精品解析：新疆克拉玛依市独山子第二中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

独山子第二中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3、考试范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册的第四章 4、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知空间向量，，若，则实数的值为（ ） A. 6 B. -6 C. 3 D. -3 2. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，则公比 （ ） A. B. C. 3 D. 13 4. 在等差数列中，若，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C D. 6. 已知双曲线实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知数列首项为，公差为，前项和为，若，则下列选项不正确的是（　　） A. B. C. 取到最大值 D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分) 9. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 10. 已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________． 13. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，则 （1）圆的方程是___________； （2）过点（1，1）的直线交圆C于点两点，则弦长的最小值为___________． 14. 设数列满足，记前项和为，则的通项公式为______，前项和为______． 四．解答题（共6小题，满分77分） 15. （1）已知等差数列的前项和为，已知，求； （2）已知的前项和为．若，求． 16. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围． 17. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求线段的长度； （3）过抛物线焦点的直线交抛物线于C，D两点，若，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，满足，当与平面所成角为时，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点， ①求直线的方程； ②求的面积． 20. 已知等比数列的公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3、考试范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册的第四章 4、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知空间向量，，若，则实数的值为（ ） A. 6 B. -6 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标公式即可求解. 【详解】由可知，解得. 故选：B 2. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】在长方体中，以为基底， 则， 所以. 故选：A. 3. 在等比数列中，，则公比 （ ） A. B. C. 3 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出. 【详解】， ∴， 故选：C. 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的等差中项求得结果. 【详解】在等差数列中，，解得. 故选：C. 5. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 6. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 7. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求出，设，由弦被点平分得到，，将代入椭圆方程得到，这两个等式相减，经过整理结合斜率公式得到直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】椭圆，设过点的直线与椭圆交于点， 弦被点平分，，， ，这两个等式相减得到， ， ，， ，， ， 设直线的斜率为，， . 直线的方程为，整理得. 故选：A. 8. 已知数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列选项不正确的是（　　） A. B. C. 取到最大值 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，进而计算可判断选项A；再逐一计算判断BCD即可. 【详解】因为，所以，得到， 所以，故选项A正确； 选项B，又，故选项B正确； 选项C，因为，所以数列前19项均为正数，从第20项起为负数， 所以取到最大值，故选项C正确； 选项D，又，故选项D错误. 故选：D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分) 9. 以下四个命题是错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则 C. 已知直线与平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D. 【详解】对于A, 直线，即， 由于，故，即直线恒过定点，A错误； 对于B，直线与互相垂直， 则，解得，B正确； 对于C，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与平行，符合题意，C错误； 对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为， 将点代入，即得，解得，此时直线方程为， 即，综合可知直线方程为或，D错误， 故选：ACD 10. 已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长6 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线几何性质即可逐项分析求解. 【详解】根据题意可得，，所以， 所以双曲线的实轴长为，故A正确； 双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误； 双曲线的离心率为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故D错误. 故选：AC. 11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________． 【答案】2 【解析】 【详解】抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2. 考点：抛物线的标准方程. 13. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，则 （1）圆的方程是___________； （2）过点（1，1）的直线交圆C于点两点，则弦长的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对①，由直径的两端点求圆心和半径，得到圆的方程；对②，当圆心与点的连线与垂直时，弦长最短，由弦长公式求解. 【详解】对于①：因为圆一条直径的两个端点分别为，设圆心，则， 所以圆心，又直径长为， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； 对于②：当圆心与点的连线与垂直时，弦长最短， 此时圆心到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：①；②. 14. 设数列满足，记的前项和为，则的通项公式为______，前项和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：对递推公式再递推一步得到新的递推公式，两个递推公式相减进行求解即可； 空二：利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】∵， 故当时，， 两式相减得，∴． 又由题设可得，满足上式， 所以的通项公式为， 又， . 故答案为：； 四．解答题（共6小题，满分77分） 15. （1）已知等差数列前项和为，已知，求； （2）已知的前项和为．若，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后根据等差数列前项和公式求出结果. （2）分时，分别求出结果. 【详解】（1）因为为等差数列，，所以公差为. 由于等差数列的前项和为，所以. （2）当时，. 当时，. 所以. 16. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角. （2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边，再用面积公式计算. （3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，再求出函数的取值范围即可. 【小问1详解】 且，. 由正弦定理，得， 代入上式得， ，又，. 【小问2详解】 在中，由余弦定理：. 又，代入上式得，或（舍）. . 【小问3详解】 在中，，由正弦定理得. . 又，. . ，，. 即的取值范围是. 17. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求线段的长度； （3）过抛物线焦点的直线交抛物线于C，D两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线，解得，从而得到抛物线的标准方程和准线方程； （2）求出直线的方程，直线和抛物线联立方程组，消去，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系得到，利用公式求出的值. （3）过抛物线焦点的直线交抛物线与两点，由得到直线一定存在斜率，利用点斜式设出直线的方程，直线和抛物线联立方程组，消去，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系得到， 求出的坐标，由得到，结合抛物线求出的坐标，利用斜率公式求出，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 抛物线过点， ，， 抛物线的标准方程为， 准线方程为. 【小问2详解】 抛物线的方程为， 焦点坐标为， 过抛物线的焦点作斜率为1的直线交抛物线于两点， 直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得到， 设， 则， . 【小问3详解】 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点， ，直线一定存在斜率， 焦点坐标为， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得到， 设，则， ， ，， ， ， ，， ，，，， ，，，，， 当时，，， ，， 直线的方程为， 当时，，， ，， 直线的方程为， 综上可得，直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，满足，当与平面所成角为时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量与的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，进而得到异面直线间的夹角. （2）先求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面和平面夹角的余弦值. （3）先求出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出线面角的正弦值，进而求得结果. 【小问1详解】 因为底面，平面， 所以，因为， 所以以原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则. 所以，所以向量与所成角的余弦值为 . 因为异面直线与所成角的范围为，所以异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 因为平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为. 则有，即，令，则，所以. 所以平面和平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，因为根据勾股定理，所以. 所以，所以. 由（2）得平面的一个法向量为. 所以当与平面所成角为时，有. 化简得，解得， 由于，所以. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点， ①求直线的方程； ②求的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意列出所满足的条件，解出的值，可求得椭圆的方程； （2）①设直线的方程为，利用直线与圆相切可求得直线的方程；②联立直线与椭圆方程，求得，利用三角形面积公式可求面积. 【小问1详解】 由题意，得，解得． 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①由（1）知椭圆的右焦点． 设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以直线的方程为． ②当直线的方程为， 由方程组，解得或， 所以． 又因为O到直线PQ的距离为，所以的面积为； 由对称性可知直线的方程为时，的面积也为； 综上所述：的面积为． 20. 已知等比数列的公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案； （2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求； （3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 , 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以. 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $