浙江省A9协作体2026-2027学年高二上学期暑假返校学情诊断数学试题

绝密★考试结束前 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学试题卷 命题：普陀中学陈潜勇 审题：桐乡一中王英姿定海一中陈雨乔 校稿：张国斌 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置： 3,所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题卷。 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.己知复数z满足z=3+4i,则z的虚部为 A.3 B.4 C.-4 D.-4i 2.样本数据4,5,6,7,8,9的第60百分位数为 A.5 B.6 C.7 D.8 3.在△1BC中，内角4B.C的对边分别为ah,c,且sinC=5 c,则A= A.I B. 6 3 c.亚或” D.亚或2π 6 6 3 3 4.己知，e2是两个不共线的单位向量，a=e1-2e,b=3+ke2,若a与b共线，则k= 3 3 A.-6 B.6 C. 2 D.- 2 5.设同=6， =8,ā在6上的投影向量为-3五，则a与6的夹角为 A. B. C.2π D.5π 6 3 3 6 6.随机变量6，G相互独立，且均等可能地取值于集合{-1,0,1}.设i=(1,6),下=(6,1)， 则i.币=0的概率为 A月 .3 c. D. 7.已知锐角△ABC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,A=,则的取值范围是 3 B D 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学试题卷第1页共4页 8.己知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为6，点P,Q分别是线段AB,CC1的中点，R为CD上靠近 C的三等分点，则平面PQR与上底面ABC,D相交所得的线段长为 A.13 B. 3V133 5 c.33 D.4V6 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量ā=（3，-1)，b=(1,2),则下列结论中正确的是 A.a+=9 B.a与b可以作为所在平面的一组基底 c.osa,d）-号 D.（5a-b)1b 10.已知复数z满足z≠-1，z3+1=0,则 1±√3i A.z= B.z·z=1 2 C.z2026=z D.1+z+z2+z2+…+z2027=0 11.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1,动点M在线段PC上，则 A.PC⊥BD B.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为12π C.MB+MD的最小值为V30 3 D.PB与DM所成角的余弦值的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 卫.化简 ▲- 13.若两个单位向量a,6满足2a-=V5,则向量a-b与2b-a的夹 角为▲ 14.南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上。此 处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾。莲花洋彼岸的朱家 尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传。普陀山新的人文 景观，海天佛国的象征。乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头 观音。某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如右 图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，观音像顶C的 仰角为30°，在A的正东方向且距D点40m的B点测得观音像底 位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面)，则观音像总的 D 高度CD约为▲.（结果精确到整数，参考数据：√6≈2.45） 4 第14题图 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, acos B+bcosA=2c cosA. (1)求A的大小： (2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200 名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~ 五组区间分别为20,25)，「25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)). (1)求α的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； (2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3,4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的 年龄在[35,40)内的概率. 频率/组距 0.07 a 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0202530354045年龄 17.(本小题满分15分)如图，⊙O的半径为1，C是⊙O的直径AB上一点（异于A,B),过C作 与直径AB垂直的弦与o0相交于A、:两点，连接AD和BD,设∠R4D-40<0<习)· (1)求线段CD的长（用0表示）： (2)若P为直线AB上一点，且PDPE的最小值为-子求0的值. D 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学试题卷第3页共4页 18.(本小题满分17分)如图，在圆台OO,中，四边形ABCD为其一个轴截面，E在底面圆周上， ∠BO,E=60°，BC=2AD=4. (1)求证：AB∥平面DEO; (2)若该圆台的体积为7V3r 3 ①求四棱锥知m的体积； ②求二面角B-AC-E夹角的余弦值. E 19.(本小题满分17分)我们知道复数有三角形式z=(cos0+isn0),其中r为复数的模，0为辐角 主值.由复数的三角形式可得出，若OZ=1(cos6,+isin0),OZ,=h(cos62+isin62),则 h(cos0,+isin0)h(cos6,+isin02)=2[cos(0,+62)+isin(0,+6,)门.即模相乘，辐角相加.其 几何意义是把向量OZ,绕点O按逆时针方向旋转角2（如果日<0，就要把OZ,绕点O按顺时针 方向旋转角旧，|)，再把它的模变为原来的5倍.己知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC(A 在C的右侧)，其边长为1，∠AOC=60°，点A,B,C所对应的复数分别为31，z,3 1,3 (1)若=221，求出名，名： (2)①写出复数z=-1+√i的三角形式，并计算z2,z3(三角形式)，由此归纳出z”(n∈N)的 三角形式： ②设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，，，0（逆时针顺 序)，其中1=1.求复数06，z6,,826在复平面所对应不同点的个数： (3)若P(3,O),菱形OABC在第一象限，以PA为边作正方形APMN,若M,N在AP上方，且 向量2√PM=OA+vOC,求兰+的取值范围. xV 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学试题卷第4页共4页 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断 高二数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C B B D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 题目 9 10 11 答案 BD ABD ACD 9.BD(每选对一个给3分) 10.ABD(每选对一个给2分) 11.ACD(每选对一个给2分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.i 餐 14.33 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)因为acos B+bcosA=2 ccosA, 由正弦定理可得：sin Acos B+sin B cosA=2 sinC cos A, 即sin(A+B)=2 sinC cosA,在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0, 所以coA-分因为4e0,所以4- 39 6分 (2自1)知，cos4-分因为a=2,b+c=4, 由余弦定理，得：a2=b+c2-2 bc cosA=(b+c)-3bc得bc=4, ..10分 所以△ABC的面积S=bcsin A=}x4xy5-V5. ....13分 2 2 2 16.(1)由图可得：（(0.01+0.02+0.04+0.07+@×5=1，解得a=0.06:.3分 年龄在20,25)内的频率为0.01×5=0.05，年龄在25,30)内的频率为0.07×5=0.35 中位数为：30+5x01-95≈31.67 0.33 .6分 (2)第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3：2 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人 .10分 记第3组的3名分别为A1,A,A,第4组的2名分别为B,B2, 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A1,A),（A,A),（A1,B),（A,B2),（A,A), 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学参考答案第1页共3页 (A,B),（A,B2),（A3,B),（A3,B3),（B1,B2),共有10种. 其中第4组的2名B，B2至少有一名被选中的有：(A,B),(4,B),(A,B),（A,B), (A,B),(4,B),(B,B),共有7种， 所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为10 .15分 17.(1)由题意，AB为直径，则AD1BD,而∠BAD=90<0< 2AB=2, 则AD=AB·c0s0=2c0s日， .3分 又AB⊥DE,则CD=AD.sin0=2cos0.sin0=sin28. .6分 (2)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由(1)知，AC=AD.cos0=2cos20=1+cos20,而OA=1, 则C(cos28,0),而CD=sin20,则D(cos28,sin26),E(cos2a,-sin28), 设P(t,0),t∈R,则PD=(cos20-t,sin20),PE=(cos20-t，,-sin20), 所以PD.P亚=(t-cos28)2-sin220,可以看作关于t的二次函数， .10分 则当t=cos26时，PD.Pz取得最小值-sin'28,则-sim220=-3 即sim20= .12分 2 故20-号或28=，则0=或0= 61 3 ...15分 法二：pD.PE=P℃2-CD2=Pc2-sin220≥-sim220 ..12分 (后面得分一样) 18.(1)证明：如图，AB与DO平行且相等，则四边形形ABOD为口，即AB II DO, 又AB文平面DOE,DO2文平面DO3E,AB∥平面DEO 5分 （2)0ra-+R+)0-4+2)-2 ,则 33 h=5, 8分 过A作AG⊥BC,则AG=V5,即G为BO中点，所以 AG⊥BO,且EG⊥BO,又AG⊥平面BEC,所以AG⊥BE, 即EG⊥平面ABCD, 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学参考答案第2页共3页 .VxBGx (AD+BC)xAG 3 2 3 2 ..11分 ②由①知EG⊥平面ABCD,过G作GH⊥AC交AC于H,则EH⊥AC, 即∠GHE为二面角B-AC-E的平面角. 13分 义a=6,m}m= 2 15分 3 所以cos∠GHE= GH 2 3-√21 HE√21√ 7 ..17分 2 备注：用空间向量法酌情给分（法向量正确累计14分） 15i 9)3=3i,3=-2+2 .4分 (2)①z=-1+Vi,故|=2，ag= 故z=2cos 22=4 cos- oisin(comi in) 2 cos- (nEN). 3 3 7分 ②正二十边形每边对应的圆心角为。，放任意一个顶点逆时针旋转0可符到下一个顶点， 10 即2%=互 /cOsr+;.元k1_cosk-1)rim(k-)元 -+1.S1n ,k=1,2,3.,20. “10 10 10 故z2026=c0 2026-1r+i.n2026-1r=cos3&-1r+1sm3(-9n, 10 10 5 5 由三角函数的周期性知，206=z8,即z06以10为周期，所以一共对应10个不同的 点 11分 (3)设OA=(cosa,sina),则pM=(sima,3-cosa), ...12分 又ai-(cww.ina),oc-(ca+引ma+》: 2√PMi=xOA+vOC, 所以4ma-6-cau]=++2时a+}nsm+到 整即：0-6coa=+产2 coca+引ana+到， 即4y0-6cosa)=x2+y2+xy,所以+'=39-24cosa, ....15分 a1,所以150-12N6 又3 .....17分 浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高二数学参考答案第3页共3页