精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊宁市2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，且，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系 中，已知点，动点 满足，则动点 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆 4. 若直线与平行，则实数 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 5. 入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与椭圆交于 ， 两点， 是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中， 为棱上的一个动点， 为棱上的一个动点，则平面与底面 所成角的余弦值的最大值是（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，满足，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 10. 已知动点满足，则（ ） A. x的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为1 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线 的斜率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 13. 已知点 是圆上的一动点，点，点 是线段 的中点，则动点 的轨迹方程是___________ 14. 已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 16. 已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求 的标准方程； （2）设 为 上异于顶点 ， 的动点，证明直线 与 的斜率之积为定值，并求该定值. 17. 如图，在三棱锥中，平面 ， ，分别是棱 ， ， 的中点，，． （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求点 到平面 的距离． 18. 已知数列的前 项和为． （1）证明：是等比数列． （2）求数列的前 项和． （3）若，求 的取值范围． 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的 点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在 点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆 的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为 ，过点作 的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线 交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，且，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】代入求值即可. 【详解】由题意可知，，. 故选：C 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 3. 在平面直角坐标系 中，已知点，动点 满足，则动点 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据以及双曲线的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 因为， 所以动点 的轨迹是以、为焦点的双曲线. 故选：C 4. 若直线与平行，则实数 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B 5. 入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点 的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 6. 已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，然后用裂项相消求和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ， 由已知可得，解得， 由， ，得， 因此，. 故选：A 7. 已知直线与椭圆交于 ， 两点， 是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，进而得到为等边三角形，再结合椭圆定义，边长关系求解即可. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，. 由对称性知，. 因为直线与椭圆 交于 ， 两点，所以， 因为，，所以， 所以为等边三角形，则， 所以，则， 因为，即， 所以. 故选：D 8. 如图，在正方体中， 为棱上的一个动点， 为棱上的一个动点，则平面与底面 所成角的余弦值的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可. 【详解】 设平面与底面 所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为 ， 则，即， 令 ，则，故， 又底面 的一个法向量为 ， 所以，因为， 则， 当 时，， 当 时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时，则A选项正确. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，满足，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知动点满足，则（ ） A. x的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知动点 的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点 的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点 的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点 （即圆上一点）到点的距离. 易知，当点 位于点 与点的连线与圆的交点时， 此时点 到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点 （即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点 且与圆 相切于 轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点 （即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点 到直线距离的最小值为圆心 到直线的距离， 再减半径 ，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线 的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得 ，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线 的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线 的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则 为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算可得. 【详解】由题意可得，， 故. 故答案为： 13. 已知点 是圆上的一动点，点，点 是线段 的中点，则动点 的轨迹方程是___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 14. 已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出集合 和集合 的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可. 【详解】对于集合，是正奇数，又，，最大为 ，此时， , 对于集合，又，，最大为 ，此时， , 设，则，可得，即，必须是 的倍数， 设，则，又，即，解得，最大为 ， , 这是一个首项为 ，公差为 ，项数为 的等差数列， 则集合中所有元素的和为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【解析】 【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB， 在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 16. 已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求 的标准方程； （2）设 为 上异于顶点 ， 的动点，证明直线 与 的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为4. 【解析】 【分析】（1）由焦点在 轴上，设 的方程为，由虚轴长和渐近线方程得到 和 的等式，计算求解； （2）设，写出 和 的坐标，求出和，计算即可得解. 【小问1详解】 依题意可设 的方程为， 则 解得， ， 所以 的标准方程为. 【小问2详解】 证明：设，则，即， 不妨设 为左顶点，则，， 则 ， 所以直线 与 的斜率之积为定值，且该定值为4. 17. 如图，在三棱锥中，平面 ， ，分别是棱 ， ， 的中点，，． （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线 的方向向量及面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线 与平面 所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点 到平面 的距离． 【小问1详解】 依题意：以 为坐标原点，所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱 ， ， 的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面 的法向量为，则有 所以，令 ，有， 设直线 与平面 所成角为 ，则. 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面 的一个法向量为， 所以点 到平面 的距离为：. 18. 已知数列的前 项和为． （1）证明：是等比数列． （2）求数列的前 项和． （3）若，求 的取值范围． 【答案】（1）因， 则 即，从而 是等比数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得 ，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1） 是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； 【小问3详解】 由（2）， ，又，则. ，当 时，易得 ， 当 时， ，. 即，当 时， ，则为递增数列，则. 即. 19. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的 点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在 点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ：，点为其右焦点，椭圆的焦距为4. 若有光束自点射出，经椭圆二次反射后回到点，设两次反射点分别为，其光程为16. （1）求椭圆 的标准方程. （2）点P是椭圆C上的任意一点，椭圆在点P处的切线为 ，过点作 的垂线，垂足为H，试求点H的轨迹方程． （3）若直线OA，OB分别与直线 交于M、N两点，试问，直线BM与直线AN能否交于一定点？若能，求出此定点；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）能，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据题意和椭圆的定义，通过光程求出，再结合，求椭圆方程； （2）设椭圆的左焦点为，延长，交于点，易得在中，点 在以 为圆心，半径为4的圆上，即可求得轨迹方程； （3）假设，得出 ， 的直线方程，进而求出M、N两点坐标，再得出直线 与 直线的方程，联立求解判断是否过定点. 【小问1详解】 由题意知，椭圆焦距，则，因为方程为， 根据椭圆的定义， 所以，解得，即知， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 如图所示： 设椭圆的左焦点为，延长和交于点， 在中，，则，且 为中点， 在中， 所以点 在以 为圆心，半径为4的圆上，所以点 的轨迹方程为． 【小问3详解】 由椭圆的光学性质可知直线 过左焦点,设直线AB方程为,， 联立，得， 由韦达定理得 两式相比可得，所以 由对称性知，若定点存在，则为直线 与直线 交于 轴上的定点， 由，解得，则直线 方程为， 令 ， 则 所以，直线 过定点，同理直线 也过定点. 则点即为所求点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $