专题4.8 数列求和的方法总结（7类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦数列求和方法这一核心知识点，系统梳理公式法（等差、等比数列求和公式）、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和法及其他技巧，通过知识梳理明确方法定义与关键技巧，再以七个考点的分层例题衔接，构建从基础原理到综合应用的完整学习支架。 资料亮点在于方法技巧精准提炼与典型例题设计，如错位相减法强调公比分类讨论，裂项相消法总结裂项原则与消项规律，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。例题选自各地月考真题，覆盖不同难度，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，弥补知识盲点，提升应用意识。

专题4.8 数列求和的方法总结 【知识梳理】 1 【考点1：利用等差数列的前n项和公式求和】 2 【考点2：利用等比数列的前n项和公式求和】 2 【考点3：倒序相加法求和】 4 【考点4：错位相减法求和】 6 【考点5：裂项相消法求和】 6 【考点6：分组（并项）法求和】 9 【考点7：数列求和的其他方法】 11 【知识梳理】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 5．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 【考点1：利用等差数列的前n项和公式求和】 1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（   ） A． B．11 C． D．13 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知某等差数列共7项，若该数列后4项和比前4项和大24，且前3项和为9，则该数列所有项的和为 . 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（25-26高二上·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）设是等差数列，，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【考点2：利用等比数列的前n项和公式求和】 1．（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 4．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 5．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【考点3：倒序相加法求和】 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和 . 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 5．（25-26高二上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 【考点4：错位相减法求和】 1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 3．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【考点5：裂项相消法求和】 1．（25-26高三上·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·浙江绍兴·专题练习）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知等差数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)设，求数列的前n项和． 4．（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知与为公差相同的等差数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【考点6：分组（并项）法求和】 1．（25-26高三上·江西萍乡·期中）在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（   ） A．25 B．24 C．27 D．26 2．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 4．（25-26高二上·山东济南·月考）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中， (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【考点7：数列求和的其他方法】 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 3．（24-25高二下·浙江杭州·月考）记数列的前项和为，若，， (1)求的所有可能取值； (2)若，求的所有可能取值 4．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 5．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.8 数列求和的方法总结 【知识梳理】 1 【考点1：利用等差数列的前n项和公式求和】 2 【考点2：利用等比数列的前n项和公式求和】 2 【考点3：倒序相加法求和】 5 【考点4：错位相减法求和】 8 【考点5：裂项相消法求和】 11 【考点6：分组（并项）法求和】 16 【考点7：数列求和的其他方法】 20 【知识梳理】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 2．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 5．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 【考点1：利用等差数列的前n项和公式求和】 1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（   ） A． B．11 C． D．13 【答案】B 【分析】根据等差数列通项与前n项和的基本量运算求得，再解不等式即得. 【详解】由可得， 解得，则， 由可得，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知某等差数列共7项，若该数列后4项和比前4项和大24，且前3项和为9，则该数列所有项的和为 . 【答案】 【分析】结合等差数列的通项和前项和的基本量运算，列式计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 又因为，所以， 所以. 故答案为：49. 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得，所以前n项和. 4．（25-26高二上·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的的值构成的集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再解一元二次不等式，结合为正整数，即可得解. 【详解】（1）由可知，，， 联立两式，解得，故， 因此数列的通项公式为； （2）因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）设是等差数列，，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先可以根据，，成等比数列以及列出算式并通过计算得出公差，然后根据等差数列的通项公式即可得出结果； （2）本题可结合（1）中结论以及等差数列的前项和公式，由数列的函数性质即可得出结果. 【详解】（1）因为，且，，成等比数列， 所以， 解得， 所以. 即的通项公式为； （2）因为，， 所以， 可知当或时，最小， 最小值为. 【考点2：利用等比数列的前n项和公式求和】 1．（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 2．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解. 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 4．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 5．（25-26高二上·重庆江北·月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 【考点3：倒序相加法求和】 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A 2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】A 【分析】由倒序相加法求和即可； 【详解】， 所以， 两式相加可得：， 所以， 故选：A 3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和 . 【答案】 【分析】利用倒序相加法求和即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以，则. 故答案为： 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【答案】 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 5．（25-26高二上·山东临沂·月考）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 【答案】1012 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 本题运用了类比的方法，类比高斯算法中首尾相加和相等的思路，先求出的值，再利用等比数列的性质找到其他和为1的组合.对于类似的数列求和问题，当数列具有一定的规律（如等比数列的性质）时，可以尝试通过分组的方式，将和相等的项组合在一起，简化求和过程.在计算时，运用了分式的通分运算，这是处理分式相加问题的常用方法.在解决涉及函数与数列结合的问题时，要善于根据函数的表达式和数列的性质进行运算和推理. 【考点4：错位相减法求和】 1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推式结合已知条件求出公比，再利用求出，从而求出的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，列出和，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式求． 【详解】（1）因为数列为正项数列，所以，故， 又， 所以，故是公比为的等比数列， 又因为，， 所以，解得， 所以． （2），①， ②， 式①减去②得， ． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 3．（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，，得到，结合错位相减法求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：由数列是首项为1，公比为3的等比数列，可得， 因为数列是等差数列，设其公差为，首项为， 又因为，可得，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由数列的通项公式为， 又由，所以， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 5．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列的前项和为，且，数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可得数列是等比数列，即可求得，由得数列是等差数列，即可求得. （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 则，而当时，，所以， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则； 数列中，，，则数列是等差数列， 而，所以公差，则， 所以数列的通项公式分别是：，. （2）由（1）可得， 则， 则有， 两式相减得：， 从而得， 所以数列的前项和. 【考点5：裂项相消法求和】 1．（25-26高三上·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 2．（2025高二上·浙江绍兴·专题练习）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求和，可得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，再解不等式可得的取值范围，可得的最小值. 【详解】（1）设数列首项为，公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以. 又， 所以. 所以. （2）因为， 所以， 由. 所以的最小值为1013. 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知等差数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列前n项和列出方程组求出首项及公差即可求解. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合裂项相消法及等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，得， 解得，所以数列的通项公式为， 前n项和. （2）由（1）得， 所以 . 4．（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知与为公差相同的等差数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）设，对进行赋值，利用两数列公差相同求得，即得两数列的首项和公差，进而写出通项公式； （2）先求出，再运用裂项相消法求出，即可求解. 【详解】（1）设，则，，， 由题意可得，解得， 则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2， 故，. （2）由（1）得，， 故， 则， 故. 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 【考点6：分组（并项）法求和】 1．（25-26高三上·江西萍乡·期中）在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（   ） A．25 B．24 C．27 D．26 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求得，进而求得及，最后对分奇偶数分类求和即可. 【详解】设的公比为，由， 得， 则，令，因此， 记， 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，因此的最小值为27. 故选：C 2．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 3．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析，或 (2) 【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式； （2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）令，则， 由得，解得或， 因为，则， 两式相减得， 化简得， 因式分解得， 由已知，故. 所以是公差为3的等差数列. 当时，数列的通项公式为， 当时，数列的通项公式为. （2）满足条件的数列有两个： 数列1：，即1，4，7，10，13，… 数列2：，即2，5，8，11，14，… 将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，… 所以数列是所有不能被3整除的正整数数列， 所以数列的通项公式为 当为偶数时，设，则 ，将代入得， 当为奇数时，设，，则 ， 将代入得， 因此. 4．（25-26高二上·山东济南·月考）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可，结合等比数列的通项公式即可得数列的通项公式； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式分组求和即可得数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为，， ，， 所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列. 所以，， 所以，. （2）由（1）可得， 所以 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列中， (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【详解】（1）由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. （2）依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 【考点7：数列求和的其他方法】 1．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)94 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，所以，， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； . 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【详解】（1）设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. （2）由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 3．（24-25高二下·浙江杭州·月考）记数列的前项和为，若，， (1)求的所有可能取值； (2)若，求的所有可能取值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干定义即可求得结果. （2）对题干中条件两边同时平方得到递推公式，再累加即可求出结果. 【详解】（1）由题意，，得， 或，得， 或或，得 （2）由题意，对两边平方得到， 则 ， 解得， 由，可知 4．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】(1) (2)681 【分析】（1）利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得； （2）先分析的整数部分， 再分区间求和可得. 【详解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 5．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $