23.3矩形、菱形与正方形（第2课时菱形）课件【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.3矩形、菱形与正方形 第二课时 菱形 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解菱形的概念，知道菱形与平行四边形的区别与联系. 2.探索并证明菱形的性质定理. 3.会运用菱形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力. 4.经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理． 5.能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题,发展推理能力和运算 能力. 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 如图，伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案. 如图，在菱形ABCD中， 由菱形的定义可知AB=BC=CD=AD. 因为菱形ABCD的两组对边分别相等， 根据平行四边形的判定定理1，得到菱形必然是平行四边形. 所以，菱形是一种特殊的平行四边形. 如图，将四个大小相同的矩形拼在一起， 根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 这个菱形可能有什么性质? 这些性质其他菱形也具备吗? 我们仍然从边、角和对角线来研究菱形的性质。 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以得到菱形的性质定理: 定理 菱形的两条对角线互相垂直. 你能根据平行四边形的性质证明吗？ 如图，已知:四边形ABCD是一个菱形，AC、BD是它的对角线.求证:AC⊥BD. 证明：记O为对角线AC、BD的交点. 因为菱形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理3，得BO=DO. 又因为AB=AD， 根据“等腰三角形三线合一”，可得AO⊥BD，即AC⊥BD. 由于平行四边形是中心对称图形，因此菱形也是中心对称图形. A B C O D 菱形是轴对称图形吗?如果是，找出其对称轴，并尝试与矩形的对称轴作比较. 菱形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 2条 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=13cm，AC=24cm。 求这个菱形的面积. 分析：由菱形的性质定理，可知AC⊥BD，从而菱形的面积等于四个直角三角形的面积之和.由平行四边形的性质，可知O是AC和BD的中点，从而这四个直角三角形面积相等. 对于Rt△AOB而言，斜边AB已知，如果能求得其一条直角边，那么就能求得另一条直角边，进而可求得其面积，从而可得菱形ABCD的面积. 教材 例题 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=13cm，AC=24cm。 求这个菱形的面积. 证明：∵四边形ABCD是一个菱形， ∴AC⊥BD(菱形的两条对角线互相垂直). ∴∠AOB=90°，△AOB为直角三角形. ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD(平行四边形的对角线互相平分). ∴ 在RtAOB中，. ∵ AC=24 cm, ∴0A=AC=X24=12(cm). 又∵AB=13cm, ∴OB== =5(cm). ∴=2OA ▪ OB=2X12X5=120(). 教材 例题 由例题可以知道，已知菱形的两条对角线可以直接计算菱形的面积，即菱形的面积等于其对角线乘积的一半. 如图，已知:在菱形ABCD中，A=60，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF=60°. 求证:DE=DF. 分析：已知四边形ABCD是一个菱形，且∠A=60°，由此想到，连接对角线DB后，可以得到两个等边三角形.若要证明DE=DF，只要证明它们分别所在的两个三角形全等即可. 证明：如图，连接对角线DB. ∵ 四边形ABCD是一个菱形， ∴ AD=AB. ∴ ∠ADB=∠ABD. 又∵∠A=60°,∴∠ ADB=∠ABD=60°. ∴△ADB是一个等边三角形.∴AD=BD. 又∵∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF. ∴∠ ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB. ∴ ∠ADE=∠BDF.∵AD//BC,∴∠DBF=∠ADB=60°. 又∵∠ A=60°，∴∠DBF=∠A.∴ △ADE≌△BDF.∴DE=DF. 教材 例题 由菱形的定义可以判定一个四边形是菱形.对于平行四边形而言， 如果要判定它是一个菱形，那么它的边至少还要满足怎样的条件? 利用菱形的定义和平行四边形的性质，可以推出菱形的一个判定定理: 定理1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 符号语言： 如图，在□ABCD中， ∵AB=BC，∴□ABCD是菱形. 你能根据菱形的定义证明吗？ 如图，已知:在平行四边形ABCD中，AB=AD.求证:平行四边形ABCD是一个菱形. 证明：因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1，得AB=CD，BC=AD. 又因为AB=AD， 所以AB=CD=BC=AD. 根据菱形的定义，得平行四边形ABCD是一个菱形. 教材 例题 仅有三条边相等的四边形一定是菱形吗? 如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到菱形的一个判定定理: 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 不一定是 你能根据菱形判定定理1证明吗？ 如图，已知:在平行四边形ABCD中，AC⊥BD.求证:平行四边形ABCD是一个菱形. 证明：记O为对角线AC、BD的交点. 因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理3，得BO=DO. 又因为AC⊥BD， 根据线段垂直平分线的性质定理，得AB=AD. 进一步由菱形的判定定理1，得平行四边形ABCD是一个菱形. A B C O D 如图，已知:EF是平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线，且分别与边AD、BC交于点E、F，垂足为O.求证:四边形AFCE是一个菱形. 分析：已知EF⊥AC，所以要证四边形AFCE是一个菱形，只要证明四边形AFCE是一个平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴AE//FC. ∴∠EAC=∠ACF.∵EF垂直平分AC, ∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90° ∴△AOE≌△ACOF. ∴ EO=FO. ∴四边形AFCE是一个平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 又∵ EF⊥AC， ∴四边形AFCE是一个菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 教材 例题 1.填空题: (1)矩形和菱形都具有的性质是 (2)矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (3)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 对边相等 教材 练习 课内练习 对角线都相等 四条边相等 2.已知一个菱形的两条对角线的长分别是12和65，求它的面积. 解：菱形的面积公式: S=× 其中， =12， 代入公式计算: S= 12 × = 答:该菱形的面积是 3.如图，已知:在四边形ABCD中，AD//BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC.求证:四边形ABCD是一个菱形. 证明:在△ ADE和△ CDE中，AD=CD,DE=DE,EA=EC, ∴ △ ADE≌ △ ACDE, ∴∠ADE=∠CDE. ∵AD//BC,∴∠ADE=∠CBD, ∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD. 又∵AD=CD,∴BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AD=CD,∴四边形ABCD是菱形. 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积. 解：在菱形ABCD中， 因为AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 所以BO===3，AC=2AO=2× 4=8， 所以BD=2BO=6. 所以S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=24. 基础巩固题 2.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A:∠ABC= 1:2.求△ABD的周长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A+∠ABC=180°，AB=AD. ∵∠A:∠ABC=1:2，∴∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴△ABD的周长为3×4=12. B A D C 3.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：是一个菱形. 理由：∵这是两张对边平行的纸条， ∴重合的四边形两组对边分别平行， ∴重合的四边形是平行四边形. 又两张纸条等宽，∴AB=BC， ∴四边形ABCD是一个菱形. A B C D 4.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF. 求证：△DEF是等边三角形. A D C B E F 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC，∠C=∠A=60°， ∴△ADB≌△DBC（SAS）,△ADB，△DBC都是等边三角形， ∴∠ABD=∠CBD=60°. ∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEB=∠DFB=90°，∴∠EDB=∠FDB=30°，∴∠EDF=60°. ∵△DBE≌△DBF，∴DE=DF，∴△DEF是等边三角形. 能力提升题 证明：证法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴∠1=∠2. 又∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF，∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. A B D C F E O 1 2 5.如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． A B D C F E O 1 2 证明：证法二 ∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC，AF=FC，OA=OC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠1=∠2. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF (ASA). ∴EA=FC, ∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形. 5.如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 性质 菱形的两条对角线互相垂直. 面积等于对角线长的乘积的一半 是轴对称图形，有两条对称轴 菱形 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 课堂小结 教科书第32页练习 第1，2，3题 布置作业 $