1.3《直角三角形》第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第3节 直角三角形 第2课时 直角三角形的全等判定“HL” 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过回顾一般三角形全等的判定方法,对比分析直角三角形的特殊性,提出关于直角三角形全等的特殊判定猜想. 2.通过尺规作图验证猜想、勾股定理推导证明,掌握“斜边、直角边”（HL）判定定理的内容与证明逻辑. 3.通过例题解析与生活实例应用,能运用HL定理解决直角三角形全等的相关问题, 理解“特殊与一般”的数学思想. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 观察右边的纸上卡通图，AB=10cm，∠1=38°，现在需要保证AC=8cm,你能确定点C处卡通人物的位置吗？ 小明借助圆规画图后，出现了右侧的图形，他画的对不对？你知道他是怎样画的吗？如果限定∠1=90°呢，这个时候的点C你能确定吗？ 4 问题构建 问题1:观察右图中的△ABD与△ABC，有哪些相等的边和角？ AB是公共边，∠1是公共角，AD=AC. 追问1:这两个三角形全等吗？ 不全等 追问2:你学过哪些判定两个三角形全等的方法？ SSS、SAS、AAS、ASA. 追问3:如果将∠1改为90°,你觉得两个三角形会全等吗？动手画一画，说说你有什么发现？ 5 问题构建 问题2:已知斜边和一条直角边,这个直角三角形是确定的吗？为什么？ 直角三角形三边满足勾股定理,当其中两边确定后,另一边也随之确定.两个三角形满足SSS的判定条件. 追问1:已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢？ 画图的关键是作图顺序，应该先确定直角，再去画边. 追问2:动手画一画草图，和你的同伴互相看一看，有没有什么区别？ 问题构建 追问3:用哪种方法可以验证两人画的图是否完全一样？ 度量长度或者重叠图形观察 梳理上述作图过程,请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边,用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 如图,已知线段a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC,使∠C = 90°,AB=c，BC=a. 问题构建 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 作射线CN. 过点C作射线CN的垂线CM. 3. 在射线CM上截取CB=a. 4. 以点B为圆心,以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A. 5. 连接AB. △ABC 就是所要作的直角三角形。 把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗？ 问题构建 可以发现:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.请你尝试证明这一结论. 证明：在△ABC中， ∵∠C=90° ∴BC²=AB²-AC²(勾股定理) 同理,EF²=DE²-DF²。 ∵AB=DE,AC=DF ∴BC=EF. ∴△ABC≌△DEF(SSS) 已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠C=∠F=90°,AB=DE，AC=DF.求证:△ABC≌△DEF. 协作破冰 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL” 问题3:一般三角形中“两边及其中一边的对角对应相等”（SSA）不能判定全等,为什么直角三角形中 HL（本质是 SSA）却能判定全等？ 直角的特殊性是关键,体现了“特殊与一般”的关联. 追问:判定两个直角三角形全等,你目前一共有几种判定方法？ SSS、SAS、AAS、ASA、HL. 协作破冰 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 协作破冰 例1 如图 ,有两个长度相等的梯子,左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等,两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？ 解：根据题意,可知 ∠BAC=∠EDF=90° BC=EF,AC=DF ∴ Rt△BAC≌Rt△EDF (HL) ∴ ∠CBA=∠DEF（全等三角形的对应角相等）。 ∵ ∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余） ∴ ∠CBA+∠EFD=90° 协作破冰 例2（课本P32页第10题）在如图所示的三角形纸片ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°.按如下步骤,可以把这张直角三角形纸片分成三张全等的小直角三角形纸片（图中虚线表示折痕）： ①折叠三角形纸片ABC,使点B与点A重合,折痕交BC于点D,交AB于点E；②将折叠后的纸片再沿AD折叠. (1)由步骤①可以得到哪些等量关系？ 根据折叠的性质:折叠前后的图形全等,对应边相等,对应角相等. 因为折叠三角形纸片ABC,使点B与点A重合,折痕交BC于点D,交AB于点E,所以可得： 线段相等关系:AE=BE,AD=BD. 角相等关系:∠B=∠DAE=30°,∠BED=∠AED=90°，∠BDE=∠ADE 教师示范 (2)请证明△ACD≌△AED. 证明:在△ACD和△AED中： ∵∠C=90°，由（1）中折叠性质可知∠AED=90°，∴∠C=∠AED ∵∠C=90°,∠B=30° ∴∠CAB=180°−∠C−∠B=180°−90°−30°=60°∵∠DAE=30° ∴∠CAD=∠CAB−∠DAE=60°−30°=30° ∴∠CAD=∠EAD。 AD是公共边. 根据全等三角形判定定理中的AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得△ACD≅△AED. 教师示范 (3)按照这种方法,能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？ 不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形. 理由:在本题的直角三角形ABC中,因为∠B=30°，∠C=90°,通过折叠得到的三个小直角三角形全等.但对于任意的直角三角形,其锐角的度数是不确定的,不满足本题中特定的角度关系,所以不能按照这种方法将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形. 巩固拓展 问题4:回顾反思等腰三角形与直角三角形的学习过程，研究特殊几何图形的一般路径是怎样的？ 收集素材 观察与感知 直观认识 动手操作 实验与猜想 推理与证明 定理总结与应用 拓展与延伸 关联其他知识 解决生活实际问题 巩固拓展 例3 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC＝6cm,BC＝8cm，将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕是DE,求CD的长． 解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝xcm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的长为1.75 cm. 当堂检测 1.如图,是内一点，于点， 于 点，，则能直接得到 的理由 是( ) A B. C. D. 当堂检测 2.如图，于点， 于点，. 若要用“”判定 ，则需要添加的条 件为_________. 当堂检测 A 3.如图，是路段的中点，小明和小红两人从 同时出发，以相同的 速度分别沿两条直线行走，并同时到达，两地.若于点 ， 于点，则，与路段 的距离相等吗？为什么？ 当堂检测 解：是路段 的中点， . 小明和小红两人从 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走， . ， ， . 在和 中， . ， 即，与路段 的距离相等. 反思总结 1.本节课学习的HL定理与我们之前学的SSS、SAS等全等判定方法有什么联系与区别？ 2.结合本节课的探究过程,你能说说“特殊图形可以有特殊的判定方法”这一结论的具体体现吗？ 3.运用HL定理解决问题时,需要注意哪些前提条件？请结合一个实例说明. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第30页 第1,2题 二、素养类作业 课本P32页 第10题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $