精品解析：安徽芜湖市2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监控 九年级数学试卷 （答题时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答案填涂在答题卷上） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 3. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 4. 据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，均在上，若，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，得到．若轴，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题中，请将答案直接填在答题卷相应的位置上） 11. 命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是________． 13. 关于x一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 14. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点．点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，则的半径为________，图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题9个小题，第15、16、17、18题每题8分，第19、20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题14分，共90分，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上） 15. 解方程：． 16. 如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想，（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 19. 在诺贝尔获奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．某中学从全校随机抽取了部分学生，调查他们对这六位华人科学家的了解程度．调查结果分为四档，A档：非常了解（能详细介绍至少三位科学家的成就）；B档：比较了解（能介绍一到两位科学家的主要成就）；C档：基本了解（仅知道科学家名字）；D档：不太了解（几乎不了解这些科学家）．根据调查情况，绘制了如图所示的扇形统计图和统计表（均不完整）：根据以上信息解答下列问题： 调查结果 人数 频率 A档 20 B档 76 C档 0.45 D档 14 （1）填空：________，________，C档圆心角的度数为________； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校学生在B档的人数； （3）在A档的20名学生中，有4名学生来自初二年级，这4名学生由3名男生和1名女生构成，学校打算从这4名学生中随机抽取2名参加下一轮的深度科普学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标及的面积． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 22. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 23. 已知抛物线与y轴交于点C． （1）该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． （3）已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监控 九年级数学试卷 （答题时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答案填涂在答题卷上） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、三角形的外心到三边的距离相等是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 、直径所对圆周角是直角是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 3. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 4. 据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年年利润的平均增长率为，由题意得，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该公司这两年年利润的平均增长率为， 由题意得：， 故选：A． 5. 如图，点，，均在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，由等腰三角形得，所以，再根据圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点， ∴，， ∴的面积为， 故选：． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 8. 如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为， 如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 9. 如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，得到．若轴，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形，过点作轴于，过点作轴于，根据旋转的性质得到，最后解直角三角形即可． 【详解】过点作轴于，过点作轴于 点的坐标为，点的坐标为 绕点逆时针旋转得到 轴 轴 的坐标为： 故选：C． 10. 已知抛物线y=ax2 +bx +c对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，， 对称轴直线，则， ∴，故①正确； 当时，， ∵， ∴，即 ∴，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0）， ∴， ∵， 两式相加，则， ∴，故③错误； ∵，，， ∴， ∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确； ∴正确的结论有2个， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键． 二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题中，请将答案直接填在答题卷相应的位置上） 11. 命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质旋转角为，结合，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵， ∴，即旋转角的度数是， 故答案：． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点．点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，则的半径为________，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积，利用垂径定理得到，连接，利用勾股定理列方程，可求得半径，再利用等边三角形的性质得到的值，阴影部分的面积为，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ，, 如图，连接， ， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得，即半径为， 为等边三角形， , , , , 阴影部分的面积为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题9个小题，第15、16、17、18题每题8分，第19、20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题14分，共90分，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上） 15 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题关键．根据因式分解法解方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：． ． ∴或． 解得，． 16. 如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想，（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，为的平分线，得，由，得，即得结论． 【详解】解：以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N， 分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， 作射线，交于点D， 即为所求作， ，理由： 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线．熟练掌握角平分线作法，圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形的判定定理，是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个售价应定为50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 19. 在诺贝尔获奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．某中学从全校随机抽取了部分学生，调查他们对这六位华人科学家的了解程度．调查结果分为四档，A档：非常了解（能详细介绍至少三位科学家的成就）；B档：比较了解（能介绍一到两位科学家的主要成就）；C档：基本了解（仅知道科学家名字）；D档：不太了解（几乎不了解这些科学家）．根据调查情况，绘制了如图所示的扇形统计图和统计表（均不完整）：根据以上信息解答下列问题： 调查结果 人数 频率 A档 20 B档 76 C档 0.45 D档 14 （1）填空：________，________，C档圆心角的度数为________； （2）已知全校共1500名学生，请你估计全校学生在B档的人数； （3）在A档的20名学生中，有4名学生来自初二年级，这4名学生由3名男生和1名女生构成，学校打算从这4名学生中随机抽取2名参加下一轮的深度科普学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）；； （2）570 （3）恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A档的人数和占比求得抽取的人数，再根据题意可求得和的值，用乘的值，可求得C档圆心角的度数； （2）样本估计总体，即可求解； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的人数为人， 则， 人， C档圆心角的度数为， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：估计全校学生在B档的人数人； 【小问3详解】 解：设3名男生分别用A、B、C表示，1名女生用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种， ∴恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．也考查了条形统计图和扇形统计图． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【小问1详解】 解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 21. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，证明，得出，即可得出直线与相切； （）由（）得：，则，所以，故有，，设，则，，再根据勾股定理求出的值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）作交的延长线于点，连接，易得，再证明四边形是平行四边形可得，，然后证明可得，最后等量代换即可解答； （3）如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，证明可得，推出点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点，当点D在线段上时，取最小值，据此求解即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点， ∴当点D在线段上时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 23. 已知抛物线与y轴交于点C． （1）该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． （3）已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，四边形的最大面积为，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点C坐标和对称轴，进而利用相似比对称性求出点D坐标； （2）先求出抛物线解析式，易得点B坐标，进而求出直线解析式，再利用割补法可得 ，据此求解即可； （3）分两种情况，或，利用数形结合即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线， 令，得， ∴， ∴点C关于直线对称点为， ∴； 【小问2详解】 解：将代入得，，解得， ∴抛物线解析式为， 根据对称性可知， 设直线解析式为，将点B、C坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过E作轴交于点E， 设，则， ∴， 则 ， ∴当时，四边形的最大面积为，此时； 【小问3详解】 解：当时，如图， 只有保证点M在抛物线下方（包括抛物线上），则抛物线与线段有交点， 当时，， ∴； 当时，如图， 此时只有保证抛物线顶点在线段上方（包括上），则抛物线与线段有交点， 由可得直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为，此时直线上的点为， ∴，解得； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、坐标与图形面积、二次函数与直线交点问题等内容，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $