专题5.5 导数在研究函数中的应用（9类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题5.6 导数在研究函数中的应用 【知识梳理】 1 【考点1：利用导数研究函数的零点】 2 【考点2：利用导数研究方程的根】 4 【考点3：利用导数研究函数图象及性质】 5 【考点4：利用导数求解或证明不等式】 7 【考点5：利用导数研究不等式恒成立问题】 9 【考点6： 利用导数研究不等式能成立问题】 11 【考点7： 利用导数研究双变量问题】 13 【考点8：导数新定义】 15 【考点9：利用导数解决实际应用问题】 17 【知识梳理】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 3．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 4．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 5．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 6．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【考点1：利用导数研究函数的零点】 1．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）设函数．判断并说明函数的零点个数； 3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，讨论函数的零点个数. 4．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 【考点2：利用导数研究方程的根】 1．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 5．（2026·贵州毕节·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【考点3：利用导数研究函数图象及性质】 1．（天津市河东区2026届高三上学期期末数学试题）函数的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（   ） A．B．C． D． 4．（24-25高二下·青海西宁·月考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25高二下·山西晋中·月考）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【考点4：利用导数求解或证明不等式】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若，为自然对数的底数，证明：． 2（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 3．（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 4．（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 5．（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【考点5：利用导数研究不等式恒成立问题】 1．（25-26高三上·北京西城·月考）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知.当，求实数的取值范围 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【考点6： 利用导数研究不等式能成立问题】 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 5．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【考点7： 利用导数研究双变量问题】 1．（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 2．（2026高二上·重庆·专题练习）已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数.若存在，，使得.证明：. 5．（25-26高三上·山西·月考）已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【考点8：导数新定义】 1．（24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）为的导数，若函数在区间上存在，满足，则称为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”．则下列结论中正确的有（    ） A．函数在任意区间上都不可能是“对视函数” B．函数是上的“对视函数” C．函数是上的“对视函数” D．若函数为上的“对视函数”，则在上单调 3．（24-25高二下·湖北十堰·月考）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 4．（2025·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 5．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 【考点9：利用导数解决实际应用问题】 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·月考）在四面体中，，则该四面体体积的最大值是 ． 3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 5．（25-26高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 导数在研究函数中的应用 【知识梳理】 1 【考点1：利用导数研究函数的零点】 2 【考点2：利用导数研究方程的根】 7 【考点3：利用导数研究函数图象及性质】 12 【考点4：利用导数求解或证明不等式】 16 【考点5：利用导数研究不等式恒成立问题】 21 【考点6： 利用导数研究不等式能成立问题】 24 【考点7： 利用导数研究双变量问题】 28 【考点8：导数新定义】 33 【考点9：利用导数解决实际应用问题】 38 【知识梳理】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 3．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 4．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 5．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 6．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【考点1：利用导数研究函数的零点】 1．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数分别讨论和时函数的单调性，求出最值，画出函数图象，根据函数的零点个数与和图象交点个数的关系，确定的取值范围. 【详解】当时，，则， 令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则， 令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为： 2．（2026高三·全国·专题练习）设函数．判断并说明函数的零点个数； 【答案】一个零点，说明见解析 【分析】由题意求出函数的导数，可得函数的单调性，再根据零点存在定理即得结论； 【详解】函数有1个零点，理由如下： 因为， 所以，所以在上单调递增． 又，而， 所以存在唯一实数，使得， 所以在有且只有一个零点． 3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，讨论函数的零点个数. 【答案】答案见解析 【分析】将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由，得, 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以， 据此可画出大致图象如图， 所以①当或时，无零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有两个零点. 4．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】有两个零点，证明见解析 【分析】先判断是的一个零点，利用分类讨论法，对进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来确定正确答案. 【详解】解法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，单调递减． 时，，单调递增．   当时，，． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增，所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和．      解法二：当时，，故2是的一个零点， 令，又，所以． 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以．     下证． 令，则．   当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而，所以当时，， 所以， 即 令，则有，则．       易得当时，， 所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间； (2) 【分析】（1）求出函数导数，再解不等式即得单调区间. （2）由函数零点的意义分离参数，构造函数，再利用导数求出最小值即可得解. 【详解】（1）当时，函数定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由，得， 令，求导得， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，函数在上有唯一零点， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 作出函数的大致图象如下： 函数有两个不同的零点， 当且仅当直线与函数的图象有两个交点，此时， 所以的取值范围是. 【考点2：利用导数研究方程的根】 1．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 2．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 【答案】A 【分析】通过变量替换将第二个方程变形为与第一个方程相同的形式，利用函数单调性得到，从而求解出的值. 【详解】由题意可得，满足方程， 满足方程， 令，则， 将代入可得： ，进一步化简可得：， 观察与，发现两个方程形式相同， 设，对函数求导可得：， 在时，，所以在时单调递增，即方程有唯一解， 所以，，即，所以. 故选：A. 3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义建立等式求解即可； （2）求导，根据导函数得函数的单调性和极值，结合题意求解即可. 【详解】（1）由题知 所以. 由题意可知， 解得或(舍去)，所以； （2）由(1)知 ， 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 即函数的极大值 ，函数的极小值 .      由于当时，，当 时， ，当时，， 可知当有三个实数根时，. 5．（2026·贵州毕节·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程. （2）利用导数求得函数当时，，时，，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. 又，， 所以在点处的切线方程为：. （2）因为函数定义域为，， 因为时，，所以在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以，当时，有极小值，且. 且当时，， 时，， 所以若关于的方程有两个不相等的实数解，. 【考点3：利用导数研究函数图象及性质】 1．（天津市河东区2026届高三上学期期末数学试题）函数的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】令，先研究的单调性与函数值的情况，再结合复合函数单调性求得的单调性与函数值的情况，进而结合选项即可得答案. 【详解】令，则, 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 所以， 又因为，所以的定义域为 所以，根据复合函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，且 根据以上性质，只有C选项满足. 故选：C 2．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数值的特征排除A，利用导数说明函数的单调性，即可排除B、D. 【详解】因为，所以当时，当时，，故排除A， 又， 令，则， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当时，即，则单调递增， 当时，即，则单调递增， 且在上有解，即在上有解， 所以在上存在单调递减区间，故排除B、D. 故选：C 3．（2025·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 4．（24-25高二下·青海西宁·月考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数是奇函数判断A，根据特殊值判断D，根据函数单调性判断B，C. 【详解】为奇函数，排除选项A； 排除选项D； 当时，必有0，所以排除选项B，C正确. 故选：C. 5．（24-25高二下·山西晋中·月考）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据设，分析的取值，结合函数图象可确定答案. 【详解】设， A.当，，时，， 函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确； B.∵时，，时，，∴. 由图象得，为开口向上的二次函数，即， 由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误； C.由图象可得为奇函数，且，故， ∴， 当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确； D.∵时，，∴， 由，得，， 由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故. 由得，，由得，或， ∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确. 故选：B. 【考点4：利用导数求解或证明不等式】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若，为自然对数的底数，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】参变分离，构造函数，利用导数研究单调性与最值即可得证. 【详解】因，要证， 只需证，即， 令， 因此只需证即可． ， 再令，则， 因，所以，得， 所以在上单调递增，且． 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即． 所以在有唯一零点，且当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以对，都有成立． 所以，成立． 2（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 3．（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，求出极小值； （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 4．（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对参数范围进行讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用导数求出单调区间，进而得到最值证明不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2）由题意得， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 5．（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可求出切线方程； （2）对的取值分类讨论，根据的单调性可求得，分析法证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性可证. 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 【考点5：利用导数研究不等式恒成立问题】 1．（25-26高三上·北京西城·月考）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知.当，求实数的取值范围 【答案】 【分析】易知；将变形为在上恒成立，利用导数求出即可. 【详解】易知； 当时，， 令， 则， 当时，在递减； 时，在递增， 所以，得， 即实数的取值范围为. 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值； （2）对于分类讨论，构造函数结合导数判断函数单调性，求得参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. （2）由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 【考点6： 利用导数研究不等式能成立问题】 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 2．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可知不等式在时有解，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据在有解可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得有解，即在时有解. 令，则    若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意；     若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得.               综上，的取值范围为. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 5．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是极值点的条件，求导得，解得，再验证其为极小值点即可； （2）通过研究命题的否定，先得是恒成立的必要条件，再构造函数证明时恒成立，从而得原命题中a的范围是 【详解】（1）因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； （2）原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 【考点7： 利用导数研究双变量问题】 1．（2026·河北·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可. 【详解】由，得，即. 取函数，，则. 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 记，，则. 令，则，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 2．（2026高二上·重庆·专题练习）已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数结合条件可设，，进而可得，再利用导函数求ab的取值范围即可. 【详解】由，得， 令，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 不妨令，，而， 则，即有，，因此， 令函数，求导得， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减， 因此，即，即，则， 由恒成立，得，所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】把两个零点代入函数解析式，分别相减、相加表示出来建立等式，构造函数以及结合基本不等式，得到关于的不等式，利用单调性证得结论. 【详解】设， 代入得， 两式相减并整理得：， 又由两式相加得并整理得：， 则，. 设，则，单调递增， 则当时，，即， 代入即，则， 则, 则， 则， 设，则单调递增，且， 则. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数.若存在，，使得.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，利用对数平均值不等式可得，得，得证. 【详解】由函数，可得，， 设，由，可得，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故， 由，得，即， ，即，整理得， ， 故，得证! 5．（25-26高三上·山西·月考）已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）（i）令，求导，作出函数图象，结合题意计算可解；（ii）由可得，要证，即证，令，求导，根据导数计算即可得证. 【详解】（1）若，则， 求导， 令，则，解得，负值舍去， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即函数单调递增区间，单调递减区间； （2）（i）若，则， 令， ， 令，则， 当时，，所以在区间上单调递增， 又，所以在区间有唯一零点， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，，当时，， 当时，函数有最小值，即， 作出函数的大致图象如下：    由题意可知有两个不同的零点， 则函数与函数有两个不同的交点，即， 所以的取值范围是； （ii）由（i）可知，， 由可得， 要证，即证，即， 因为函数在区间上单调递减，即证， 因为，所以证即可， 设， 则， 当时，恒成立，当且仅当时等号成立， 所以函数在区间单调递减， 所以，即成立， 所以，即成立. 【考点8：导数新定义】 1．（24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 2．（多选）（2025高二·全国·专题练习）为的导数，若函数在区间上存在，满足，则称为区间上的“对视数”，函数为区间上的“对视函数”．则下列结论中正确的有（    ） A．函数在任意区间上都不可能是“对视函数” B．函数是上的“对视函数” C．函数是上的“对视函数” D．若函数为上的“对视函数”，则在上单调 【答案】AC 【分析】利用二阶导数判断导数的单调性，结合对视函数定义可判断A；通过判断在给定区间内解得个数可判断BC；举反例，可判断D. 【详解】对于A，，设，则， 设，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以恒成立， 所以，即在上单调递增， 所以不存在，使得， 即函数在任意区间上都不可能是“对视函数”，A正确． 对于B，，， 令，，得，只有一个根， 所以函数不是上的“对视函数”，B错误． 对于C，，， 令，解得，，而， 所以函数是上的“对视函数”，C正确． 对于D，可举反例：，，由，得， 故，但在区间上不单调，故D错误． 故选：AC． 3．（24-25高二下·湖北十堰·月考）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 【答案】 【分析】利用“新驻点”的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 令，即，得， 因为，解得， 所以，函数在上的“新驻点”为． 故答案为：． 4．（2025·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)具有性质，的取值集合 【分析】（1）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件；         （2）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件. 【详解】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立          化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误， 因此函数不具有性质. （2）假设具有性质， 即 对一切恒成立， 即 对一切恒成立，则对一切恒成立，      由，所以当时，具有性质， 所以具有性质，的取值集合. 5．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记函数的导函数为，函数的导函数为，若，则称点为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有且仅有三个广义反曲点，证明函数的三个广义反曲点共线，并求出直线方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线方程为 【分析】（1）求导，根据广义反曲点的概念解方程即可. （2）问题转化为方程有3个不同的根解决.根据三次方程根的个数，用表示即可. 【详解】（1） 记，则，所以. 又，所以的广义反曲点是. （2）函数，则， 记，则. 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，，，则，，是的全部零点. 证明的三个广义反曲点共线等价于证明，使得，. 即证，使得，，是方程的根， 即方程有且仅有三个不相同的根，，. 由， 所以， 即，由，解得， 代入成立，所以满足条件. 即的三个广义反曲点共直线. 【考点9：利用导数解决实际应用问题】 1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定给定条件，确定正四棱柱体积最大时情况，再借助轴截面且正四棱柱底面边长表示其高，列出体积关系，进而求出最大值. 【详解】依题意，正四棱柱体积最大时，其上底面正方形外接圆是平行于圆锥底面的截面圆， 因此正四棱柱的下底面中心是圆锥的下底面圆心，作出过正四棱柱下底面对角线的圆锥的轴截面， 该轴截面截正四棱柱得其对角面，如图，设正四棱柱的底面边长为，则，    由，得，而，则，， 因此该正四棱柱体积，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，，所以正四棱柱体积最大值为. 故选：A 2．（25-26高三上·安徽·月考）在四面体中，，则该四面体体积的最大值是 ． 【答案】 【分析】将四面体放置在长方体中，设，结合长方体性质可得，结合换元法以及割补法即可表示出四面体体积的表达式，利用导数求解最值，即可得答案. 【详解】将四面体如图放置在长方体中，设， 显然， 则，从而 可得，设，则，且， 则， 记，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取最大值， 故的最大值为． 故答案为： 3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【分析】（1）设扇形半径为，根据扇形的面积公式可得，即可得结果； （2）根据（1）可得，构造，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 5．（25-26高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 （2）建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 学科网（北京）股份有限公司 $