的内切圆，与边分别相切于点． 猜想①：对角和关系； 证明：是谐圆四边形ABCD的外接圆， ， ▲ ． ． 猜想②：对边和关系 ▲ （填写“”“”或“”）． （2）请直接写出“▲”处空缺内容，并证明猜想②； 【判定推理】 （3）如图2，四边形中，，，． 求证：四边形是谐圆四边形； 【综合应用】 （4）尺规作图：如图3，是圆一条弦，请作谐圆四边形，并使得点在圆上（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期义务教育质量调研 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列铜鼓纹饰中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义对选项依次判断． 【详解】A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，最高次数为，逐一判断即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数要求最高次数为且二次项系数不为， ∴、，最高次数为，是一次函数，该选项不符合题意； 、，最高次数为，是一次函数，该选项不符合题意； 、，最高次数为且，是二次函数，该选项符合题意； 、，最高次数为，不是二次函数，该选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 明天一定会下雨 B. 明天一定不会下雨 C. 明天下雨的可能性比较大 D. 明天下雨的可能性比较小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是对概率意义的理解，核心是区分“可能性大小”与“必然事件、不可能事件”．根据概率的定义，降水概率反映的是事件发生的可能性程度，属于较高概率，因此可判断出明天下雨的可能性较大． 【详解】解：降水概率表示明天下雨的可能性比较大，但不是“一定会下雨”，也不是“一定不会下雨”． 故选：． 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数对称轴，根据二次函数的顶点式形式，抛物线的对称轴是直线作答即可． 【详解】解：是顶点式， ∴对称轴为直线． 故选：B． 6. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形可能性相等，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，灵活运用概率的定义是解题的关键．根据概率的定义，概率等于符合条件的区域数量除以总区域数量，得到式子(击中黑色)黑色小正方形数量总小正方形数量，进而求出结果． 【详解】解：飞镖游戏板是一个的正方形网格，总共有块相同的小正方形， 图中黑色小正方形的数量为块， 击中黑色小正方形的概率． 故选：． 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 8. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将绕点O按逆时针方向旋转后得到，则，因为，则可求． 【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 10. 如图，一个海港在范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角，已知危险角，若深水船只未进入浅滩，则的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质与圆周角定理的综合运用，灵活运用三角形外角大于不相邻内角的性质是解题的关键．根据圆周角定理得到，进而推出式子，从而确定的可能值． 【详解】解：如图，设与的交点为，连接， ， 又且， ， 的大小可能是． 故选：． 11. 一块矩形铁皮长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，可制作成一个无盖方盒．若该方盒的底面积为，设切去的正方形边长为，则可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，灵活运用图形切割后边长的变化关系是解题的关键．根据矩形铁皮切去正方形后的边长变化，得到方盒底面的长为，宽为，进而结合底面积公式列出方程． 【详解】解：原矩形铁皮长，宽，四角各切去边长为的正方形。 制作成无盖方盒后，底面的长为，宽为； 已知方盒底面积为，根据“底面积长宽”，可列方程： ． 故选：． 12. 下表是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 9 3 1 3 9 … 则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象开口向下 B. 二次函数最小值为2 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 若点，都在抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；利用待定系数法求出二次函数解析式，再逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：由表格可知：二次函数经过点、、， 代入得：， 解得：， ∴二次函数解析式为 ， 验证选项： A、∵，∴开口向上，A错误， B、当时，函数取得最小值，即为，∴最小值为1，B错误， C、方程的判别式，∴无实数根，C错误， D、当时，， 当时，，∴，D正确； 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，利用已知根求另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系，得． 已知，代入得， 所以． 故答案为：3． 15. 函数图象如图所示，当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，灵活运用抛物线的开口方向与交点是解题的关键．根据抛物线开口向下，且与轴交于和，进而得出式子时的取值范围． 【详解】解：从图象可知，抛物线与轴的交点为和， 故当时，． 故答案为：． 16. 相机镜头通过控制光圈叶片开合来调节进光孔的大小．如图，镜头半径为，若某时刻正六边形的进光孔的半径长为，则被光圈叶片挡住的阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是圆与正多边形的面积计算，灵活运用圆的面积公式与正六边形的分割法是解题的关键．根据正六边形的性质，可将其分割为个边长为的等边三角形，进而求出正六边形的面积，再结合圆的面积公式求出阴影部分面积． 【详解】解：镜头的面积为：， 正六边形的半径（中心到顶点的距离）为，它可以分割为个边长为的等边三角形； 单个等边三角形面积为：， 因此正六边形面积为：， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则和方程解法是解题的关键． （1）先进行除法、乘法运算，再进行加减运算即可求出结果； （2）可以选择公式法或配方法求解一元二次方程，公式法需先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式；配方法则通过配方将方程转化为完全平方式来求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：法一：公式法，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即，； 法二：配方法 ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并直接写出，的坐标； （2）画出以为旋转中心顺时针旋转得到的． 【答案】（1）图见解析，， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的中心对称作图与旋转变换作图，熟练掌握对称点坐标规律和旋转的性质是解答本题的关键． （1）利用关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，确定，的坐标，再顺次连接得到对称图形； （2）根据“以原点为旋转中心，顺时针旋转的点的坐标变换规律：点变为”，确定，的坐标，再顺次连接得到旋转后的图形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求；， 【小问2详解】 如图所示，即为所求． 19. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理及勾股定理的综合应用，熟练运用相关定理构建直角三角形是解答本题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角，结合已知角相等的条件，推导直角，从而证明垂直关系； （2）根据垂径定理求出弦长的一半，设出圆的半径，利用勾股定理建立方程求解半径． 【小问1详解】 证明：为直径， ， ， ， ， 在中，， ． 【小问2详解】 解：连接， ，且为直径， ，， 设半径长为，则，， 在中，， ， 解得， 半径为． 20. 在一个不透明的口袋中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球． （1）请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率； （2）某数学兴趣小组在以上条件下，进行多次重复试验，结果如下表所示： 实验次数 两次都摸到红球的频率 根据表中数据，估计两次都摸到红球的概率，请直接写出此概率的值（精确到）； （3）根据以上内容，请说明频率与概率的关系． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率、频率与概率的关系，熟练掌握概率的计算方法和频率的稳定性是解题的关键． （1）通过列表或画树状图的方法，列出所有等可能的结果，再找出两次都摸到红球的结果数，进而计算概率； （2）根据大量重复试验下频率的稳定性，用频率的稳定值估计概率； （3）结合试验次数与频率的变化趋势，说明频率与概率的关系． 【小问1详解】 解：由题意，画树状图如下： 第次 第次 列表： 第次 第次 红 绿 红 绿 共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中两次都摸到红球（记为事件A）的结果有种， ． 【小问2详解】 解：由表可得，两次都摸到红球的概率为． 【小问3详解】 解：当试验次数越来越多时，频率越来越稳定在概率附近．（言之有理即可） 21. 某文创店购进一批壮锦香包，进价为每个6元，现在售价为每个22元，每星期可卖出60个．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10个．文创店决定降价促销，设每个香包降价x元． （1）请用含的式子表示出降价后一个香包的利润； （2）要使本周销售香包的利润为1120元，并让利于顾客，每个香包应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件香包应降价8元 【解析】 【分析】本题考查了代数式以及一元二次方程： （1）根据题意列代数式； （2）通过 “总利润单个利润销量” 的关系列出一元二次方程，求解后再根据“让利于顾客”的要求选择更大的降价幅度． 【小问1详解】 解：降价后一个香包的利润：． 【小问2详解】 解：由题意得： 解得：， 尽可能让利于顾客 答：每件香包应降价8元． 22. 综合与实践 【研究主题】抛绣球得分策略研究 【场地介绍】如图1，绣球训练场地中，高杆底部B到两边抛球线的距离和均为，高杆高度为，球圈的半径是． 【测试方法】测试员在抛球线后将球抛出，绣球穿过高杆上方的球圈算成功一次，绣球抛出后快跑捡回，至对面抛球线后继续抛出，规定时间内穿过次数越多，得分越高． 【实践建模】如图2，测试过程中，球从O点正上方的A处飞出，穿过球圈后，落到点E（点O，B，E在同一条直线上）．绣球大小和球圈厚度忽略不计，在不考虑空气阻力的情况下，绣球的飞行路线是抛物线．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）当绣球飞行的水平距离为时，达到最大高度． ①求y关于x的函数解析式； ②请判断此次抛出的绣球是否能穿过球圈，并说明理由； 【方案优化】实践发现，绣球落点E的位置影响得分效率，当时，落点E位于最佳区域． （2）请判断（1）中绣球的落点E是否位于最佳区域，并说明理由； （3）调整绣球的轨迹，使其穿过球圈的圆心后，落点E在最佳区域．设此时飞行路线的解析式为，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①；②本次抛出的绣球能穿过球圈，理由见解析 （2）本次绣球没有落在最佳区域，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的顶点式解析式求解，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①根据题意可知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式，再将抛物线经过的点的坐标代入解析式，解方程求出的值，即可得到函数解析式； ②根据场地介绍确定球圈圆心的坐标，再将圆心的横坐标代入所求的二次函数解析式，求出对应的纵坐标，对比球圈的上下边界高度，判断该点是否在球圈范围内； （2）令函数解析式中的，解出此时的值，得到落点的横坐标，再结合最佳区域的取值范围，对比判断落点是否在最佳区域内； （3）先确定球圈圆心的坐标，将其代入抛物线解析式，得到与的关系代回抛物线解析式，则解析式中只有一个待定系数；因为抛物线过和，由图象知，抛物线开口越大，越大，因为，所以当时抛物线开口最小，当时抛物线开口最大，分别代入和即可得到的取值范围． 【详解】解：（1）①由题意，抛物线的顶点坐标为，且过， ∴设抛物线解析式为，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； ②本次抛出的绣球能穿过球圈． 理由：当时代入抛物线解析式得， 由题意，点高度为5米，球圈的半径是，绣球大小忽略不计， 球圈顶端高度为米， ∵， ∴绣球能穿过球圈； （2）本次绣球没有落在这个区域． 理由：令抛物线中， ， 解得（负值舍去）， ∵， ∴本次绣球没有落在最佳区域； （3）根据题意绣球的轨迹穿过球圈圆心，故抛物线过，代入， 得， 解得， 代入抛物线解析式得， 抛物线过和，由图象知，抛物线开口越大，越大， ∵， ∴当时抛物线开口最小，当时抛物线开口最大， 当时，代入抛物线解析式， 解得， 当时，代入抛物线解析式， 解得， ∴． 23. 综合与探究 【概念理解】若一个多边形既有外接圆又有内切圆，则这个多边形叫作谐圆多边形． （1）结合谐圆多边形概念，请判断下列猜想的正误，并在横线上填写“正确”或“错误”； 猜想 判断正误 ①任意三角形都是谐圆三角形 ________ ②平行四边形一定是谐圆四边形 ________ ③正多边形一定是谐圆多边形 ________ 【性质探究】 如图1，是谐圆四边形的外接圆，是谐圆四边形的内切圆，与边分别相切于点． 猜想①：对角和关系； 证明：是谐圆四边形ABCD的外接圆， ， ▲ ． ． 猜想②：对边和关系 ▲ （填写“”“”或“”）． （2）请直接写出“▲”处空缺内容，并证明猜想②； 【判定推理】 （3）如图2，四边形中，，，． 求证：四边形是谐圆四边形； 【综合应用】 （4）尺规作图：如图3，是圆的一条弦，请作谐圆四边形，并使得点在圆上（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】（1）①正确；②错误；③正确；（2）猜想①；猜想②；见解析；（3）见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义、切线、全等三角形的性质与判定： （1）结合三角形、平行四边形、正多边形的几何性质依次判断即可； （2）先利用圆内接四边形对角互补，再根据切线长定理即可； （3）通过直角三角形斜边中线性质证外接圆，通过角平分线性质证内切圆； （4）以为弦，作其所在的圆，在圆上取点，使得（利用圆上点的性质构造对边和相等），再取点，使四点共圆且满足 ，连接各点，即得谐圆四边形． 详解】解：（1）① 任意三角形都有外接圆（外心）和内切圆（内心），满足谐圆多边形定义，故正确； ② 一般平行四边形无外接圆（除非是矩形），也无内切圆（除非是菱形），不满足条件，故错误； ③ 正多边形既有外接圆（外接圆的圆心为中心），又有内切圆（内切圆的圆心也为中心），满足定义，故正确； 故答案为：①正确；②错误；③正确； （2）猜想①：；猜想②：对边和关系， 故答案为：猜想①；猜想②． 证明：②是谐圆四边形的内切圆， 分别为的切线． ，，，． ， ． （3）解：连接，取中点，连接， ， 和是直角三角形． 是斜边中点， ，分别是和斜边中线， ． 四个点在以点为圆心，为半径的圆上． 是四边形的外接圆． 作平分线交于点，过作，，，， 在和中，，，， ． ，． 平分，平分，平分， ，，，， ，，． ． 四个点在以为圆心，长为半径的圆上． ，，， 为半径， 是的切线． 是四边形的内切圆． 是四边形的外接圆，是四边形的内切圆， 四边形是谐圆四边形． （4）如图所示，谐圆四边形即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $