专题10 离散型随机变量及其分布列（思维导图+2大知识点+6大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题10 离散型随机变量及其分布列 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：离散型随机变量 4 知识点二：离散型随机变量的分布列的性质 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：随机变量的概念 6 题型二：离散型随机变量的判断与甄别 6 题型三：随机变量对事件结果的表示 7 题型四：离散型随机变量分布列的构建与计算 7 题型五：分布列的性质及相关应用 9 题型六：两点分布及其典型应用 9 05 强化训练 11 知识点一：离散型随机变量 1、随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量． 2、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． 3、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4、离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 （1）离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称为分布列． （2）可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 知识点二：离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2）． 题型一：随机变量的概念 【例1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：离散型随机变量的判断与甄别 【例2】将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【变式2-1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（    ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 【变式2-2】将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【变式2-3】5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 题型三：随机变量对事件结果的表示 【例3】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【变式3-1】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【变式3-2】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【变式3-3】抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（    ） A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点 【变式3-4】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（    ） A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为4点，第二枚为1点 题型四：离散型随机变量分布列的构建与计算 【例4】不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【变式4-1】某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【变式4-2】四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 【变式4-3】一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【变式4-4】投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 题型五：分布列的性质及相关应用 【例5】某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝ ． 【变式5-1】设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【变式5-2】已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 【变式5-3】若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 【变式5-4】已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 题型六：两点分布及其典型应用 【例6】已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【变式6-1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【变式6-2】已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布． 【变式6-3】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列. 1．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 4．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 5．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 6．（25-26高二·全国·假期作业）甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 7．（25-26高二·全国·假期作业）2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 8．（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 9．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 10．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 11．（25-26高二·全国·假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 12．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为、、，乙一次射击命中10、9环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响． (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的值，和X对应的概率； 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 15．（25-26高二上·全国·单元测试）袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色． (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列． 16．（25-26高二上·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 离散型随机变量及其分布列 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：离散型随机变量 4 知识点二：离散型随机变量的分布列的性质 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：随机变量的概念 6 题型二：离散型随机变量的判断与甄别 7 题型三：随机变量对事件结果的表示 8 题型四：离散型随机变量分布列的构建与计算 10 题型五：分布列的性质及相关应用 13 题型六：两点分布及其典型应用 15 05 强化训练 17 知识点一：离散型随机变量 1、随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量． 2、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． 3、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4、离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 （1）离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称为分布列． （2）可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 知识点二：离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2）． 题型一：随机变量的概念 【例1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 【变式1-1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00至12：30到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来. ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中， 则也可以一一列举出来. ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况， 可以一一列举出来. ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻， 不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量， 故只有①②④满足. 故选：C. 【变式1-2】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 题型二：离散型随机变量的判断与甄别 【例2】将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【答案】D 【解析】由随机变量的定义知，由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量. 故选：D. 【变式2-1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（    ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 【答案】A 【解析】因为随机变量为一个变量， 而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数， 所以不能作为随机变量， 故选A. 【变式2-2】将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【答案】D 【解析】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量． C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量， D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量． 故选：D. 【变式2-3】5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【答案】C 【解析】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量， BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量. 故选：C 题型三：随机变量对事件结果的表示 【例3】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【解析】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 【变式3-1】某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【答案】D 【解析】根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中. 故选：D. 【变式3-2】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（    ） A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 【答案】C 【解析】因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为， 因为，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确. 故选：C. 【变式3-3】抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（    ） A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点 【答案】A 【解析】由题意知表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差， 当第一枚6点，第二枚1点时，，满足题意，所以选项A正确； 当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项B错误； 当第一枚2点，第二枚6点时，，不满足，所以选项C错误； 当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项D错误. 故选：A 【变式3-4】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（    ） A．第一枚为5点，第二枚为1点 B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C．第一枚为6点，第二枚为1点 D．第一枚为4点，第二枚为1点 【答案】C 【解析】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X， 所以“X>4”即“X=5”， 表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点， 故选：C 题型四：离散型随机变量分布列的构建与计算 【例4】不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【解析】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             【变式4-1】某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【解析】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式4-2】四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 【解析】设所亮灯数为，则可能的取值为0，2，4，8， 设4个小朋友，，，的妈妈分别为，，，， 当，即0个小朋友站对， 则站在，，身边，有种站法，假设站在身边，即分成两种情况： ①站在身边，则，分别站在，，有1种站法， ②不站在身边，则站在或身边，还有两种可能， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 所以， 当，即恰有1个小朋友站对， 从，，，中选1个小朋友站对，有种站法，假设站在身边，还有两种可能： 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 所以， 当，即恰有2个小朋友站对，从，，，中选2个小朋友站对，有种站法， 所以， 当，即4个小朋友都站对，只有1种站法， 所以， 所以亮灯数的分布列为： 0 2 4 8 【变式4-3】一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【解析】依题意，的所有可能取值为，，， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【变式4-4】投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）因为，所以，． 所以 解得，或 故的取值范围是． 题型五：分布列的性质及相关应用 【例5】某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝ ． 【答案】/ 【解析】由分布列性质，得，解得. 故答案为：. 【变式5-1】设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】/ 【解析】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 【变式5-2】已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【解析】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 【变式5-3】若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 【答案】/ 【解析】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 【变式5-4】已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 题型六：两点分布及其典型应用 【例6】已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【解析】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 【变式6-1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【解析】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况． ， 则. 因此X的分布列为： X 0 1 P 【变式6-2】已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布． 【解析】由题意知，X服从两点分布， ，所以， 所以随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 【变式6-3】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列. 【解析】由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为: X 0 1 P 0.15 0.85 1．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 3．（多选题）（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【解析】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 4．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意知，解得或， 当时，，所以舍去， 故，AB错误， 计算可得，C错误，D正确， 故选:ABC． 5．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【解析】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 6．（25-26高二·全国·假期作业）甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 【解析】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以； （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故； （3）根据题意，， 分析可得， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 7．（25-26高二·全国·假期作业）2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【解析】（1）三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件， 则，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 8．（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 【解析】（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 因此，的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件， 则， 所以. （3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件， 则， 所以. 9．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【解析】（1）易知抽到黑球次数服从二项分布， 于是，   ，   故所求概率； （2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取. 记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球， 则，   ， ， 可得； （ⅱ）由题意X的取值可以是， 则， ， ， ， 故可得分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P 10．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 【解析】（1）由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 11．（25-26高二·全国·假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】（1）根据题意得X的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.180 0.234 0.334 0.140 0.112 （2）由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：； 若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y， 则，， 则“梦幻”队能进入决赛的概率为， 所以，所以为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题． 12．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为、、，乙一次射击命中10、9环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响． (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的值，和X对应的概率； 【解析】（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为， 则甲命中的环数不高于乙命中的环数为 ； （2）题意可知随机变量的可能取值有17、18、19、20， ，， ，． 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 【解析】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”， 所以； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”， 所以， 所以； （3）由题意有的可能取值为， 所以， ， ， 所以的分布列为： 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 【解析】（1）由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为2个白球和1个黄球（或1个红球），可能为1个白球和2个红球， 其中摸出2个白球和1个黄球（或1个红球）的概率为， 摸出1个白球和2个红球的概率为， 故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，， ， 则的分布列为 1 2 3 15．（25-26高二上·全国·单元测试）袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色． (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：①的值；②随机变量的分布列． 【解析】（1）依题意，所求概率为； （2）①由已知得从袋中不放回地摸球两次的所有取法有（种）， 事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球， 故包含种取法，所以； ②的可能取值为2，3，4， ， ， ， 则的分布列为 X 2 3 4 P 16．（25-26高二上·广东佛山·月考）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 则 . （2）第一次取出的4件，费用400元； 如果，再取4件，费用800元； 如果，再取1件，费用500； 其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元， ， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $