专题 1.1 直线的相交（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.1 直线的相交（知识梳理 + 题型精析 + 中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】相交线与对顶角 1 【题型 1】相交线与交点 1 【题型 2】对顶角的识别 2 【题型 3】利用对顶角相等求值 3 【题型 4】多条直线相交的交点数量规律 4 【知识点二】垂直 5 【题型 5】垂直的理解 5 【题型 6】垂直的画法 6 【题型 7】垂直的基本性质理解与应用 7 【知识点三】点到直线的距离 8 【题型 8】垂线段性质的理解与应用 8 【题型 9】点到直线的距离 9 二.中考真题 9 （一）单选题（5题） 9 （二）填空题（3题） 11 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】相交线与对顶角 （1）相交线：两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫作交点。 【题型 1】相交线与交点 【例题1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·期末）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（　　） A． B． C． D． （2）对顶角：两条直线相交所成的角中，相对的一对角叫作对顶角。对顶角的特点：顶点相同，角的两边互为反向延长线。 【题型 2】对顶角的识别 【例题2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021八年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． （3）对顶角性质：对顶角相等。 【题型 3】利用对顶角相等求值 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于点O，已知，．求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． （3） 多条直线相交：在同一平面内，假设所有直线都不平行，且没有三条或更多直线交于同一点（即任意两条直线都相交，且交点不重合），我们可以得到如下规律：每增加一条新直线，它都会与之前的所有直线各产生一个交点，对于条直线，交点个数的最大值为： 【题型 4】多条直线相交的交点数量规律 【例题4】（24-25七年级上·浙江温州·月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式1】（2021七年级下·全国·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【变式2】（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？ 【知识点二】垂直 （1）垂直的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 （2）符号表示：直线AB 与 CD 垂直，记作 AB⊥CD。 【题型 5】垂直的理解 【例题5】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【变式2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【题型 6】垂直的画法 【例题6】（2025七年级上·全国·专题练习）经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． （3）垂直的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这一点可以在直线上，也可以在直线外。 【题型 7】垂直的基本性质理解与应用 【例题7】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】（23-24七年级上·广西柳州·开学考试）从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【知识点三】点到直线的距离 （1）垂线段性质：垂线段的性质连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （2）点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 【题型 8】垂线段性质的理解与应用 【例题8】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·月考）如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【题型 9】点到直线的距离 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【变式2】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 二.中考真题 （一）单选题（7题） 1．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，直线与相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 3．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（1题） 8．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 直线的相交（知识梳理 + 题型精析 + 中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】相交线与对顶角 1 【题型 1】相交线与交点 1 【题型 2】对顶角的识别 3 【题型 3】利用对顶角相等求值 4 【题型 4】多条直线相交的交点数量规律 6 【知识点二】垂直 10 【题型 5】垂直的理解 10 【题型 6】垂直的画法 12 【题型 7】垂直的基本性质理解与应用 14 【知识点三】点到直线的距离 16 【题型 8】垂线段性质的理解与应用 16 【题型 9】点到直线的距离 17 二.中考真题 19 （一）单选题（5题） 19 （二）填空题（3题） 23 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】相交线与对顶角 （1）相交线：两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫作交点。 【题型 1】相交线与交点 【例题1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【答案】 公共点 相交 交点 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键． 解：当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点， 故答案为：公共点，相交，交点． 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·期末）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中语句，结合直线与直线、点与直线关系逐项验证即可得到答案． 解：由点在直线上，也在直线上，可知直线与直线交于点； A、C不符合题意； 由点不在直线上，可知B不符合题意； 再由直线两两相交，即可确定D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与直线、点与直线的关系，熟记相关定义是解决问题的关键． （2）对顶角：两条直线相交所成的角中，相对的一对角叫作对顶角。对顶角的特点：顶点相同，角的两边互为反向延长线。 【题型 2】对顶角的识别 【例题2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 【变式2】（2021八年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 【答案】见解析． 【分析】利用平角定义证明C、O、D三点在一条直线上即可． 证明：∵∠AOC+∠COB＝180°(平角的定义)， 又∵∠AOC＝∠BOD(已知)， ∴∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°． ∴C、O、D三点在一条直线上(平角的定义)， 即直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的定义)． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，平角的定义，正确的识别图形是解题的关键． （3）对顶角性质：对顶角相等。 【题型 3】利用对顶角相等求值 【例题3】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 解：， 答：的度数为． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则 【答案】 【分析】本题考查角度换算，角平分线的定义，对顶角的性质．先根据角平分线的定义计算出，再根据对顶角相等即可求解． 解：因为平分，， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于点O，已知，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，几何图形中角的计算，根据，求出，根据，求出即可． 解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． （3） 多条直线相交：在同一平面内，假设所有直线都不平行，且没有三条或更多直线交于同一点（即任意两条直线都相交，且交点不重合），我们可以得到如下规律：每增加一条新直线，它都会与之前的所有直线各产生一个交点，对于条直线，交点个数的最大值为： 【题型 4】多条直线相交的交点数量规律 【例题4】（24-25七年级上·浙江温州·月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 【变式1】（2021七年级下·全国·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 【变式2】（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． （1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？ 【答案】条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；分别画出图见解析．由此可知条直线最多可将平面分成个部分 【分析】根据题意，画图分类讨论，由此即可求解． 解：条直线最多可将平面分成个部分，如图： ； 条直线最多可将平面分成个部分，如图： ； 条直线最多可将平面分成个部分，如图： ， ∴条直线最多分成可将平面分成个部分． 【点睛】本题主要考查平面内直线的位置关系的规律，掌握画图分类讨论，直线的位置关系的规律是解题的关键． 【知识点二】垂直 （1）垂直的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 （2）符号表示：直线AB 与 CD 垂直，记作 AB⊥CD。 【题型 5】垂直的理解 【例题5】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． （1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质与对顶角相等，掌握互余是指两个角的和为是解题的关键．先根据得到直角，再利用对顶角相等的性质，找出与的角度和关系，从而判断二者的关系． 解：∵于点， ∴，即， ∵与是对顶角， ∴， ∴，即与互余． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 【题型 6】垂直的画法 【例题6】（2025七年级上·全国·专题练习）经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线． 解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线； 量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． （3）垂直的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这一点可以在直线上，也可以在直线外。 【题型 7】垂直的基本性质理解与应用 【例题7】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 解：依题意，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上， ∴其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·广西柳州·开学考试）从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握垂线的性质． 利用垂线的性质进行求解即可． 解：过直线外一点，有且只有一条线段与已知直线垂直， 故选：B． 【知识点三】点到直线的距离 （1）垂线段性质：垂线段的性质连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （2）点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 【题型 8】垂线段性质的理解与应用 【例题8】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键． 解：∵点为直线外一点，且于点， ∴， ∴线段长不可能是2， 故选A． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·月考）如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短；两点之间，线段最短．根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可． 解：根据垂线段最短得：B选项中方案比A选项中方案更省材料， 根据两点之间，线段最短得：B选项中方案比C，D选项中方案更省材料， ∴四种方案中最节省材料的是B． 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 【题型 9】点到直线的距离 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 【变式2】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 二.中考真题 （一）单选题（7题） 1．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图，直线与相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对顶角相等得到，即可求解． 解：读取量角器可知：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题． 2．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 3．（2023·河南·中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 解：∵， ， ， 故选：A． 5．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 解：， ． 故选：B． 6．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． （二）填空题（1题） 8．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $