专题04 函数的极值与最大（小）值（思维导图+2大知识点+9大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题04 函数的极值与最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求解函数的极值 6 题型二：根据函数极值求参数的值或取值范围 6 题型三：运用导数求解不等式 7 题型四：无参数函数的最值求解问题 7 题型五：含参数函数的最值求解问题 8 题型六：依据函数最值求解参数问题 8 题型七：导数在实际问题中的综合应用 9 题型八：借助导数探究函数的极值与最值问题 9 题型九：利用导数解决恒成立问题 10 05 强化训练 12 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 题型一：求解函数的极值 【例1】（2025·高二·云南曲靖·月考）函数在上（   ） A．有极大值，且极大值为 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 【对点训练1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知函数，当时，则（   ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【对点训练2】（2025·高二·内蒙古赤峰·月考）函数的极小值为（   ） A． B．2 C． D． 【对点训练3】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期末）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【对点训练4】（2025·高二·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 题型二：根据函数极值求参数的值或取值范围 【例2】（2025·高二·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【对点训练5】（2025·高二·贵州贵阳·月考）函数在处取得极值10，则（    ） A． B． C．0 D．或 【对点训练6】（2025·高二·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【对点训练7】（2025·高三·重庆·月考）已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练8】（2025·高三·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：运用导数求解不等式 【例3】已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【对点训练9】（2025·高二·辽宁·月考）函数的定义域为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【对点训练10】（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数的定义域为，且，对任意，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【对点训练11】（2025·高二·福建福州·期中）已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【对点训练12】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四：无参数函数的最值求解问题 【例4】（2025·高二·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 【对点训练13】（2025·高二·贵州铜仁·月考）已知函数，，则的最大值为 . 【对点训练14】（2025·高二·天津南开·月考）函数，的最大值是 . 【对点训练15】（2025·高二·广东河源·期中）函数在上的最大值为 ． 【对点训练16】（2025·高二·江苏常州·月考），的最小值为 . 题型五：含参数函数的最值求解问题 【例5】（2025·高二·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【对点训练17】（2025·高二·广东潮州·月考）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【对点训练18】（2025·高三·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 题型六：依据函数最值求解参数问题 【例6】（2025·高二·北京顺义·期中）已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【对点训练19】（2025·高二·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【对点训练20】（2025·高二·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【对点训练21】（2025·高二·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数 ． 【对点训练22】（2025·高二·广东河源·月考）若曲线在处有最值，则实数的值为     题型七：导数在实际问题中的综合应用 【例7】在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为 ． 【对点训练23】（2025·高二·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为 . 【对点训练24】（2025·高二·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 【对点训练25】（2025·高二·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ． 【对点训练26】（2025·高二·福建莆田·期中）如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为 . 题型八：借助导数探究函数的极值与最值问题 【例8】（2025·高二·河北衡水·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)求的极大值． 【对点训练27】（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【对点训练28】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 【对点训练29】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 题型九：利用导数解决恒成立问题 【例9】已知函数．若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【对点训练30】设，若恒成立，求m的取值范围． 【对点训练31】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【对点训练32】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【对点训练33】（2025·高二·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 1．（25-26高二上·上海闵行·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 2．（25-26高二上·山西长治·期末）已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 9．（25-26高二上·上海·期末）设为非零实数.若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是 . 10．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 11．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ． 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 13．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 14．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 15．（25-26高二上·江西·月考）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有两个极值点，求a的取值范围； (3)若对任意非零实数，都有，求a的值. 16．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 17．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 18．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 19．已知函数． (1)当时，证明：； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的极值与最大（小）值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求解函数的极值 6 题型二：根据函数极值求参数的值或取值范围 8 题型三：运用导数求解不等式 10 题型四：无参数函数的最值求解问题 12 题型五：含参数函数的最值求解问题 13 题型六：依据函数最值求解参数问题 15 题型七：导数在实际问题中的综合应用 17 题型八：借助导数探究函数的极值与最值问题 20 题型九：利用导数解决恒成立问题 23 05 强化训练 28 知识点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作． 极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 知识点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较． （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法） 知识点诠释： ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异． 知识点二、函数的最值 （一）函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 知识点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个． （二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 题型一：求解函数的极值 【例1】（2025·高二·云南曲靖·月考）函数在上（   ） A．有极大值，且极大值为 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 【答案】D 【解析】由题意得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，且极小值为. 故选：D 【对点训练1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知函数，当时，则（   ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【答案】D 【解析】的定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得，且时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，所以选项AB错误， 从而当时，取得最小值， 结合，则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故恒成立，故选项C错误，选项D正确. 故选：D 【对点训练2】（2025·高二·内蒙古赤峰·月考）函数的极小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】， 令或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极小值为. 故选：D. 【对点训练3】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期末）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，令， .得在上单调递增，在上单调递减. 则函数的极小值点为. 故选：B 【对点训练4】（2025·高二·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 题型二：根据函数极值求参数的值或取值范围 【例2】（2025·高二·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【解析】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 【对点训练5】（2025·高二·贵州贵阳·月考）函数在处取得极值10，则（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】B 【解析】函数，求导得， 由在处取得极值10，得， 解得或， 当，时，， 函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当，时，得， 当或时，； 当时，，因此是函数的极小值点，符合题意， 所以， 故选：B． 【对点训练6】（2025·高二·海南海口·月考）已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 【对点训练7】（2025·高三·重庆·月考）已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 【对点训练8】（2025·高三·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 题型三：运用导数求解不等式 【例3】已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则．因为，所以，在上单调递增， 而，又，即，从而，根据的单调性可得， 故选：C． 【对点训练9】（2025·高二·辽宁·月考）函数的定义域为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，满足， 所以在上是增函数，又因为， 所以的解集为． 故选:B． 【对点训练10】（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数的定义域为，且，对任意，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，所以在上单调递减， 又，由，即， 所以，解得，所以不等式的解集是. 故选：A. 【对点训练11】（2025·高二·福建福州·期中）已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则有，所以在上单调递减， 所以，， 所以由有，且，即， 由在上单调递减，所以，即，故. 故选：B. 【对点训练12】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 故不等式，即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 题型四：无参数函数的最值求解问题 【例4】（2025·高二·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题设， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 故答案为：1 【对点训练13】（2025·高二·贵州铜仁·月考）已知函数，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意得，由于，则， 故，等号仅在时取得，故在上单调递增， 故， 故答案为： 【对点训练14】（2025·高二·天津南开·月考）函数，的最大值是 . 【答案】/ 【解析】由可得：. 因为， 所以令，解得；令，解得， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以函数，的最大值是. 故答案为：. 【对点训练15】（2025·高二·广东河源·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【解析】由，求导得， 在上，恒成立， 因此在上单调递增，所以的最大值为. 故答案为： 【对点训练16】（2025·高二·江苏常州·月考），的最小值为 . 【答案】 【解析】由题，，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 故答案为：. 题型五：含参数函数的最值求解问题 【例5】（2025·高二·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【解析】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 【对点训练17】（2025·高二·广东潮州·月考）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【解析】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 【对点训练18】（2025·高三·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【解析】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 题型六：依据函数最值求解参数问题 【例6】（2025·高二·北京顺义·期中）已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 注意到，故当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 当时，，其在上单调递增，且， 要想无最小值，需满足，即，解得， 故答案为： 【对点训练19】（2025·高二·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【对点训练20】（2025·高二·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】的定义域为，， ，，，在上单调递增， 故在上的最大值为，即. 故答案为： 【对点训练21】（2025·高二·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，即在上单调递增， 又， 则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 故函数的最小值是，所以. 故答案为：. 【对点训练22】（2025·高二·广东河源·月考）若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【解析】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 题型七：导数在实际问题中的综合应用 【例7】在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为 ． 【答案】 【解析】依题意，该梯形为等腰梯形，设其上底长为，则该梯形的高， 梯形面积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时梯形面积取得最大值，梯形的上底长为. 故答案为： 【对点训练23】（2025·高二·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意可得：，解得， 因为圆台的体积为， 则，， 令，解得；令，解得； 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且当时，，所以圆台体积的最大值为. 故答案为：. 【对点训练24】（2025·高二·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为， 则，即， 所以无盖方盒的容积为，， 则， 令，解得或； 令，解得． 因为函数的定义域为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以， 即该方盒容积最大为. 故答案为： 【对点训练25】（2025·高二·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ． 【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 【对点训练26】（2025·高二·福建莆田·期中）如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为 . 【答案】 【解析】设剪下的小正方形的边长为，则折成的长方体以长为，宽为的长方形为底，以为高， 所以长方体容积，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故答案为：. 题型八：借助导数探究函数的极值与最值问题 【例8】（2025·高二·河北衡水·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)求的极大值． 【解析】（1）由，则，求导可得， 所以函数在处的切线斜率，， 故切线方程为，化简可得. （2）由，求导可得， 化简可得， 当时，，令得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上可得 当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知当时，无极大值； 当时，由导数，则令得或， 当时，即， 由得或，由得， 所以函数的极大值为； 当时，即，则，函数在上单调递减，无极大值； 当时，即， 由得或，由得， 所以函数的极大值为； 综上所述，当或时，函数无极大值； 当时，函数的极大值为； 当时，函数的极大值为. 【对点训练27】（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【解析】（1）时，，， 时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以. （2）， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在区间上单调递增，由已知， 所以，解得， 综上，. 【对点训练28】（2025·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值. 【解析】（1）由题意得, 当时，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，得， 故在和单调递增，在单调递减， 综上可得时，的单调递增区间为， 当时，的递增区间为，，递减区间为 （2）由（1）知，时，函数才有极值， ， ， 因此，解得， 因此， ，， ， 因此. 【对点训练29】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极大值； (2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 令，解得或， 当或，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，的极大值为. （2），， 当时，，，单调递增，无最小值，不符题意； 当时，令，则或， 当时，，，所以单调递增，无最小值， 当时，当，，当，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值， 最小值为， 所以，即， 化简得，即， 解得，即. 题型九：利用导数解决恒成立问题 【例9】已知函数．若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】解法一：不等式恒成立，即， 所以， 令，所以． 由于，所以，， 当且仅当函数在区间上单调递减，在区间上单调递增时符合题意， 即，所以， 又因为所以仅有唯一解，下面证明： ， 当且仅当时取等，即，所以． 解法二：不等式恒成立，即. ，令，， . 令，，则需， 当时，，单调递增，又， 时，不合题意，. 当时，单调递减，当时单调递增， 可得. 而，， 又由可得， 所以需， 令，， 当时，单调递增， 当时单调递减， ，. 【对点训练30】设，若恒成立，求m的取值范围． 【解析】，恒成立， 即恒成立.， 即， 由在上单调递增可得 即恒成立，也就是恒成立. 令，对其求导得. 令，解得或. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. ，所以. 【对点训练31】（2025·高三·上海浦东新·期中）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. （3）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 【对点训练32】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【对点训练33】（2025·高二·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【解析】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 1．（25-26高二上·上海闵行·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【答案】B 【解析】对于A选项，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在上单调递增，在上也为增函数， 故不是函数的极值点，B错； 对于C选项，由图象可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，由图象可知函数在处切线的斜率大于零，D对. 故选：B. 2．（25-26高二上·山西长治·期末）已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，可得，则， 令，可得， 当时，，单调递增，即在上单调递增； 当时，，单调递减，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 且时，，所以， 当时，，可得，可得， 因为对于任意的，总存在， 使得的图象上点与处的切线平行， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【解析】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数的取值范围是. 故选：D. 8．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【答案】BCD 【解析】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 9．（25-26高二上·上海·期末）设为非零实数.若关于的不等式对任意均成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【解析】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 11．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像： 由图像可知：， 故答案为：． 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，，即对任意恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，；当时，. ①在上，若恒成立，则恒成立，即，则； ②在上，若，则恒成立，即在上恒成立， 由可得， 令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 13．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】若，当时，，故； 同时，因此， 此时，不满足恒成立. ，，当时，，， 也不满足恒成立，因此仅需考虑的情况. 的定义域需满足，即，即， ，令，解得，此时，符合定义域. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故在处取得最大值为， 由得，整理得. 由，得.构造函数（），， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故在处取得最大值为 . 故答案为： 14．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【解析】（1）函数定义域为，， ， 曲线在处的切线方程为：， 即； （2）， 令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， ， ， 所以，函数在区间上的最大值为． 15．（25-26高二上·江西·月考）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有两个极值点，求a的取值范围； (3)若对任意非零实数，都有，求a的值. 【解析】（1）当时，，. 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 是函数的极小值点也是最小值点，是函数的极小值也是最小值. 所以的最小值为， （2）因为有两个极值点，所以有两个不同的零点. 令，则. 当时，，在R上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；· 当时，令，得；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，. 若有两个零点，则有. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是函数的极大值也是最大值.又因为，所以，即当时，， 所以当，且时，，此时有两个零点，所以有两个极值点， 所以a的取值范围为. （3）⑴当时，，此时在R上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又因为，所以在和上均大于0，即. 若异号，则，那么不等式不成立.如图： ⑵当时，在上单调递增；在上单调递减， ， ①当时，，此时在R上恒成立，当且仅当时取等号， 即在R上恒成立，当且仅当时取等号，所以在R上单调递增. 又，所以在上小于0，在上大于0， 所以时，，时，，即成立，如图： ②当时，，当时，单调递增，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增. 因为，所以时，，时，， 当时，，，，不满足题意，如图： ③当时，，当时，单调递减，又， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， 因为，所以时，，时，， 当时，，，，不合题意.如图： 综上所述，当时，对任意非零实数，都有不等式恒成立. 故. 16．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 【解析】（1）在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 17．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【解析】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 18．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 【解析】（1）当时，， 所以，故， 可得曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，恒成立， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，恒成立，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 19．已知函数． (1)当时，证明：； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，函数，定义域为， 则，令，则， 所以在上单调递增，因为， 所以存在唯一，使得，得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取最小值， 即. （2）法一（参变分离）：因为恒成立， 所以， 令，则， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 故当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，所以. 法二（隐点效应）：由（1）得，， 故，即， 得，解得， 则，解得. 另一方面， 设，则， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 得，符合题意， 故实数a的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $