精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2023级高三上学期数学试题 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可得解. 【详解】，则. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，，则， 所以. 故选：C 3. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论. 【详解】由可得椭圆，此时离心率为， 此时充分性成立； 若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得， 即必要性不成立； 综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 5. 则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设,可知,作出角的三角函数线,可得到答案. 【详解】设,则, 作出角的三角函数线,如下图, 则,,, 又在中,,则, 故,即. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较,利用三角函数线是解决本题的关键,属于基础题. 6. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)． A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a) 【答案】A 【解析】 【详解】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0， 所以′＝≤≤0， 则函数在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a) 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形与相似结合双曲线定义依次求出，再在焦三角形中由勾股定理列出方程即可求解. 【详解】因为，， 所以与相似，所以， 所以，则， 所以由得， 所以，解得（舍去）或. 所以双曲线的离心率为. 故选：D 8. 如图，正方体的棱长为，为的中点，动点从点出发，沿运动，最后返回.已知的运动速度为，那么三棱锥的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论点在线段、、、上运动，求解体积即可得答案. 【详解】（1）当时，在线段上运动，此时，，所以； （2）当时，在线段上，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，； （3）当时，在线段上，取的中点，，此时，同理可得，所以； （4）当时，在线段上，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，. 故选B. 【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及空间想象力，本题的难点在于动点在不同的线段上运动时需要分别求体积，属于难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 当时，，，，四点重合 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案. 【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确； 因为正方形的面积为，结合图形可知，且当α=b时，，，四点重合，故BD正确； 但是正方形的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C错误. 故选：ABD 【点睛】本题考查了，，的几何意义，利用图形可得到面积之间的关系，考查了数形结合思想，属于中档题. 10. 定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前项和为，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. ，，成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由新定义可得，以替换，可得，两式作差可得数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由．得①， 所以当时，②， ①-②得当时，，即当时，， 当时，由①知，满足，所以， 数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错误． 又，所以，故C正确． ，，，故D错误， 故选：AC． 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两直线与平行的条件是______． 【答案】且，或且 【解析】 【分析】根据直线平行关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】当时，直线和直线显然不平行，故， 若直线平行，只需，解得或 故答案为: 且，或且 13. 现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案. 【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1, 则两组数据混合后，新数据的平均数， 则新数据的方差 故答案为：9 14. 在平面四边形ABCD中，，，，则AB的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将平面四边形补形为三角形，成为等腰三角形，在内平移直线使之能满足条件，通过数形结合，分析两个临界点得到的取值范围. 【详解】如图所示，延长交于，平移，当与点重合时，最长(此时为临界位置，不能取) 在中，，，， 由正弦定理可得，即， 由，解得=， 平移，当与点重合时，最短，此时与交于， 在中，,， 由正弦定理知，，即， 解得(此时为临界位置，不能取) 所以的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，考查正弦定理解三角形，本题的关键是通过平行移动，根据临界点分析出的长度，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁 10 合计 70 100 （1）根据已有数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率. 附：， 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关 （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表． （2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率． 试题解析：（1） 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 20 60 80 年龄大于50岁 10 10 20 合计 30 70 100 （2） 所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. （3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是： ，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：，，，，，， 所以所求概率是. 16. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 【答案】（1）； （2）3，9，81，243； 【解析】 【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式可得结果； （2）由分组求和法计算. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得， 去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243， ， 综上，. 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 【答案】（1） 过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （2）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则∥，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若在区间上存在不相等的实数，使成立，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，设，根据题意分析可知：原题意等价于在内有正有负，结合二次函数性质分析求解； （2）根据题意分析可知：原题意等价于有2个根，进而可得，，代入分析证明即可. 【小问1详解】 因为， 注意到在上连续不断，且， 由题意可知：原题意等价于在上不为单调函数， 且，设，原题意等价于在内有正有负， 可知的图象开口向上，对称轴为， 可知：在上为增函数，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 且，令，可得， 若函数有两个不同的极值点，等价于有2个根， 则，解得：， 由韦达定理可得：，则， 又因为 ， 因为，则，可得， 所以． 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点.记动点轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与曲线相交于两点，与圆相切于点，若为中点，求的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线内部）的两条切线分别交于曲线于两点（异于点），探究直线是否过定点. 【答案】（1） （2） （3）直线恒过点 【解析】 【分析】（1）依题意可知圆的圆心在轴，即圆关于轴对称，三角形是直角三角形，再根据直角三角形射影定理可知，即可得解； （2）设，利用点差法求出，再根据化简求出，再根据在抛物线内部即可得解； （3）设过点且斜率存在的直线方程为，直线的斜率分别设为，根据直线与动圆相切可得，再化简，利用韦达定理求出，设方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和与积，再化简求出的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 依题意可知圆的圆心在轴，即圆关于轴对称， 三角形是直角三角形，且B点必在y轴右侧，即 由直角三角形射影定理可知， 即， 所以点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设， ， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由在抛物线内部可知，故， 即的纵坐标取值范围为； 【小问3详解】 设过点且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得， 整理得， 易知直线的斜率存在，分别设为，则是方程的两个不等实根， 则有， 由于的斜率不为0，设，设方程为， 代入，得， 则， ， 整理得，即， 即方程为，此时直线恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三上学期数学试题 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 则的大小关系是 A. B. C. D. 6. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)． A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a) 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，为的中点，动点从点出发，沿运动，最后返回.已知的运动速度为，那么三棱锥的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 当时，，，，四点重合 C. D. 10. 定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前项和为，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递减数列 C. D. ，，成等差数列 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两直线与平行的条件是______． 13. 现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 在平面四边形ABCD中，，，，则AB的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁 10 合计 70 100 （1）根据已有数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率. 附：， 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若在区间上存在不相等的实数，使成立，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点.记动点轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与曲线相交于两点，与圆相切于点，若为中点，求的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线内部）的两条切线分别交于曲线于两点（异于点），探究直线是否过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $