精品解析：新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷（问卷） 考试时长120分钟，满分分值150分 命题教师：彭文霞，审核教师：张瑞 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的根所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可. 【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间， 与在上均为增函数，在上单调递增； 对于A，，当时，，A错误； 对于B，，，即， ，使得，B正确； 对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误. 故选：B. 2. 若幂函数在上单调递减，则实数（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求出参数值，结合幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即，解得，或； 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 所以. 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用和角正弦公式及已知可得、，再由差角正弦公式得，最后利用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】由， 由，则， 所以，又， 而， 所以 故选：C 6. 若角，满足，，且，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 7. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应不等式为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，利用糖水不等式比较大小即可. 【详解】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 8. 已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，作出的图象，及时的图象，观察其交点个数，再由对称性得结交点个数，从而可得所求零点个数． 【详解】解：由得函数周期，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是由周期性，偶函数，及一个区间上的表达式确定出的解析式，然后作出函数和的图象，得函数图象交点个数，得函数零点个数． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，或，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是，或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， ， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：AD. 10. 为了得到函数的图象，只需（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度 B. 将函数图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度 D. 将函数的图象向右平移个单位长度 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换和诱导公式，进行逐一判断选项. 【详解】对于选项A，的图象向左平移个单位长度， 可得的图象,故A正确; 对于选项B，的图象向左平移个单位长度， 可得的图象，故B错误； 对于选项C，的图象向左平移个单位长度， 可得的图象，故C正确； 对于选项D，的图象向右平移个单位长度， 可得的图象，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）. A. 函数为增函数 B. ，， C. 若在上恒成立，则的最小值为 D. 若关于的方程有三个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分段函数性质可得分段函数解析式，代入特值可判断A选项；根据函数解析式可判断函数值域，进而判断B、C、D选项； 【详解】当，时，； 当，时，； 依次类推，当，时，； 函数图象如图所示， 对于A，，，不符合增函数定义，A选项错误； 对于B，，， 对于，，不等式恒成立，B选项正确； 对于C，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，， 因为，则，在上恒成立， 的最小值为，C选项正确； 对于D，由得：， 当时，则，方程无解，不合题意； 当时，则或； 与有且仅有三个不同交点； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； ，解得：；D选项正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算公式化简后即可求得. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 函数在时函数取得最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式计算可得时满足题意，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】易知， 其中； 当时，取得最大值，此时需满足， 即可得，所以； 可知. 故答案为： 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与的图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解指数不等式求集合，再由交运算求集合； （2）集合并运算求集合，再由包含关系并讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由， 当时，，解得，此时， 当时，要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数（为常数）过点． （1）求实数的值及函数的定义域； （2）解关于的方程． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）代入定点即可求出，由真数大于即可求出定义域； （2）解对数方程即可，注意真数需大于. 【小问1详解】 函数过点， ，， 有意义， ，， ，函数的定义域为； 【小问2详解】 ，函数，， 即， 则有，解得， 即方程的解集为． 17. 已知函数. （1）若，且，，求的最小值； （2）若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，结合基本不等式即可求得；（2）分析一元二次方程根的分布情况，结合二次函数的对称轴与判别式公式即可求解；（3）将一元二次不等式进行因式分解后，对参数进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即； 所以，当且仅当时取等号； 所以的最小值是； 【小问2详解】 当时，，对称轴为； 因为有两个大于1的不等实根， 所以，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，因为， 即，即. 当时，原不等式可化为，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期以及单调递增区间； （2）设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先化简解析式，运用周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，即函数与函数的图像有两个交点，结合图像求解即可. 【小问1详解】 所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根，所以函数与函数的图像有两个交点.结合图像，得，解得. 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期计算公式求出，将点代入计算即可求解； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 小问1详解】 由，得，则， 又图象过点，则， 得，，又， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，， 故， 而恒成立， 即， 整理可得. 令， 设，，且， 则， 由于，则，所以， 即在区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知， 由得， 故或， 解得或， 故的零点为或， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间分别恰有个零点， 所以在区间上恰有29个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有30个零点， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷（问卷） 考试时长120分钟，满分分值150分 命题教师：彭文霞，审核教师：张瑞 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程的根所在区间是（ ） A. B. C. D. 2. 若幂函数在上单调递减，则实数（ ）. A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若角，满足，，且，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（ ） A 12 B. 10 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，或，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C D. 不等式的解集是，或 10. 为了得到函数的图象，只需（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度 B. 将函数的图象向左平移个单位长度 C. 将函数的图象向左平移个单位长度 D. 将函数的图象向右平移个单位长度 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）. A. 函数为增函数 B. ，， C. 若在上恒成立，则的最小值为 D. 若关于的方程有三个不同的实根，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 _______. 13. 函数在时函数取得最大值，则______． 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 已知函数（为常数）过点． （1）求实数的值及函数的定义域； （2）解关于的方程． 17. 已知函数. （1）若，且，，求的最小值； （2）若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. （3）若，解关于x的不等式. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期以及单调递增区间； （2）设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）当时，关于方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 19. 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $