第25讲 离散型随机变量的数字特征（思维导图+2知识点+五大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第25讲 离散型随机变量的数字特征 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求离散型随机变量的均值】 【考点二：均值的性质】 【考点三：求离散型随机变量的方差】 【考点四：方差的性质】 【考点五：两点分布的均值与方差】 模块四 小试牛刀过关测 1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会依据分布列求出均值； 2.能记住离散型随机变量均值的性质并会应用； 3.识记两点分布的均值并会解决与之有关的应用题； 4.会利用离散型随机变量的均值意义，解决一些相关的实际问题. 一、离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 2、离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. 3、两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 4、均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 5、样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 6、求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 二、离散型随机变量的方差 1、离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. 2、离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. 3、两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 4、方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 5、样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 6、求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 【考点一：求离散型随机变量的均值】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为；乙盒子有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为.则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）如图，将a，a，b，b，c，c，6个字母放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，且同列字母不相同，若共有k行字母相同，则k的均值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、解答题 6．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）袋子装有4个黑球，6个白球． (1)每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率； (2)每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望； (3)每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率． 8．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 【考点二：均值的性质】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 2．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 3．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 4．（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 二、解答题 5．（23-24高二下·福建三明·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【考点三：求离散型随机变量的方差】 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、解答题 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 7．（23-24高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 8．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【考点四：方差的性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 4．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 三、解答题 6．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 7．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 【考点五：两点分布的均值与方差】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（    ） A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 6．（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 一、单选题 1．（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 4．（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．（23-24高二下·贵州黔西·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值 C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值 6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表: 0 1 2 5 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川巴中·模拟预测）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏南通·期中）设为实数，如果随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）随机变量的分布列如表所示，若，则 ． 0 1 13．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 14．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 若，且，则 ． 15．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 16．（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 . 17．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 18．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 四、解答题 20．（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 21．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 22．（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 23．（2024高二·全国·专题练习）北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差． 24．（2024·陕西宝鸡·二模）某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ 25．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 26．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 离散型随机变量的数字特征 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求离散型随机变量的均值】 【考点二：均值的性质】 【考点三：求离散型随机变量的方差】 【考点四：方差的性质】 【考点五：两点分布的均值与方差】 模块四 小试牛刀过关测 1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会依据分布列求出均值； 2.能记住离散型随机变量均值的性质并会应用； 3.识记两点分布的均值并会解决与之有关的应用题； 4.会利用离散型随机变量的均值意义，解决一些相关的实际问题. 一、离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 2、离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. 3、两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 4、均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 5、样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 6、求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 二、离散型随机变量的方差 1、离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. 2、离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. 3、两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 4、方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 5、样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 6、求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 【考点一：求离散型随机变量的均值】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P 若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得. 【详解】由题意，①，②， 联立① ② ，解得：. 故选：A. 3．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为；乙盒子有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为.则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算即可求出，再根据概率分布列的性质即可计算 【详解】由题可得，， 所以， . 所以， 综上，. 故选：C 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）如图，将a，a，b，b，c，c，6个字母放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，且同列字母不相同，若共有k行字母相同，则k的均值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，计算出k行字母相同的概率，代入期望公式即可. 【详解】第一种：当每一列都不一样时有： 第一列三个全排有，第二列剩下的三个全排也有， 所以共有种排列方法， 若共有k行字母相同，则k的可能取值为， ，，， 所以共有k行字母相同的均值为． 故选：C. 二、解答题 6．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【详解】（1）由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率． （2）由题可知，的取值可能是， 由（1）知，， 当时，前2场打平，后两场连胜或连败， 则， ， 所以分布列为： 2 4 6 所以数学期望． 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）袋子装有4个黑球，6个白球． (1)每次从袋子中取出1个球，若有放回地抽取2次，求恰好取到1个黑球的概率； (2)每次从袋子中取出1个球，若不放回地抽取2次，求取到黑球数X得分布列及期望； (3)每次从袋子中取出2个球，若是不放回地抽取，求第二次抽到2个黑球的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由独立重复实验的概率计算即可求解； （2）由题可知，的可能取值为，然后求出对应概率，即可得出分布列及期望； （3）利用全概率公式计算即可． 【详解】（1）设恰好取到1个黑球为事件，由题可知，每次抽到黑球的概率为， 所以． （2）由题可知，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则． （3）设第二次抽到2个黑球为事件，设第一次取到2个球为事件， 其中含个白球分别为事件， 则，， 由题可知，，，， 所以 ． 8．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 【答案】(1)分布列见解析， (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可. 【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6， ，， ，， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. （2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ，， ， ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. 【考点二：均值的性质】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知的分布列为： 0 1 P 设，则的值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用期望的公式及性质计算即可. 【详解】由题意可知， ∵，∴. 故选：A 2．（23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 3．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 4．（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望的定义及性质求解即得. 【详解】由，得， 由，得， 于是， 所以. 故选：C 二、解答题 5．（23-24高二下·福建三明·期中）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 【考点三：求离散型随机变量的方差】 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， 则， 因为， 则. 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差． 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列是 0 2 随机变量的分布列是 3 5 7 下列选项中正确的是（    ） A． B． C．当增大时，递增 D．当增大时，递减 【答案】C 【分析】求出、、、，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， ，所以A错误； 对于B，因为， ， 即，故B错误； 对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确； 对于D,由， 因为，所以当增大时，增大，可知D错误. 故选：C. 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列为 a b P b a 则下列说法不正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质、期望和方差公式，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，a， 对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 对于B，一方面，另一方面，所以，所以B正确； 对于C，，所以C错误； 对于D，由得，满足条件的a，b存在，所以D正确． 故选：C. 二、解答题 6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先求出，再根据对立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出对应的概率，然后可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以， . 7．（23-24高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2，方差为. 【分析】（1）结合排列知识应用古典概型概率公式求解即可； （2）由题设的可能值为0，1，2，3，4，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望和方差. 【详解】（1）设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则， 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4. ，，，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以， . 8．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可； （2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可； （3）列出随机变量X的分布列，再利用期望、方差公式求值. 【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 【考点四：方差的性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据方差的性质即可得解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为2， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：B 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求，根据期望的定义求，再由期望的定义求，结合期望性质求. 【详解】由已知可得，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意求，再结合方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X的分布为 1 2 3 则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】利用，只需求的最大值即可， 【详解】，只需求的最大值即可， 根据题意：，， ， 所以 ， 当时，其最大值为，故的最大值为． 故答案为：6． 三、解答题 6．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 7．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 【答案】(1)分布列见解析， (2). 【分析】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，根据已知条件求出，的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望; （2）根据方差的性质判断即可. 【详解】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件 . 则 ， 则的可能取值为 . 所以， ， ， 所以 的分布列为: 0 1 2 所以 . （2）依题意可得， 所以, 即 . 【考点五：两点分布的均值与方差】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（    ） A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095 【答案】A 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：A. 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得. 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某医生在一次模拟手术中，成功率是失败率的9倍，记表示该医生在一次模拟手术中的得分，且有则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】设模拟手术失败的概率为，即，则成功的概率为， 因为，解得， 则． 故答案为：. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）在篮球比赛中，罚球1次命中得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，则 . 【答案】20 【分析】根据均值性质即可得到答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：20. 6．（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 【答案】/ 【分析】利用两点分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可得服从两点分布，故， 故. 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 【答案】B 【分析】分别计算小郅同学盈利和亏损的概率，再根据均值公式求解. 【详解】由题意可知：小郅同学要想盈利，必须在所有矿石含有稀有元素的条件下，探测器还能检测出来， 所以小郅同学盈利的概率，且盈利额为元， 小郅同学亏损的概率，且亏损额为元， 所以利润的均值元. 故选：B 3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 4．（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据题意可得求出，再利用方差公式可求得结果. 【详解】因为随机变量X的分布列为，，，， 所以，解得， 所以. 故选：B 5．（23-24高二下·贵州黔西·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（    ） 0 1 2 A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值 C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值 【答案】D 【分析】根据给定的分布列求出期望，再由方差定义求出，结合二次函数性质判断得解. 【详解】由分布列，得随机变量的期望， 则， 由，得当时，取得最大值，无最小值. 故选：D 6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【详解】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，，，， 所以． 故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二下·河南·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表: 0 1 2 5 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用分布列的性质、期望公式、方差公式及其性质计算即可. 【详解】由分布列的基本性质知，解得，故A正确; 故， ，故B错误，C正确; 由离散型随机变量期望的性质可得，，故D错误. 故选：AC. 8．（2024·四川巴中·模拟预测）设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列性质可求出m的值，判断A；根据期望和方差公式计算判断B；利用期望和方差性质可判断CD. 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 10．（23-24高二下·江苏南通·期中）设为实数，如果随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合概率和为1求的值，即可判断A；根据的值判断B；对于C：根据分析判断；对于D：根据期望公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：，解得，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：BD. 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； 对于A选项，， A错误； 对于B选项，； ；所以， B正确； 对于C选项，， ，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）随机变量的分布列如表所示，若，则 ． 0 1 【答案】 【分析】根据随机变量的分布表计算出，代入方差的计算公式即可求得. 【详解】由题设及，解得， . 故答案为： 13．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 【答案】 3 /0.5 【分析】根据随机变量分布列的性质得，利用数学期望的定义求出；再由方差计算公式列出方程求出值，即可得到的值. 【详解】依题意，， 解得，，代入得，. 故答案为：3； 14．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 若，且，则 ． 【答案】 【分析】由随机变量分布列的性质，得，解得，根据，求得，进而求得，由，求得，进而求出. 【详解】由随机变量分布列的性质，得， 解得， ， ， ， ， ， ． 故答案为：. 15．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 【答案】 【分析】求出单位同学选择社团的总数，再求得三位同学选择不相同的社团数，作比值即可；三位同学选择社团种类数可能取值为，分别求得概率，用数学期望的公式计算即可. 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 16．（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示. 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 . 【答案】 3 9.8 【分析】根据题意可得的可能取值为0，2，6，10，然后求出相应的概率，从而可求出的数学期望和方差. 【详解】由已知条件和概率的加法公式知，， ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 故； . 故工期延误天数的方差为9.8. 故答案为：3，9.8. 17．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【答案】 【分析】先根据分布列概率和为1得出，再计算分布列的数学期望及方差，最后应用方差性质得出，再计算标准差即可. 【详解】由，得， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 18．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据概率和为1可得，进而可得，再根据数学期望与方差的公式，结合二次函数的范围求解即可. 【详解】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为： 19．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【详解】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 四、解答题 20．（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 【答案】利用样本方差 【分析】先利用随机变量的均值比较，因，无法区分两机床的加工质量，故考虑比较方差，通过计算得出，即得机床加工的质量更稳定. 【详解】由， ． 因，即根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量，故考虑运用方差. , , 因，故机床加工的质量更稳定. 由此可见，利用样本方差可以刻画样本数据的稳定性，从而可以较好地比较两台机床的加工质量. 21．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据甲被录取按投球次数分类，独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解；. （2）由的可能取值，分别求出对应的概率即可得到分布列，公式法求期望与方差. 【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”.                                                                       则，， 设事件表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 . 22．（24-25高三上·广西·阶段练习）一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【分析】（1）根据分步计数原理计算出总数，再列举出小球得分大于的情况，最后根据古典概率公式即可得出答案； （2）先写出的值，计算对应取值的概率，最后列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 23．（2024高二·全国·专题练习）北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过免费，超过的部分每小时收费标准为40元（不足的部分按计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过离开的概率分别为，；以上且不超过离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值、方差． 【答案】分布列见解析，； 【分析】运用乘法公式计算出各自的概率，列出分布列，再用均值方差公式求出均值和方差即可. 【详解】甲、乙两人以上且不超过离开的概率分别为，． 的所有可能取值为0，40，80，120，160， 则， ， ， ， ． 所以的分布列为 0 40 80 120 160 ． . 24．（2024·陕西宝鸡·二模）某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ 【答案】(1)0.4 (2)答案见解析 【分析】（1）设事件,依题，根据事件与事件的互斥与的相互独立，利用概率公式计算即得； （2）分两种方案分别计算随机变量对应取值的概率，列出分布列，计算期望值，作差比较即得. 【详解】（1）设“猜谜者①猜对”为事件A；“猜谜者②猜对”为事件B；“猜谜者③猜对”为事件C． 记“所获得奖金至少为30元”为事件，则包括获得奖金30元或60元． 奖金30元指①、②猜对，③猜错，即事件发生； 奖金60元指①、②猜对，③猜对，即事件发生. 因事件与事件互斥，且相互独立， 则 . 即所获得奖金至少为30元的概率为0.4; （2）若猜谜者按“①、②、③”的顺序猜谜语． 则他所获奖金的所有可能取值为0，10，30，60（元）， ， ， ， ， 列出的分布列为： 0 10 30 60 0.2 故； 若猜谜者按“③、②、①”顺序猜谜语． 则他所获奖金的所有可能取值为0，30，50，60（元）， ， ， ， ， 列出的分布列为： 0 30 50 60 0.5 故. 由， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． 25．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)甲应该采用“五局三胜制”． 【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【详解】（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． （2）易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． （3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 26．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，最大值为 【分析】（1）由甲选手恰好在第4局赢得比赛可得各场比赛结果，即可得答案； （2）由题可得X的值可能为2，4，5，据此可得分布列及，后由基本不等式结合二次函数单调性可得最大值. 【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； （2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$