三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用、三角函数新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用、三角函数新定义问题专项训练 三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数的图像与性质综合 三角函数的实际应用 三角函数新定义问题 考点一 三角函数的图像与性质综合 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知函数在一个周期内的函数图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象向右平移后得到函数的图象，写出函数的解析式；设函数的最小值为，且，求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意可知，，又因为函数的最小正周期为， 所以，此时， 由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为. （2）由三角函数图象变换得， 又因为， 令，则，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时，不符合题意； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，即， 解得或（舍去）； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，得（舍去）. 综上，. 例2．（25-26高一上·广东清远·月考）已知函数． (1)求的值； (2)在中，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简函数，进而求出函数值. （2）由（1）求出，利用差角的正弦公式及辅助角公式变形，再利用正弦函数性质求出范围. 【详解】（1）依题意， ， 所以. （2）由（1）得，而是的内角，则，， ，由，得，因此， 所以的最大值为. 例3．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） 最小正周期， 因为，所以， 所以单调递减区间为 （2）若在上有两个零点， 等价于在上有两个不同的解， ，此时，结合函数的图象和单调性 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 因此要使在上有两个不同的解，    例4．（25-26高一上·甘肃·期末）已知函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称． (1)求，的值； (2)求不等式的解集； (3)求方程根的个数． 【答案】(1)， (2) (3)3个 【详解】（1）因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为， 所以，则，又，所以. 所以， 因为的图象关于点对称， 所以，即， 解得，又因为，所以， 因此. （2）由（1）知，则不等式可化为， 即， 根据余弦函数的性质，可得， 解得， 因此不等式的解集为. （3）求方程根的个数，等价于求方程根的个数，等价于求的图象与的图象交点的个数， 在同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象，如图， 观察图象可知，函数图象与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个根. 变式1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； (3)函数，若且，求的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）因为 ， 所以，所以的最小正周期为； 令， 解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，. 设，则.      因为在上单调递增，从递增到1，； 在上单调递减，从1递减到，. 所以要使方程在区间上有两个不同的实数解， 须满足，即， 所以实数a的取值范围为； （3）因为， 所以. 因为，所以当且仅当时方程成立. 令，即，所以， 解得，即. 因为，所以当时， 可得，. 所以当时， 取得最大值. 所以的最大值为. 变式2．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 【答案】(1)函数取到最大值，； (2)； (3). 【详解】（1）由， 可得：当时，函数取到最大值，此时：； （2）因为正弦函数的单调递减区间是 所以由，解得， 即函数的单调递减区间是； （3）因为函数， 当时，， 而正弦函数在上是单调递增，在上是单调递减， 由于， 所以要使得函数在区间上取到最小值，则， 即实数t的取值范围是. 变式3．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. (2) 【详解】（1）, 令，由（）， 解得（）， 由（）， 解得（）， 所以函数的单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. （2）因为，所以. 由，，都满足，可知， 则，即在恒成立. 当时，恒成立； 当时，设，要使在恒成立， 只需在恒成立，故，解得， 综上所述m的取值范围是. 变式4．（25-26高一上·天津南开·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1） ，所以函数的最小正周期为. 由得， 所以函数的单调减区间为. （2）由题意得， 因为，所以， 所以， 因此，即的取值范围为， 即得在区间上的最小值为. 考点二 三角函数的实际应用 例1．（25-26高一上·海南·期末）某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 【答案】(1)且. (2)6月、7月、8月、9月、10月 【详解】（1）因为且 由条件①，可知这个函数的周期是12，即，故； 由②③可知，最小，最大，且，. 则有，解得； 根据分析可知，当时，取最小值， 当时，取最大值. 故，且， ，又因为，故， 所以函数解析式为：且. （2）令，化简得， 即，解得. 因为，且，所以6、7、8、9、10， 即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资. 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为平方米. 【详解】（1）因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. （2）因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 例3．（25-26高一上·浙江·月考）某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. (1)当时，求这段曲线的函数解析式； (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 【答案】(1) (2)3.50小时 【详解】（1）由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0. 所以函数的周期为2，所以， 当时，函数过点，代入得. 所求曲线的函数解析式为 （2）当时，令，解得. 当时，令，两边同时取常用对数得：， ，解得， ， 故病人一次性服用药物100，持续有疗效时长约为3.50小时. 变式1．（24-25高一下·北京西城·期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点. (1)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； (2)经过x分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于x的函数解析式满足（其中，，），求解析式； (3)当该游客甲登上摩天轮2分钟时，游客乙在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值. 【答案】(1)31米 (2) (3) 20 【详解】（1）因为从最低点处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点， 所以登上摩天轮4分钟后，， 所以游客距离地面的高度为米. （2）因为，其中， 所以，解得， 又，则，即， 因为，即， 又，所以， 所以. （3）设分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为： ， 当，即时，的最大值为20. 变式2．（24-25高一下·四川德阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） (1)求函数的表达式； (2)求该船一天内能够进入港口的时刻； (3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 【答案】(1) (2)凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. (3)小时 【详解】（1）根据表中数据得，， 且最小正周期，，即， 所以， 又当时取得最大值，则，， 因，则， 所以函数. （2）根据题意，货船能够安全进港必需港口水深， 即， 而，则，所以或， 解得或， 所以货船能够安全进港的时刻是凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. （3）由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留小时， 若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨时或下午时进港， 由于货物小时可卸完，根据题意小时卸完货物后的吃水深度为， 此时货船能安全在港的水深为，由，则，而， 则，所以，，，，.即，，，，， 因为货船只能在凌晨时或下午时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 变式3．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻” 【详解】（1）设，， 由题意可知，，，则，， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. （2）（i）设乙的座舱高度与时间函数为， 同（1）可求得， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. （ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 考点三 三角函数新定义问题 例1．（25-26高一上·上海杨浦·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 例2．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质： 1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为. 2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数. 3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性； （3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域. 【答案】（1）；（2）偶函数；（3）单调递减区间为：，单调递增区间为：，最小正周期：，值域为：. 【详解】解：（1）正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为； （2）的定义域为，关于原点对称， 且， 故函数为偶函数； （3）， ， 即为函数的一个周期； 对函数， ①当，设， 由余弦函数在上单调递减，得：， 令，，可得：， 而在区间上，正弦函数单调递增， 故， 从而，时，函数单调递减； ②当时，设， 由余弦函数在上单调递减，得：， 令，，可得：， 而在区间上，正弦函数单调递增， 故， 从而，时，函数单调递减； 同理可证：时，函数单调递增； 时，函数单调递增； 综上所述：当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 可得：为函数的最小正周期； 故， 而， 故的值域为：. 例3．（25-26高一上·上海浦东·月考）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 变式1．（25-26高一上·北京海淀·月考）已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质． (1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由； ①；②． (2)若函数具有性质，求的最小值； 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见详解； (2)的最小值为 【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： ①假设具有性质，即存在正数，使得 恒成立， 则对恒成立， 则此时无解，故假设不成立， 所以不具有性质. ②取，则， 即对恒成立， 所以具有性质； （2）因为函数具有性质， 所以存在正数，使得都有： 恒成立， 令，则对恒成立， 若，取，则，矛盾， 若，取，则， 即，矛盾， 所以， 则当且仅当时，对恒成立， 因为，所以， 所以当时，函数具有性质， 所以的最小值为. 变式2．（25-26高一上·广东广州·月考）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【详解】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 变式3．（25-26高一上·上海嘉定·月考）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； (3)． 【详解】（1），证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用、三角函数新定义问题专项训练 三角函数的图像与性质综合、三角函数的实际应用、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数的图像与性质综合 三角函数的实际应用 三角函数新定义问题 考点一 三角函数的图像与性质综合 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知函数在一个周期内的函数图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象向右平移后得到函数的图象，写出函数的解析式；设函数的最小值为，且，求的值． 例2．（25-26高一上·广东清远·月考）已知函数． (1)求的值； (2)在中，若，求的最大值. 例3．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在上有两个零点，求的取值范围. 例4．（25-26高一上·甘肃·期末）已知函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称． (1)求，的值； (2)求不等式的解集； (3)求方程根的个数． 变式1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； (3)函数，若且，求的最大值． 变式2．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 变式3．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． 变式4．（25-26高一上·天津南开·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值. 考点二 三角函数的实际应用 例1．（25-26高一上·海南·期末）某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； (2)请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.    (1)若，求的长； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 例3．（25-26高一上·浙江·月考）某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. (1)当时，求这段曲线的函数解析式； (2)如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 变式1．（24-25高一下·北京西城·期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点. (1)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； (2)经过x分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于x的函数解析式满足（其中，，），求解析式； (3)当该游客甲登上摩天轮2分钟时，游客乙在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值. 变式2．（24-25高一下·四川德阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） (1)求函数的表达式； (2)求该船一天内能够进入港口的时刻； (3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 变式3．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 考点三 三角函数新定义问题 例1．（25-26高一上·上海杨浦·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 例2．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质： 1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为. 2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数. 3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性； （3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域. 例3．（25-26高一上·上海浦东·月考）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·北京海淀·月考）已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质． (1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由； ①；②． (2)若函数具有性质，求的最小值； 变式2．（25-26高一上·广东广州·月考）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 变式3．（25-26高一上·上海嘉定·月考）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $