精品解析：安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末检测八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末监测 八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 中国的人工智能实力居于全球第一梯队，拥有完善的产业体系、强大的科研能力．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 中国新一代高机动雷达是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，处的雷达探测器测得在，，，，处均有目标出现．屏幕显示可知在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（ ） A. 在探测器的北偏西，3海里处 B. 在探测器的南偏东，2海里处 C. 在探测器的南偏西，3海里处 D. 在探测器的正东方向，1海里处 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的定义，熟练掌握方位角的表示方法并结合图形准确判断角度和距离是解题的关键．先根据方位角的定义，结合图中各点的角度和距离标注，逐一验证每个选项的描述是否与图中信息一致，从而排除错误选项，确定正确答案． 【详解】解：∵在探测器的北偏西，距离为海里， ∴选项的描述与图中信息一致； ∵在探测器的南偏东，距离为海里， ∴选项的描述与图中信息不符； ∵在探测器的南偏西，距离为海里， ∴选项的描述与图中信息不符； ∵在探测器的北偏西，距离为海里， ∴选项的描述与图中信息不符； 故选：． 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 任意画一个圆，它是轴对称图形 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，不可能事件是指一定不会发生的事件．根据各选项的事件性质判断即可． 【详解】解：A．投掷硬币正面向上是随机事件，故A不符合题意； B．圆是轴对称图形是必然事件，故B不符合题意； C．射击命中靶心是随机事件，故C不符合题意； D．从只有红球的袋子中摸出黄球是不可能事件，故D符合题意． 故选：D． 4. 对于一次函数，下列判断错误的是（ ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象在轴上截距为 C. 该函数的图象与轴交于点 D. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 【详解】解：对于函数，∵，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； 当时，，∴y轴上截距为，B正确； 当时，，解得，∴与x轴交点为，不是，C错误； ∵，∴x每增加1，y减小2，D正确． 故选：C． 5. 人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中，，点D在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义，利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义分析各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴是等腰三角形， 当时，是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故A项不符合题意； B、当平分时，是等腰顶角的平分线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故B项不符合题意； C、∵， 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等， ∴是必然成立的， 仅由，不能直接得出，故C项符合题意； D、∵， 又∵， ∴， 即，故D项不符合题意， 故选：C． 6. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小 ∴ ∴当时， 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 9. 某校组织八年级同学进行研学活动，他们沿同样的路线从学校出发步行前往植物园，甲班比乙班先出发5分钟．如图，线段和折线段分别表示两个班离开学校的路程和甲班步行的时间的函数关系，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 线段表示乙班的图象 B. 甲班步行的平均速度是70米/分钟 C. 乙班步行的平均速度是72米/分钟 D. 甲乙第一次相遇时，甲离学校的路程是1440米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．根据甲班比乙班先出发5分钟，图象中轴表示的是甲班步行的时间可得线段表示甲班的图象，则选项A错误；根据甲班步行3600米花了50分钟即可得甲班步行的平均速度，则选项B错误；分别求出两段的速度，再除以2求出平均速度，则选项C错误；利用待定系数法分别求出段的函数解析式，联立求解即可得选项D正确． 【详解】解：∵甲班比乙班先出发5分钟，图象中轴表示的是甲班步行的时间， ∴线段表示甲班的图象，则选项A错误； 甲班步行的平均速度是（米/分钟），则选项B错误； 乙班步行的平均速度是（米/分钟），则选项C错误； 设线段所在直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴线段所在直线的解析式为， 设线段所在直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴线段所在直线的解析式为， 联立，解得， ∴甲乙第一次相遇时，交点的坐标为， ∴甲乙第一次相遇时，甲离学校的路程是1440米，则选项D正确； 故选：D． 10. 如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的两动点，是的中点，连接，，，若．下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，轴对称的性质，含30度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由三线合一得到，，推出，得到，，然后利用垂线段最短两点之间线段最短求解即可. 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当C、M、N共线时且时，取最小值， 在中，，， ∴； ∴的最小值是，故选项A正确； 当M运动到A点，N运动到B点时， 即也远大于m，因此的最大值不是m，故选项D错误； ∵， 故， ∵O是定点，M是动点， ∴当C、M、O共线时，取得最小值，即； 因此的最小值为n，故选项B正确； ∵是等腰的高，O是的中点， ∵，故， 当M运动到A点时，， 因此的最大值是，故选项C正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围．熟练掌握分式的分母不为0，是解题的关键．根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 13. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的解，方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：将方程组 变形得：， 因此方程组的解就是函数与图象的交点坐标， 由图象可知，两直线交于点， 故方程组的解为：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，． （1）_____； （2）若，，则的长为_____． 【答案】 ①. 60 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质． （1）证明为等边三角形，可证得，根据全等三角形的性质可得到，即可得到结论； （2）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）通过平移，使移动到原点的位置，并记为，画出平移后的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移变换和轴对称变换作图，根据网格结构作出对应点的位置解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】（1） 4或6 （2） 12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，结合为偶数即可得到答案； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为，其中， ∴， 即， ∴当为偶数时，或6； 【小问2详解】 解：当为等腰三角形时， ∵， ∴或， 当时，三角形的三边为2，2，5， 由于，此时不能构成三角形，故此种情况须舍去； 当时，三角形的三边为5，5，2，满足三角形的三边关系， 此时的周长． 18. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的中点，连接，求的周长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）9 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再证明为等边三角形，得出，求出，根据三角形的周长公式和等量代换即可求出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， ， 为的中点， ，又， ， ，又， ， 为等边三角形， ， ，为的中点， ， 的周长为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 蚌埠作为淮河文化发祥地，拥有众多名胜古迹，其中双墩遗址、禹会村遗址、涂山禹王宫和垓下古战场是四个最具代表性的古迹．周末，甲、乙两名同学决定通过抽签的方式从这4个古迹中随机抽取一个前往游览． （1）请直接写出甲同学选择游览双墩遗址的概率； （2）请用列表或画树状图法求甲和乙两名同学恰好抽到同一个古迹游览的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学选择游览双墩遗址的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名同学恰好抽到同一个古迹游览的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学选择游览双墩遗址的结果有1种， 甲同学选择游览双墩遗址的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设双墩遗址、禹会村遗址、涂山禹王宫、垓下古战场4个古迹分别为，，，，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果， 其中恰好抽到同一个古迹游览的结果有，，，，4种可能， 他们恰好抽到同一个古迹游览概率是． 20. 如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ． （2） 证明：， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】发声物体的振动实验探究 【项目准备】测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺、支架、轻质小球、音叉等． 【项目分析】 声音是由物体的振动产生的，音叉振动是声音的直接来源，当音叉靠近轻质小球时，轻质小球的弹开作为间接证据，可验证振动与声音的关系．如图1，在支架横杆上的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小珠同学用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点作于点；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面上），过点作于点． 由图2可得：①_____（填“”“”或“”）；经测量，得知点到点的距离是，细绳的长是，显然，这里的长为②_____． 【数学迁移】 实验后，小珠同学受图2启发绘制了图3，并提出了以下问题：在中，是的中点，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则如何求的长？ 小珠给出了求解分析：如图4，延长至，使得，连接，，，可证明，这里全等的依据是③_____，得出，，由，垂直平分，易得是④_____三角形，由，得出，⑤_____，进而，得⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完成 ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①=；②6；③；④等腰直角；⑤7；⑥1 【解析】 【分析】本题主要考查了同角的余角，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是相关性质和定理的熟练掌握． 由，可得，可得； 由，可得，再有，则可得，则； 由是的中点可得，又有，，则的依据是； 由垂直平分，，可得，，，从而可得是等腰直角三角形； 由一线三垂直可证明，则，； 由，，则，则，则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 延长至，使得，连接，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①=；②6；③；④等腰直角；⑤7；⑥1． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：作于， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）_____，不等式的解集为_____； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． （3）在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1）1； （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【小问1详解】 解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； 【小问2详解】 解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； 【小问3详解】 解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末监测 八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 中国的人工智能实力居于全球第一梯队，拥有完善的产业体系、强大的科研能力．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国新一代高机动雷达是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，处的雷达探测器测得在，，，，处均有目标出现．屏幕显示可知在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（ ） A. 在探测器的北偏西，3海里处 B. 在探测器的南偏东，2海里处 C. 在探测器的南偏西，3海里处 D. 在探测器的正东方向，1海里处 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 任意画一个圆，它是轴对称图形 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 4. 对于一次函数，下列判断错误的是（ ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象在轴上截距为 C. 该函数的图象与轴交于点 D. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 5. 人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中，，点D在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 某校组织八年级同学进行研学活动，他们沿同样的路线从学校出发步行前往植物园，甲班比乙班先出发5分钟．如图，线段和折线段分别表示两个班离开学校的路程和甲班步行的时间的函数关系，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 线段表示乙班的图象 B. 甲班步行的平均速度是70米/分钟 C. 乙班步行的平均速度是72米/分钟 D. 甲乙第一次相遇时，甲离学校的路程是1440米 10. 如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的两动点，是的中点，连接，，，若．下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为_____． 13. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解为_____． 14. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点，． （1）_____； （2）若，，则的长为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）通过平移，使移动到原点的位置，并记为，画出平移后的． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 18. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的中点，连接，求的周长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 蚌埠作为淮河文化发祥地，拥有众多名胜古迹，其中双墩遗址、禹会村遗址、涂山禹王宫和垓下古战场是四个最具代表性的古迹．周末，甲、乙两名同学决定通过抽签的方式从这4个古迹中随机抽取一个前往游览． （1）请直接写出甲同学选择游览双墩遗址的概率； （2）请用列表或画树状图法求甲和乙两名同学恰好抽到同一个古迹游览的概率． 20. 如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】发声物体的振动实验探究 【项目准备】测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺、支架、轻质小球、音叉等． 【项目分析】 声音是由物体的振动产生的，音叉振动是声音的直接来源，当音叉靠近轻质小球时，轻质小球的弹开作为间接证据，可验证振动与声音的关系．如图1，在支架横杆上的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小珠同学用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点作于点；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面上），过点作于点． 由图2可得：①_____（填“”“”或“”）；经测量，得知点到点的距离是，细绳的长是，显然，这里的长为②_____． 【数学迁移】 实验后，小珠同学受图2启发绘制了图3，并提出了以下问题：在中，是的中点，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则如何求的长？ 小珠给出了求解分析：如图4，延长至，使得，连接，，，可证明，这里全等的依据是③_____，得出，，由，垂直平分，易得是④_____三角形，由，得出，⑤_____，进而，得⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完成 ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）_____，不等式的解集为_____； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． （3）在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $