精品解析：福建南平市2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

2025-2026学年初中毕业班教学质量第一次抽测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选D． 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴代入得， 即， ∴， 故选：B． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 四边形的内角和是 B. 投掷一枚图钉，一定是钉尖朝上 C. 射击运动员射击一次，一定命中靶心 D. 投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上一定为5次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的定义及判断，必然事件是指一定会发生的事件．选项A中四边形的内角和恒为，是几何定理，因此是必然事件；选项B、C、D中事件都可能不发生，因此不是必然事件． 【详解】解：∵任意四边形的内角和都等于（平面几何基本性质）， ∴选项A必然事件； B项：投掷图钉时钉尖朝向不确定； C项：射击命中靶心不确定； D项：投掷硬币正面朝上次数不确定， 故选：A． 4. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 详解】解：∵四边形内接于，， ∴； 故选C． 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．将常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 6. 若点，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将每个点的x坐标代入双曲线方程，计算出对应的y值，然后比较大小． 【详解】解：∵点在上， ∴ ∵点在上， ∴． ∵点在上， ∴． ∴，，， ∴． 故选：A． 7. 如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 随点C的位置变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点D在外接圆上， ∴； 故选B． 8. 如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，通过旋转的性质，旋转中心到旋转前、后图形的对应点的距离相等． 【详解】解：如图，连接D和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点D的距离相等， 因此格点D就是所求的旋转中心， 故选：D． 9. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 10. 以矩形的一个顶点为原点，过这个点的两边所在的直线为坐标轴，规定向右、向上为正方向，建立平面直角坐标系画出二次函数的大致图象如图所示，则这个坐标系的原点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据题中的二次函数判断其对称轴和经过y轴的点坐标，再结合图象判断与原点的关系，选择出正确的点即可． 【详解】解：由题意知，二次函数的对称轴为， ∴原点在抛物线对称轴的右侧， 又∵二次函数恒过， ∴原点在下方， 结合图象可知，符合条件的坐标系的原点为点C， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据双曲线上的点的横纵坐标之积为，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； 故答案为：3． 13. 如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，线段的和与差，根据旋转的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵旋转，， ∴， ∵点E落在边上， ∴； 故答案为：6． 14. 如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，先计算正方形区域的总面积，再根据“大量重复试验后，频率稳定在概率附近”，将“点落入黑色部分的概率”近似看作“黑色部分面积占正方形面积的百分比”，最后利用“黑色部分面积=正方形总面积×黑色部分面积占比”，计算出黑色部分的总面积． 【详解】解：由题意知，正方形区域的边长为，其面积为， 由于点落在黑色部分的频率稳定在0.5左右， 根据频率估计概率，黑色部分面积占正方形面积的比例约为0.5， ∴估计黑色部分的面积为， 故答案为：2． 15. 如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为， ∴底面半径为， ∴， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴， 即，解得， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为， 故答案为：． 16. 已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过求二次函数的对称轴，比较点A和点B到对称轴的距离，利用开口向上时距离越远函数值越大，得到不等式，求解得，因此m可取1． 【详解】解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上， ∴点A的横坐标，点B的横坐标， 由，得，即，简化得，解绝对值不等式， 由得，即， 由得即， ∴，m可取1， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． （1）请在图中画出； （2）经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】（1）作图见详解 （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系画旋转图形及三点确定一个圆的判定． （1）根据旋转的性质结合平面直角坐标系分别得出点D和点E的坐标，在图中标记出后依次连接即可； （2）结合三点确定一个圆的条件，当三点共线时无法确定一个圆，即可判断． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：判定三点确定一个圆的其中一个重要依据是三点不能共线， 由（1）可知，D，A，C三点共线， ∴经过A，C，D三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 19. 近年来，南平市各历史文化旅游景区持续火热．小明和小丽计划从五夫古镇、和平古镇、武夷梦华录、梅口埠（分别记作A，B，C，D）四个景区中随机各选择一个景区做推介活动． （1）小明选择和平古镇的概率为________； （2）用树状图或列表法求小明和小丽选择相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有四个景区，选择每个景区的可能性相同， 故小明选择和平古镇的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同景区的结果有4种， ∴． 20. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式得出当时，方程有两个不相等的实数根，对于一元二次方程，其中，，，代入判别式得：，因为任何实数的平方都是非负数，所以，即，因此方程必有两个不相等的实数根； （2）需将m、与方程的根联系起来，再利用根与系数的关系进行求解． 【小问1详解】 证明：对于一元二次方程，其判别式为， 在一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，方程必有两个不相等实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴． 21. 在中，，． （1）求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的半径． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解． （1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径． 【小问1详解】 解：如图所示，的外接圆O即为所求， 【小问2详解】 解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵为的垂直平分线， ∴点D为的中点， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴． 22. 已知抛物线：经过点，对称轴为直线． （1）求b，c的值； （2）如图，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点（M在N的左边），与抛物线交于P，Q两点（P在Q的左边），且，求m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）把代入解析式求出，对称轴公式求出； （2）联立与的解析式，求出的坐标，根据平移，得到点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线：， ∵直线与抛物线交于M，N两点（M在N的左边）， 令， 解得， ∴， ∵将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，直线与抛物线交于P，Q两点（P在Q的左边）， ∴点是由点向右平移2个单位得到的， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得． 23. 直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于两点．已知，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，根与系数之间的关系： （1）令，得到，根据根与系数之间的关系，求出的值，即可； （2）求出的坐标，进而求出，，根据根与系数之间的关系，得到，进而得到，进而得到． 【小问1详解】 解：令， 整理，得， ∵直线与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴，， 由（1）知：， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 7.5 30 675 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 【答案】①；②秒；③不会，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： ①根据题意，得到，，利用公式，列出函数关系式即可； ②求出时的自变量的值即可； ③待定系数法求出函数解析式，求出的最大值，进行判断即可． 【详解】解：①由题意，，， ∴； ② 当时，，解得（负值舍去）； 故小球从顶端滚到底端B处需要8秒； ③不会，理由如下： 设，把代入，得： ，解得， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴小球在木板滚动中不会撞上物体C． 25. 如图，四边形内接于，为的直径，对角线与交于点E，已知，，点P是外的一点，，且． （1）求证：直线与相切； （2）当，，的半径为6时，求的长（结果保留）； （3）求证：． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质，结合，，，，得出相关角度的表达式，进一步推导出，从而得出结论； （2）根据已知条件求得的度数，进而利用弧长公式即可得出结果； （3）根据已知条件得出，的表达式，进而得出，延长到点Q使，连接，由已知条件推出，从而求得的表达式，则，点D，E，C，Q在以点P为圆心，为半径的圆上，最终证明结论． 【小问1详解】 证明：∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即直线与相切． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴． 【小问3详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 如图，延长到点Q使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D，E，C，Q在以点P为圆心，为半径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式的计算及圆的切线定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初中毕业班教学质量第一次抽测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效； ② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 四边形的内角和是 B. 投掷一枚图钉，一定钉尖朝上 C. 射击运动员射击一次，一定命中靶心 D. 投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上一定为5次 4. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 随点C的位置变化而变化 8. 如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 以矩形的一个顶点为原点，过这个点的两边所在的直线为坐标轴，规定向右、向上为正方向，建立平面直角坐标系画出二次函数的大致图象如图所示，则这个坐标系的原点是（ ） A 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 13. 如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 14. 如图是边长为的正方形二维码，用电脑进行模拟掷点实验，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.5左右，估计黑色部分的总面积约为_______． 15. 如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 16. 已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可） 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． （1）请图中画出； （2）经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 19. 近年来，南平市各历史文化旅游景区持续火热．小明和小丽计划从五夫古镇、和平古镇、武夷梦华录、梅口埠（分别记作A，B，C，D）四个景区中随机各选择一个景区做推介活动． （1）小明选择和平古镇的概率为________； （2）用树状图或列表法求小明和小丽选择相同景区的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，，且，求的值． 21. 在中，，． （1）求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的半径． 22. 已知抛物线：经过点，对称轴为直线． （1）求b，c的值； （2）如图，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点（M在N的左边），与抛物线交于P，Q两点（P在Q的左边），且，求m的值． 23. 直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于两点．已知，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：． 24. 在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 75 30 67.5 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 25. 如图，四边形内接于，为的直径，对角线与交于点E，已知，，点P是外的一点，，且． （1）求证：直线与相切； （2）当，，的半径为6时，求的长（结果保留）； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $