精品解析：内蒙古包头区2025-2026学年度高一年级上学期期末教学质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期高一年级期末教学质量检测 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算，再计算交集得到答案. 【详解】因为，集合， 所以，，则. 故选：B 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误. 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D 3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二分法可得答案. 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 5. 函数的图象如图所示.则可能是（） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】用排除法和特殊值，逐一排除不符合的选项，即可得出结果. 【详解】由图象过， ，知不正确， 由， ，知不正确， 由图象为曲线， 是一次函数，图象为直线，知D不正确， 显然该图象符合对数函数解析式. 故选：A. 6. 已知正数满足，则 的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数满足， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此当时，的最小值为. 故选：B 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为，即，解得， 故选：B 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. c>a>b B. c>b>a C. b>c>a D. a>c>b 【答案】B 【解析】 【分析】由换底公式求出，对数函数单调性判断出，与分别与比较，可判断出大小关系. 【详解】，，， ∵，，，，， ∴. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “，”的否定是“，” D. 命题“，”是假命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】从充分不必要条件的定义可判断AB；利用全称量词命题的否定可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在量词命题的真假性可判断D. 【详解】对于A选项：若，则必有，充分性成立； 反之，若，不一定有（例如且），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若，则，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称量词命题“”的否定为“”，C错误； 对于D选项：方程的判别式，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD 10. 下列结论正确的是（   ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 【答案】CD 【解析】 【分析】利用举反例可判断A项错误；找到与终边相同的角即可判断B项；利用扇形弧长与面积公式，借助于二次函数的值域即可判断C，D两项. 【详解】对于A，若取为锐角，但也是锐角，故A错误； 对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误； 对于C，设扇形半径为，依题，，解得， 则扇形面积为，故C正确； 对于D，设扇形半径为，弧长为，则， 扇形面积为， 故当时，扇形面积最大，此时，，扇形圆心角为rad，故D正确. 故选：CD. 11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数定义求值即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以，所以， 所以， 故答案为： 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解. 【详解】当时，，因此，因为函数是定义在R上的奇函数，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式判断的单调性，令，应用奇偶性的定义判断的奇偶性，进而确定的对称中心，再由单调性和对称性求不等式的解集. 【详解】因为均在上单调递增，则也是增函数，且向左平移1个单位得， 的定义域为，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故图象关于对称， 所以可化为， 结合单调递增可知，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，用，表示. 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】（1）通过对已知条件平方，利用完全平方公式求出； （2）利用对数的换底公式与运算法则，将 转化为用和表示的形式. 【详解】（1）∵，两边平方得. ∴. （2）. 16. （1）若，且，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围与三角恒等式，可求得，再对所求式子进行齐次化处理，代入运算即可； （2）根据三角函数诱导公式进行变形，代入运算即可. 【详解】（1），， 则. 所以. （2）因为， 所以. 17. 对于函数. （1）探索函数的单调性；并证明. （2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由. 【答案】（1）增函数，证明见详解； （2），理由见详解. 【解析】 【分析】（1）用函数单调性定义证明即可； （2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 函数在上是增函数，证明如下： 因为的定义域为， 任取且， 则， 因为在上单调递增且， 所以，即， 又因， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【小问2详解】 因为函数为奇函数， 所以，即，即， 解得， 所以存在实数，使函数是奇函数. 18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？ （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】（1）12万元；2万元； （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元． 【解析】 【分析】（1）将代入求值即可. （2）利用基本不等式与二次函数在给定区间上值域的求法，分别求分段函数的值域，再进行比较，可得答案. 【小问1详解】 因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 【小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为， 则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元． 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）、是；不是，理由见解析 （2）12 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【小问1详解】 ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． 【小问2详解】 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． 【小问3详解】 因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一年级期末教学质量检测 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定位置.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象如图所示.则可能是（） A. B. ， C. ， D. ， 6. 已知正数满足，则 的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. c>a>b B. c>b>a C. b>c>a D. a>c>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “，”的否定是“，” D. 命题“，”是假命题 10. 下列结论正确是（   ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 周长为20扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是2 rad 11. 对于任意表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，若，则______. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当，________． 14. 已知函数，则不等式解集是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，，用，表示. 16. （1）若，且，求的值. （2）已知，求的值. 17. 对于函数. （1）探索函数的单调性；并证明. （2）是否存在实数使函数为奇函数?如果存在求出值，如果不存在说明理由. 18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王将上述10万元只用于经销产品，则他能获得的收益是多少？若只用于经销产品，他的收益是多少？ （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 19. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $