专题11 离散型随机变量的数字特征（思维导图+1大知识点+6大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题11 离散型随机变量的数字特征 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：离散型随机变量的数字特征 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：依据定义求解离散型随机变量的均值 5 题型二：离散型随机变量均值的性质探究 5 题型三：离散型随机变量均值的实际应用 6 题型四：离散型随机变量方差的计算求解 9 题型五：离散型随机变量方差性质的应用 10 题型六：离散型随机变量均值与方差的综合应用 10 05 强化训练 13 知识点一：离散型随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 题型一：依据定义求解离散型随机变量的均值 【典例1-1】（25-26高二上·广西北海·期末）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【典例1-2】（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·河南·开学考试）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 题型二：离散型随机变量均值的性质探究 【典例2-1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【变式2-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：离散型随机变量均值的实际应用 【典例3-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； (3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 【典例3-2】（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【变式3-1】（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【变式3-2】（2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 题型四：离散型随机变量方差的计算求解 【典例4-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 【变式4-1】（24-25高二下·河南信阳·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 题型五：离散型随机变量方差性质的应用 【典例5-1】（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【典例5-2】（25-26高二上·河南·月考）已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【变式5-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【变式5-3】设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 题型六：离散型随机变量均值与方差的综合应用 【典例6-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【典例6-2】（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【变式6-1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【变式6-2】（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【变式6-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 1．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2025·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 4．（多选题）（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南·月考）定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望 . 7．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 8．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 9．（25-26高二上·湖南·月考）已知一组数据的方差为18，则数据的方差为 . 10．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某商场为了回馈新老客户，举办消费抽奖活动，其规则如下：现有甲，乙两个抽奖箱，在甲抽奖箱内共放有个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有个红色小球和3个黄色小球，抽奖者先从甲抽奖箱内随机摸出1个小球放入乙抽奖箱内，然后把乙抽奖箱内的小球重新搅拌均匀后，再从乙抽奖箱内随机摸出1个小球，即完成一次抽奖，若抽奖者从乙抽奖箱内摸出的小球为红色，则该抽奖者中奖，当上一个人抽奖结束后，需要将2个抽奖箱内的小球复原并搅拌均匀，下一个人再进行抽奖，每人只能完成一次抽奖.所有小球的外观质地都相同，其中. (1)设. ①若某抽奖者中奖，求该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率； ②若有216人依次抽奖，求这216人抽奖全部结束后中奖人数的数学期望. (2)试问当为何值时，抽奖者的中奖概率最大？并求抽奖者中奖的最大概率. 11．（25-26高二上·河南·月考）某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 12．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望． 14．（25-26高二上·山东日照·月考）2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 15．（25-26高三上·重庆·月考）一种游戏的玩法如下：有4个完全一样的盒子，其中有2个盒子写的是“成功”，2个盒子写的是“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏. (1)求玩家打开3个盒子后获胜的概率； (2)若玩家最多有5次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X的分布列与期望. 16．（24-25高二上·江西上饶·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）学校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的后再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植后再种植的概率为，种植的概率为． (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望． 18．（25-26高三上·河南·期中）一个箱子中装有标号为的个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取个小球. (1)若抽取次，求第次才取到号小球的概率； (2)若抽取次，求号小球至少被抽取次的概率； (3)若一旦抽到号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，记停止取球时已取球的次数为，求的数学期望. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 离散型随机变量的数字特征 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：离散型随机变量的数字特征 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：依据定义求解离散型随机变量的均值 5 题型二：离散型随机变量均值的性质探究 7 题型三：离散型随机变量均值的实际应用 8 题型四：离散型随机变量方差的计算求解 14 题型五：离散型随机变量方差性质的应用 16 题型六：离散型随机变量均值与方差的综合应用 18 05 强化训练 23 知识点一：离散型随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 题型一：依据定义求解离散型随机变量的均值 【典例1-1】（25-26高二上·广西北海·期末）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为， 第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为； 第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为； 因此可得. 故选：C 【典例1-2】（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知的可能取值为1，2，3， 按一次输出数字0，； 按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故； 按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故. 所以， 故选：A. 【变式1-1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 【变式1-2】（25-26高三上·河南·开学考试）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得， ． 故选：C． 题型二：离散型随机变量均值的性质探究 【典例2-1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据分布列可得； ， 故选：A. 【典例2-2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·四川成都·期末）若随机变量X的期望，则（   ） A．3 B．9 C．11 D．27 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【变式2-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 则. 故选：C. 题型三：离散型随机变量均值的实际应用 【典例3-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作经济损失设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立. (1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； (2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； (3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况操作方案编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 如果你是该工厂的老板，你如何决策? 【解析】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则； （2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为， 由题意知，. 离散型随机变量的分布列为： 10 12 14 （3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元， 采用方案①：的取值为：5，7，17，19， ，， ，， 故采用方案①，总经济损失的期望 采用方案②：的取值为：10，12，15，17， ，， ，， 故采用方案②，总经济损失的期望 采用方案③：的取值为：5，10，17，22， ，， ，， 故采用方案③：总经济损失的期望. 综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小 【典例3-2】（25-26高二上·黑龙江·期末）2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【解析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. （2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 【变式3-1】（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【解析】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 【变式3-2】（2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【解析】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【解析】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P， 则分为有空盒和无空盒两种情况，． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80，110． 则，． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意，Y的可能取值为70，100，130， 则， ， ． 所以． 因为，所以小明应该选择方案一 题型四：离散型随机变量方差的计算求解 【典例4-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 【典例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 【答案】C 【解析】由题意知，，， ， ． 故； ， 另也可由， 所以． 故工期延误天数的方差为9.8． 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·河南信阳·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得：得． ． 故选：C． 【变式4-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得． 所以． 故选：D 【变式4-3】（24-25高二下·山东东营·期末）袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】X的可能取值为2，3， ，， 故，. 故选：A 题型五：离散型随机变量方差性质的应用 【典例5-1】（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 【典例5-2】（25-26高二上·河南·月考）已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A． 【变式5-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由，解得， 由，解得. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 【变式5-3】设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解析】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 题型六：离散型随机变量均值与方差的综合应用 【典例6-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【解析】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 【典例6-2】（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【解析】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 【变式6-1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【解析】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 【变式6-2】（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【解析】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 【变式6-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【解析】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 1．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由分布列性质，得，解得，故选项A正确； 由数学期望公式，得，解得，故选项C正确； 因，故选项B错误； 因为，， 所以，故选项D正确． 故选：ACD． 3．（多选题）（2025·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【解析】记事件表示第轮活动得4分，事件表示第轮活动得7分，其中， 所以，，，，. 记事件表示一场活动结束总分为8分，记事件表示一场活动结束总分为11分， 记事件表示一场活动为“成功场次”. 选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 所以，所以，故C正确； 选项D，由于各场活动的结果相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选题）（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误； B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确； C.，，，, 所以，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 5．（多选题）（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 6．（25-26高三上·河南·月考）定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望 . 【答案】/ 【解析】因为三个孩子分得的苹果数分别为，所以，又每个孩子至少分得一个苹果， 个苹果分成份，且每份至少有一个苹果，相当于用个隔板插入个空，故有种分法， 因为各孩子分得的苹果数分别为，，所以的取值有， 因为的情况有共种情况， 所以； 的情况有共种情况， 故； 的情况有共6种情况， 故； 的情况有共3种情况， 故， 综上，. 故答案为： 7．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 【答案】 【解析】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 8．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 9．（25-26高二上·湖南·月考）已知一组数据的方差为18，则数据的方差为 . 【答案】2 【解析】记数据的方差为， 则数据的方差为，所以. 故答案为：2 10．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某商场为了回馈新老客户，举办消费抽奖活动，其规则如下：现有甲，乙两个抽奖箱，在甲抽奖箱内共放有个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有个红色小球和3个黄色小球，抽奖者先从甲抽奖箱内随机摸出1个小球放入乙抽奖箱内，然后把乙抽奖箱内的小球重新搅拌均匀后，再从乙抽奖箱内随机摸出1个小球，即完成一次抽奖，若抽奖者从乙抽奖箱内摸出的小球为红色，则该抽奖者中奖，当上一个人抽奖结束后，需要将2个抽奖箱内的小球复原并搅拌均匀，下一个人再进行抽奖，每人只能完成一次抽奖.所有小球的外观质地都相同，其中. (1)设. ①若某抽奖者中奖，求该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率； ②若有216人依次抽奖，求这216人抽奖全部结束后中奖人数的数学期望. (2)试问当为何值时，抽奖者的中奖概率最大？并求抽奖者中奖的最大概率. 【解析】（1）①当时，，此时甲抽奖箱内共放有5个红色小球和4个黄色小球，乙抽奖箱内共放有2个红色小球和3个黄色小球， 设事件:从甲箱摸出红球，事件：从甲箱摸出黄球，事件:中奖（从乙箱摸出红球）， 则，， 由全概率公式可得，， 由贝叶斯公式可得，, 则某抽奖者中奖，该抽奖者从甲抽奖箱内摸出的小球为红色的概率为. ②设每人中奖概率为，令中奖人数为，则， 根据二项分布的期望公式可得. （2）由， 则，， 由全概率公式可得，中奖概率为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，中奖概率最大，最大概率为. 11．（25-26高二上·河南·月考）某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 【解析】（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”. 则由题可知. 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”， 则， 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率． （2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”. ， ， ， ． 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 P 数学期望． 12．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解析】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望． 【解析】（1）从8张奖券中任取2张，共有种可能； 一位顾客结账时按照6折结算，即至少抽到一张折券，共有种可能. 这13种情况中，抽到的2张奖券的折扣不同的情况共有种. 所以在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率为； （2）由题可知的取值可以是. ，，，. 所以X的分布列为 60 70 80 90 所以X的数学期望． 14．（25-26高二上·山东日照·月考）2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 【解析】（1）设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件， 则， 所以. 故在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为. （2）根据题意可知的取值可能为2，3，4，5. 则， 则的分布列为 2 3 4 5 P 所以. 15．（25-26高三上·重庆·月考）一种游戏的玩法如下：有4个完全一样的盒子，其中有2个盒子写的是“成功”，2个盒子写的是“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏. (1)求玩家打开3个盒子后获胜的概率； (2)若玩家最多有5次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X的分布列与期望. 【解析】（1）记A为玩家打开标记“成功”的盒子，B为玩家打开标记“失败”的盒子， 事件M为玩家打开3个盒子后获胜， 则， 则 （2）由题意，， ，， ， ， 分布列如下： 2 3 4 5 . 16．（24-25高二上·江西上饶·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【解析】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故． 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）学校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植、、三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植后，会有的可能性种植，的可能性种植；在每次种植的后再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植后再种植的概率为，种植的概率为． (1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率； (2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望． 【解析】（1）设事件代表第次种植三种作物的概率， 若第一次种植，第三次种植，则第二次只能种植， 则. （2）第一次种植的前提下，种植作物次数可以是或，即随机变量可能的取值为或； 当时，即第一次种植，第二次种植，第三次再种植， 则； 当时，即第一次种植，第二次种植，第三次再种植或， 或第一次种植，第二次种植，第三次再种植， 则； 可得的分布列为： 0 1 期望. 18．（25-26高三上·河南·期中）一个箱子中装有标号为的个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取个小球. (1)若抽取次，求第次才取到号小球的概率； (2)若抽取次，求号小球至少被抽取次的概率； (3)若一旦抽到号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，记停止取球时已取球的次数为，求的数学期望. 【解析】（1）每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，第次才取到号小球”， 则. （2）每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，号小球至少被抽取次”， ，. （3）由题意知：在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，所有可能的取值为， ；； ；； 的数学期望. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $