精品解析：湖北省孝感市汉川市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试卷 满分120分 考试时间120分钟 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 3. 已知是方程一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如果反比例函数的图像过点，那么这个函数的图像应在（ ） A 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 5. 班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象与x轴交于，B两点，则点B的坐标是（ ）． A. B. C. D. 7. 反比例函数 的图象如图，点是该函数图象上一点，轴，垂足是点，如果，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 8. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（ ）． A B. C. 垂直平分 D. 10. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度． 12. 为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程．现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是______． 13. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要______ ． 14. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，母线长为，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 15. 如图，在中，是边上的定点，点从点出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图像如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则（1）______，（2）点的纵坐标是______． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 17. 如图，已知，，．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 19. 某校计划组建四个课外活动小组（A：航模，B：摄影，C：乐器，D：舞蹈），要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数为 ； （2）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）则反比例函数的解析式为 ； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 21. 如图，在中，，平分交于点E，D是上的一点，以为直径作的外接圆O交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求长． 22. 随着自媒体的普及应用，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元） （1）求与之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？ （3）若每天至少销售件，且销售单价不低于元时，求的最大值． 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点． （1）则二次函数的解析式为 ； （2）若点为直线上的一动点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点．设，求关于的函数解析式，当随的增大而增大时，求的取值范围； （3）如图，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量监测 九年级数学试卷 满分120分 考试时间120分钟 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，可知只有D选项中的图形为中心对称图形． 故选：D 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，不符合题意； B、两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，属于不可能事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，属于必然事件，不符合题意； D、拨打一个电话号码，电话正被占线中，属于随机事件，符合题意； 故选：D． 3. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，即可求得m的值 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入得，， 解得， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4. 如果反比例函数的图像过点，那么这个函数的图像应在（ ） A 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴函数的图像在第二、四象限． 故选：C． 5. 班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数积．每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：D． 6. 若二次函数的图象与x轴交于，B两点，则点B的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴二次函数的对称轴直线为， ∵，关于对称轴直线为对称， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 反比例函数 的图象如图，点是该函数图象上一点，轴，垂足是点，如果，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数（k≠0）系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值确定满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得S△MON＝|k|， 而S△MON＝3， 所以|k|＝3， 而k＜0， 所以k＝−6． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 8. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 9. 已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理，平行线的判定和性质．解题的关键是灵活运用以上知识点解决问题． 选项：根据作图可得，根据圆周角定理，可得，进而可得； 、选项：通过证明，得到，根据圆周角定理的推论和三角形中位线定理，得到垂直平分线段，继而根据垂径定理，得到； 选项：根据不一定等于，得到不一定等于． 【详解】解：由作图可知， 又， ，选项正确，不符合题意； ， ， ， 如图，设和交于点， ， 又， ， 垂直平分线段，，选项、正确，不符合题意； 的度数未知，和互余，但不一定等于， 不一定等于，选项符合题意． 故选：． 10. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点H是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∵， ∴点H是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点H是的中点， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度． 【答案】 【解析】 【分析】时钟上的分针匀速旋转一周需要60min，分针旋转了360°；求经过10分，分针的旋转度数，列出算式，计算即可． 【详解】根据题意得，×360°=60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键． 12. 为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程．现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出表格，一共得到6种等可能的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”的有2种，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 器乐 戏曲 棋类 器乐 器乐，戏曲 器乐，棋类 戏曲 戏曲，器乐 戏曲，棋类 棋类 棋类，器乐 棋类，戏曲 共有6种等可能出现的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”的有2种， 恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 13. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出阻力关于阻力臂的函数关系，再根据动力动力臂=阻力阻力臂，即可得到动力与动臂的关系，再将代入，求出的值即可． 【详解】解：设， 点在该函数图象上， ， 解得， 即， ， 动力动力臂阻力阻力臂， ， 当为时，， 解得， 动力至少需要， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，母线长为，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积计算．熟悉圆锥的侧面积计算公式，即圆锥的侧面积底面周长母线长，是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥侧面积底面周长母线长， ∴已知底面周长为，母线长为，代入得： ． 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的定点，点从点出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图像如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则（1）______，（2）点的纵坐标是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，勾股定理及其逆定理，三角形面积计算公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图得到，当与重合时，即可得到的长； （）根据图得到的长度及点到的距离, 点的纵坐标表示点到的距离，再根据勾股定理及其逆定理，三角形面积公式求出点到的距离即可． 【详解】解：（）根据图得到，当与重合时，， 故答案为：； （）根据图，，，，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，如图， 在中利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 先对右边的式子提公因式，再移项，最后再提公因式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解得，． 17. 如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】k=2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，代入求解即可． 【详解】.解：根据根与系数的关系得 解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系，一元二次方程的两个根为，，则，． 19. 某校计划组建四个课外活动小组（A：航模，B：摄影，C：乐器，D：舞蹈），要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数为 ； （2）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）60，144 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，列表法或树状图求概率，熟练掌握统计图的特征和求概率的方法是解题的关键． （1）由摄影小组的人数及其对应的百分比可得总人数；用总人数减去其它各小组的人数即可得到航模小组的人数，再用航模小组的人数除以总人数乘以即可得到“航模”所对应的圆心角的度数； （2）根据题意列表得出所有等可能的结果数和“恰好是1名男生和1名女生”的结果数，再根据概率公式即可得到答案． 小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：设两名男生分别为男，男，两名女生分别为女，女，列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） ∵共有种等可能结果，其中是名男生和名女生的情况有种， ∴所选的人恰好是名男生和名女生的概率是：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）则反比例函数的解析式为 ； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，熟练运用函数交点坐标的求法和面积分割法是解题的关键． （1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值，进而确定反比例函数的解析式； （2）先求出一次函数与轴的交点的坐标，设出点的坐标，用面积分割法表示出的面积，结合已知面积列方程求解，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数中可得， ， ， 将代入反比例函数中可得， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 设，则， ， ， ，， ， ，， 或． 21. 如图，在中，，平分交于点E，D是上的一点，以为直径作的外接圆O交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定，熟知切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角推出，则，再证明，则可证明是的切线； （2）设半径为r，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：设半径为r，则，， 在Rt中，由勾股定理得， 解得， 22. 随着自媒体的普及应用，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元） （1）求与之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？ （3）若每天至少销售件，且销售单价不低于元时，求的最大值． 【答案】（1） （2）应将销售单价定为元 （3）每天获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际销售问题中的应用，熟练掌握利润公式、二次函数的性质及不等式的应用是解答本题的关键． （1）利用“利润每件利润销售量”的公式，代入已知的单价和销量表达式，推导得出函数关系式； （2）将利润值代入函数关系式，解方程求出销售单价的可能值，再结合销量随单价变化的单调性，确定满足“销量尽可能大”的单价； （3）根据销量和单价的限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数的开口方向与对称轴，判断其在该区间内的增减性，从而求出最大值． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 即w与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 保证销售量尽可能大，而销售量中，随的增大而减小， 取， 答：该商家应将销售单价定为元． 【小问3详解】 解：每天销售量不少于件，且销售单价至少元时， ，且，则， ， 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值， 最大值为， 答：该商家每天获得的最大利润是元． 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，② 【解析】 【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形的角相等关系，推导出为直角，再由等腰直角三角形的性质得出的度数； （2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线； （3）①先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边相等关系，证明另一组三角形全等，从而得到与相等； ②先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：（1）两个完全相同的矩形纸片， ，，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （3）①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及勾股定理的综合运用，熟练利用矩形性质推导边与角的关系是解题关键． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点． （1）则二次函数的解析式为 ； （2）若点为直线上的一动点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点．设，求关于的函数解析式，当随的增大而增大时，求的取值范围； （3）如图，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），（或）；当或时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数与轴的交点坐标，代入解析式建立方程组，求解系数即可确定二次函数的解析式； （2）先根据直线解析式表示出动点的坐标，结合二次函数解析式得到点的坐标，分区间计算两点的垂直距离得到关于的函数解析式，再根据二次函数的开口方向与对称轴，确定随增大而增大时的取值范围； （3）先将二次函数在轴下方的部分沿轴翻折，得到新图象的解析式，再将直线向上平移，通过分析直线经过特定点（如点）和与翻折后抛物线只有一个交点这两种临界情况，结合判别式求出对应的值，从而确定直线与新图象有个公共点时的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入二次函数中， 得， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点为直线上的一点，其横坐标为， ， ， 当时， ， ， 当或时， ， ， 即（或），， 关于的图象如图所示， 当时，， ， 当，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当或时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点的坐标为， 将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴的上方，翻折上来的部分抛物线的顶点的坐标为， 翻折上来的部分抛物线的解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线：，如图3． （i）当直线经过点时， 把代入， 得，解得； （ii）当直线与抛物线只有个交点时，令，整理，得， ， 解得， 故当时，直线l'与这个新图象有个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、动点距离的函数表达与增减性，以及函数图象翻折和平移后的交点问题，熟练运用二次函数的性质、图象变换和方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $