专题07 排列组合（思维导图+7大知识点+13大题型）（讲义+精练）-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题07 排列组合 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、排列的概念 4 知识点二：排列数 4 知识点三：阶乘表示式 4 知识点四：排列的常见类型与处理方法 5 知识点五：组合 5 知识点六：组合数及其公式 5 知识点七：组合数的性质 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：排列的概念理解 7 题型二：排列数公式的灵活应用 7 题型三：排列中的相邻问题 8 题型四：排列中的不相邻问题 9 题型五：排列中的定序问题 9 题型六：排列组合之间接法应用 10 题型七：组合的概念辨析 10 题型八：组合数公式的综合应用 11 题型九：排列组合中的多面手问题 12 题型十：排列组合的分组与分配问题 12 题型十一：与几何背景结合的组合应用题 13 题型十二：排列组合之隔板法巧解 13 题型十三：排列组合的分堆问题 13 05 强化训练 15 知识点一、排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点二：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 知识点三：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点四：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 知识点五：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 知识点六：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点七：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 题型一：排列的概念理解 【例1】已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） ①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？ ②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ ③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 【变式1-3】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 题型二：排列数公式的灵活应用 【例2】（1）化简：． （2）设，且，证明：． 【变式2-1】（2025·高二·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【变式2-2】解关于正整数n的方程：． 【变式2-3】求证： (1)； (2)． 题型三：排列中的相邻问题 【例3】（2025·高二·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【变式3-1】（2025·高二·内蒙古包头·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，丙不在排头，且甲和乙相邻的排列情况有（）种 A．18 B．36 C．48 D．60 【变式3-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·辽宁沈阳·期末）马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 题型四：排列中的不相邻问题 【例4】（2025·高二·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【变式4-1】（2025·高二·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【变式4-2】（2025·高二·安徽芜湖·期末）现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·四川·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（ ） A．72 B．60 C．48 D．12 题型五：排列中的定序问题 【例5】（2025·高二·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【变式5-1】（2025·高二·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【变式5-2】（2025·高二·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【变式5-3】（2025·高二·福建·期中）如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型六：排列组合之间接法应用 【例6】（2025·湖南长沙·一模）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【变式6-1】（2025·高二·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个. A．180 B．300 C．360 D．480 【变式6-2】（2025·高二·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【变式6-3】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 题型七：组合的概念辨析 【例7】给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【变式7-1】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2020个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【变式7-2】以下四个问题中，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列 B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地 【变式7-3】下列各事件中，属于组合问题的是（    ） A．从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习 B．从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上 C．某同学从4门课程中选修2门 D．从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员 题型八：组合数公式的综合应用 【例8】（2025·高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【变式8-1】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【变式8-2】证明组合数性质； 【变式8-3】（2025·高二·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 题型九：排列组合中的多面手问题 【例9】（2025·高二·上海浦东新·期末）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【变式9-1】（2025·高二·陕西西安·月考）有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式9-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【变式9-3】（2025·高二·黑龙江·期中）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 题型十：排列组合的分组与分配问题 【例10】（2025·高二·辽宁铁岭·期末）将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 【变式10-1】（2025·高二·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 【变式10-2】（2025·高二·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有 种. 【变式10-3】（2025·高二·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 题型十一：与几何背景结合的组合应用题 【例11】连接圆的内接正六边形的6个顶点，则 （1）在圆内总共可以得到 个交点； （2）可以得到 个三角形． 【变式11-1】（2025·高二·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 【变式11-2】（2025·高二·新疆巴音郭楞·期末）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为 . 【变式11-3】（2025·高二·安徽六安·期中）以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 题型十二：排列组合之隔板法巧解 【例12】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组． 【变式12-1】不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 【变式12-2】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【变式12-3】（2025·高二·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 题型十三：排列组合的分堆问题 【例13】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式13-1】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【变式13-2】（2025·高二·吉林长春·月考）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【变式13-3】（2025·高二·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 1．（25-26高二上·北京·期末）将名学生分到两个班级，每班至少人，不同的方法有（    ）种 A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 3．（25-26高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 4．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 5．（25-26高二上·北京西城·期末）某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京昌平·期末）从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（   ） A．12种 B．20种 C．24种 D．36种 7．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 10．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 11．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 13．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为 . 14．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）已知，则可能取值为 . 15．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有 种．（结果用数字作答） 16．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 17．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 18．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 19．（25-26高二上·北京西城·期末）在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． (1)这名同学的选修课有多少种不同的选法？ (2)若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 20．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 排列组合 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、排列的概念 4 知识点二：排列数 4 知识点三：阶乘表示式 4 知识点四：排列的常见类型与处理方法 5 知识点五：组合 5 知识点六：组合数及其公式 5 知识点七：组合数的性质 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：排列的概念理解 7 题型二：排列数公式的灵活应用 8 题型三：排列中的相邻问题 9 题型四：排列中的不相邻问题 10 题型五：排列中的定序问题 12 题型六：排列组合之间接法应用 13 题型七：组合的概念辨析 15 题型八：组合数公式的综合应用 16 题型九：排列组合中的多面手问题 17 题型十：排列组合的分组与分配问题 19 题型十一：与几何背景结合的组合应用题 20 题型十二：排列组合之隔板法巧解 22 题型十三：排列组合的分堆问题 23 05 强化训练 26 知识点一、排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点二：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 知识点三：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点四：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 知识点五：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 知识点六：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点七：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 题型一：排列的概念理解 【例1】已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①选出的两名同学分别参加数学､物理兴趣小组与顺序有关，所以①是排列问题；②选出两人参加一项活动与顺序无关，所以②不是排列问题；③选出3个字母与顺序无关，所以③不是排列问题；④选出两个数字组成两位数与顺序有关，所以④是排列问题.所以①④是排列问题，共2个. 故选：B 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） ①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？ ②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ ③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【解析】对于①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？跟数的顺序有关，故属于排列问题； 对于②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？跟数的顺序有关，故属于排列问题； 对于③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？跟顺序无关，属于组合问题； 故选：B 【变式1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误. 故选：B. 【变式1-3】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数 A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 【答案】A 【解析】根据排列的概念逐项进行判断即可.排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列， 由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序， 由此可判断出：①④是排列问题， 故选：A. 题型二：排列数公式的灵活应用 【例2】（1）化简：． （2）设，且，证明：． 【解析】（1）原式． （2）因为， 所以，左边， 故原不等式成立． 【变式2-1】（2025·高二·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【解析】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 【变式2-2】解关于正整数n的方程：． 【解析】由排列数的定义，有由此解得． 此外，原方程可化为， 再化简，可得， 即，即．舍去非整数的根， 故． 【变式2-3】求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：. （2）证明：. 题型三：排列中的相邻问题 【例3】（2025·高二·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【解析】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 【变式3-1】（2025·高二·内蒙古包头·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，丙不在排头，且甲和乙相邻的排列情况有（）种 A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【解析】甲和乙相邻可将甲和乙看作一个整体，有种排列方法， 丙不在排头，可在剩下3个位置选一个，有种方法， 丙站好后，其余3个元素有种排列方法，所以总共有种排列方法． 故选：B． 【变式3-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将乙和丙看成一个人与丁，戊，戌排列，有种排法， 再将甲插入这四个人中间的三个空位，有种排列方式， 最后考虑乙和丙的顺序有种方式， 故共有种排列方式. 故选：D. 【变式3-3】（2025·高二·辽宁沈阳·期末）马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 【答案】A 【解析】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏， 5盏灯有6个空格，从6个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种， 故选：A. 题型四：排列中的不相邻问题 【例4】（2025·高二·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【解析】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 【变式4-1】（2025·高二·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．96种 【答案】C 【解析】将5个位置从左到右编号为，则甲只能站中的一个位置， 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 当甲在位置上，则乙、丙可选位置有、、、有种排法，丁、戊有种排法，共有种； 综上，共有种. 故选：C 【变式4-2】（2025·高二·安徽芜湖·期末）现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将名男同学和名女同学站成一排合影， 若名女同学不相邻，先将名男同学排序， 再将名女同学插入名男同学形成的个空位中的个， 所以，不同的排法种数为种. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高二·四川·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（ ） A．72 B．60 C．48 D．12 【答案】A 【解析】分两步进行： 第一步：先安排3个男生，不同的排法有种； 第二步：利用插空法安排2个女生，不同的排法有种； 则女生不相邻的排法数有种. 故选：A. 题型五：排列中的定序问题 【例5】（2025·高二·河南商丘·月考）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（   ） A．144种 B．108种 C．120种 D．360种 【答案】C 【解析】从6个位置中取3个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法； 再排余下3人，有种方法， 所以不同排法种数为. 故选：C 【变式5-1】（2025·高二·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 【变式5-2】（2025·高二·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【解析】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 【变式5-3】（2025·高二·福建·期中）如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】依题意，只需从8枚套娃中任选3枚放上层，有种，因为每层套娃左边都比右边的大， 则上下排法均只有1种，所以不同的摆放方法有种. 故选：A. 题型六：排列组合之间接法应用 【例6】（2025·湖南长沙·一模）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【答案】B 【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种， 故选：B 【变式6-1】（2025·高二·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个. A．180 B．300 C．360 D．480 【答案】B 【解析】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 所以一共有种. 故选：B 【变式6-2】（2025·高二·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【答案】B 【解析】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 【变式6-3】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【解析】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 题型七：组合的概念辨析 【例7】给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解析】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【变式7-1】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2020个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【解析】选项A中 ，是组合问题；选项B中，是组合问题；选项C中，是组合问题；选项D中 有顺序，是排列问题. 故选：D. 【变式7-2】以下四个问题中，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列 B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地 【答案】C 【解析】根据组合的概念即可判断.只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 故选：C. 【变式7-3】下列各事件中，属于组合问题的是（    ） A．从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习 B．从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上 C．某同学从4门课程中选修2门 D．从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员 【答案】C 【解析】A，从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；B，从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；D从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员均与顺序有关，是排列问题；C，某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题. 故选：C 题型八：组合数公式的综合应用 【例8】（2025·高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【解析】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 【变式8-1】（2025·高二·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【解析】（1）； （2）； （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 【变式8-2】证明组合数性质； 【解析】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 【变式8-3】（2025·高二·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【解析】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 题型九：排列组合中的多面手问题 【例9】（2025·高二·上海浦东新·期末）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【变式9-1】（2025·高二·陕西西安·月考）有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】∵， ∴名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员. 以只会唱歌的人是否选上唱歌人员为标准进行研究： ①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种选派方法， ②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种选派方法， ③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种选派方法． ∴选派方法共有（种）． 故选：A. 【变式9-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【答案】C 【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选：C. 【变式9-3】（2025·高二·黑龙江·期中）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 题型十：排列组合的分组与分配问题 【例10】（2025·高二·辽宁铁岭·期末）将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 【答案】36 【解析】从另外人中选人与小明、小红同组，再将形成的个小组分配到、、三个不同位置， 方法数为种， 当小明，小红一组，剩余三人分另外2组，一组人，另一组人， 则共种排法， 故最终总数为种． 故答案为：36． 【变式10-1】（2025·高二·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 【变式10-2】（2025·高二·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有 种. 【答案】36 【解析】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故答案为：36 【变式10-3】（2025·高二·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 【答案】24 【解析】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 题型十一：与几何背景结合的组合应用题 【例11】连接圆的内接正六边形的6个顶点，则 （1）在圆内总共可以得到 个交点； （2）可以得到 个三角形． 【答案】 13 110 【解析】（1）圆上任意4点其对角线交点必在圆内，有个交点，但3个矩形中心重合，故，所以共有13个交点． （2）①若此三角形3个顶点都在圆上，则有个，如图22所示； ②若此三角形只有2个顶点在圆上，则圆上任意4点对角线连线构成这样的三角形共有个，如图23所示； ③若此三角形只有1个顶点在圆上，任意1个顶点对应5个三角形，故共有个，如图24所示. 可得，故一共可得110个三角形． 故答案为：13；110. 【变式11-1】（2025·高二·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 . 【答案】150 【解析】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 【变式11-2】（2025·高二·新疆巴音郭楞·期末）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为 . 【答案】180 【解析】正五棱柱共计10个顶点，可组成的4点组有个， 这些4点组中有四点共面的情形，共面的4点不能构成三棱锥. （1）5条侧棱中任选2条，4个顶点共面，共有个， （2）上底5个顶点中每4个顶点共面，有个， （3）下底5个顶点中每4个顶点共面，有个， （4）对于，由于与平行，故四点共面， 同理，对于上底的5条边，下底的另外4条边，均存在这样的一个四点共面， 共有个， 故所求为. 故答案为：180. 【变式11-3】（2025·高二·安徽六安·期中）以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 【答案】58 【解析】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58. 故答案为：58 题型十二：排列组合之隔板法巧解 【例12】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组． 【答案】21 【解析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 【变式12-1】不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 【答案】 【解析】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 【变式12-2】从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【答案】6 【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 【变式12-3】（2025·高二·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【答案】 【解析】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒， 可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子， 每个盒子中至少有个球，由隔板法可知，不同的方法种数为种； 接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况. 由间接法可知，不同的方法种数为种. 故答案为：. 题型十三：排列组合的分堆问题 【例13】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【解析】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式13-1】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【解析】先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法， 【变式13-2】（2025·高二·吉林长春·月考）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【解析】（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法； （2）无序部分均匀分组问题：共有＝15（种）分法； （3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法， 同时3人不同，需要排序，故有（种）分配方式； （5）分两类： 第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 由加法原理，知共有种不同分法. 【变式13-3】（2025·高二·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【解析】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法 1．（25-26高二上·北京·期末）将名学生分到两个班级，每班至少人，不同的方法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将名学生分到两个班级，要求每班至少人， 则两个班的人数分别为、或、， 故不同的分法种数为种. 故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 【答案】B 【解析】根据题意可分为两种情况：两人都被选中和两人中只有一人被选中. ①当两人都被选中时，不同的选派方案有种； ②当两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有种. 所以不同的选派方案有种. 故选：. 3．（25-26高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【解析】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为. 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解析】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 5．（25-26高二上·北京西城·期末）某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 6．（25-26高二上·北京昌平·期末）从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（   ） A．12种 B．20种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】第一步，从4名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有种方法； 第二步，从剩下的2人中选派1人参加星期日的公益活动，有种方法， 所以不同的选派方法共有种方法. 故选：A 7．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 【答案】B 【解析】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【解析】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【答案】D 【解析】将“数、书”捆绑，内部排列共有种，则可看作五个元素，五个次序， 若“礼”在第二次，则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序， 再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列，有种不同的次序， 根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 若“礼”在最后一次，则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序， 有种不同的次序，根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 综上，讲座不同的次序共有种， 故选：D. 10．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【答案】C 【解析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况， 根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为. 方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即． 故选：C 11．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 12．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】从3个村庄中选出1个村庄，有种选法； 再从4名教师中选出2名教师到该村庄，有种选法； 将剩下的2名教师安排到剩下的2个村庄，有种方法， 故其分配方案共有种. 故选：C 13．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为 . 【答案】 【解析】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 14．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）已知，则可能取值为 . 【答案】或5 【解析】因为， 则或， 解得或5，经检验，均满足题意. 故答案为：或5 15．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有 种．（结果用数字作答） 【答案】72 【解析】设6个座位编号为， 第一步，从3个人中选两人相邻，共有种方法； 第二步，这相邻两人先选择位置，然后第3人按照要求进行选择， 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式， 所以不同坐法共有种. 故答案为： 16．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 【答案】30 【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 17．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有 种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 【答案】72 【解析】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列， 所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果，共有种放法, 再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果， 第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方，则第二袋水果有2种放法， 如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方，则第二袋水果有1种放法，共有3种情况， 因此共有种摆放方法. 故答案为：72. 18．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为 ． 【答案】30 【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 19．（25-26高二上·北京西城·期末）在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． (1)这名同学的选修课有多少种不同的选法？ (2)若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 【解析】（1）这名同学从5门科学类选修课和3门人文类选修课中， 选择1门科学类和3门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择2门科学类和2门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择3门科学类和1门人文类选修课的不同选择方法（种）， 所以这名同学的选修课共有（种）不同的选法． （2）这名同学同时选择了两门人文类的选修课的选法共有（种）， 所以这名同学不同时选择人文类选修课的选法有（种）． 20．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $