树人学校2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试题

树人学校2025-2026期末模拟试卷1 高一数学2026.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】2 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2．如果关于的不等式的解集是，那么等于（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 3．用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理，计算端点处函数值，即可求解. 【详解】由于 均为定义域内的单调递增函数，故在单调递增， 故存在，使得 ， 故选：B 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 5．若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解. 【详解】由题意令，得，而此时， 所以，角的终边经过定点， 所以， 所以. 故选：B 6．已知函数的定义域为为偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，可得函数关于对称，从而可得出函数在上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可. 【详解】解：因为函数为偶函数， 所以函数关于对称，则， 因为在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 由不等式， 得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 7．已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先证明函数为奇函数，由可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】，函数定义域为R，关于原点对称， ， 所以为奇函数，有，由解析式可以看出单调递增， 由，得，即， 为正实数，则有，当且仅当即时等号成立， 则有，所以， 得，当且仅当时等号成立，则的最小值为4. 故选：A 8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（    ） A．m=2 B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】BD 【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合奇函数性质与幂函数单调性计算即可得D. 【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A不正确； 对B：由，则，故B正确； 对C：由，故不是偶函数，是奇函数，故C错误； 对D：由，在上单调递增，故可得，解得，故D正确. 故选：BD. 10．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．，都有 D．若在上有最大值，则b的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质以及单调性逐项分析即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； ，则， ，故C正确； 作出函数的图象，如图所示. 当时，，由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意. 综上b的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱P距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（   ）    A． B． C． D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为107米 【答案】ACD 【分析】先由周期求出角速度 ，再利用初始位置（高度最小）确定相位 ，接着代入已知时间点的高度求出 ，最后验证各选项即可. 【详解】已知周期 分钟，故 ，选项A正确； 初始位置 时高度最小，代入 ，且 （），得 ， 即 ；代入 时 ， 得 ，解得 ，选项B错误； 当 时，，选项C正确； 最大高度为 米，选项D. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①为偶函数；②的最小值为3；③是周期为2的函数． 【答案】 【分析】根据题设对函数的限制条件，即可直接写出满足题意的解析式. 【详解】为偶函数，故关于对称； 则满足题意的函数答案不唯一，可以为：. 故答案为：. 14．已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，函数为上的连续函数， 所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合． (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交集以及并集，补集的定义求解， （2）将问题转化为真子集的关系，即可列不等式求解. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 由，解得，即， 若，则，所以，， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 由于恒成立，故， 所以且等号不能同时成立，解得， 即的取值范围是. 16．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求解. （3）利用已知求得，，结合诱导公式化简表达式，进而计算可求解. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）因为为角终边上一点，所以， 所以，. ， 原式. 18．已知函数（，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)（）； (3)或． 【分析】（1）由条件易得，代入点，结合，可求出即得； （2）将看成整体角，利用正弦函数的递增区间，即可计算得到的递增区间； （3）由图象经伸缩平移变换得到，取，由，可得，结合函数图象，使其与直线在上只有一个交点可得的取值范围. 【详解】（1）由的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，即； 则，那么． ．图象过点，代入可得， 又因为，则，可得， 故函数解析式为； （2）因的单调递增区间为，（）， 由，解得，（） 函数的单调递增区间为（）； （3）将的图象向右平移个单位后，得到的图象， 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即， 不妨取，由，可得. 在上只有一个实数解，即函数图象与直线在上只有一个交点，如图.    由的图象可知：须使或，故实数的取值范围为或． 19．已知函数为奇函数，其中为实数． (1)求实数的值； (2)若时，用定义证明在定义域内单调递增； (3)在（2）的条件下，已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，化简整理，结合恒等式的性质，可求得的值； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可； （3）首先判断函数为奇函数，且在上单调递增，由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，运用换元法和指数函数的单调性，结合对勾函数的单调性，分段讨论求得不等式右端最大值，进而得到所求范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 化简整理可得，因为所以，解得； （2）证明：若时，可得，则， 则取任意，且， 可得， 由，可得，即有， 即， 即， 所以在上单调递增； （3）因为在上为奇函数， 所以不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 由可得在上单调递增， 所以不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 即有在恒成立， 当时，，即； 当时，， 由在递减， 可得，， 可得，即； 在时，， 由在递减， 可得，即有， 可得，即， 综上可得，的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， (1)对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】(1)为定值，定值为 (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. （2）， ，得证. （3）依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $树人学校2025-2026期末模拟试卷1 高一数学2026.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知集合A={-2人0：4,6}，B={xx<4},则A∩B=() A.{-2,-1,4}B.{-2,-l,0}C.{-1,04}D.{-2,-1,0,4} 2.如果关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(1,3)，那么a+b等于() A.1 B.7 C.-7 D.-1 3.用二分法求函数f(x)=lx+2x-6在x∈(2,3)内零点近似值的过程中，得到 f(2)<0,f(2.5)<0,f(2.75)>0,则函数f(x)的零点落在区间( A.（2,2.5)B.（2.5,2.75)C.（2.75,3)D.不能确定 4.设a=3.1,b=sin3,c=logo.13,则( A c>b>a B.axb>cC.b>azcD.a>c>b 5.若角x的终边经过函数y=log。(2x-1)+2（a>0且a≠1)的图象上的定点B,则 2sina+cosa=(） A.35B.0c.5D.7d 10 6.已知函数()的定义域为R,fx+为偶函数，f()在2树上单调递增，则不 等式f(x+1)>f(-1)的解集为() A.(-2,+)B.(-0,-2）C.(-2,1）D.（-0,-2)U(1,+o) 7.己知函数f(x)=8(V+1+x,正实数a,b满足f(2a-2)+f6)=0,则2a+ 6的 最小值为() A.4B.2C.6D.8 8.已知函数f()= 2+1,x≤2 og,(x-2列，>2若关于x的方程/()-(a+8)f()-a=0有6个不 第1页，共4页 同的实数根，则实数a的取值范围为() A%o)B[0）c（4D.(4) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9:已知幂函数f(x)=(m-1)x的图像经过点(2,8)，下列结论正确的有（) A.m=1 B.f(0)=0 C.f(x)是偶函数 D.若f3-2x)>f(x+1),则x< 3 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+4x+a,则下列说法正 确的是( A.a=0 B.当x<0时，f(c)=x2-4x c.0,都有s(） 2 D.若f(x)在[-4，b)上有最大值，则b的取值范围是(-4,0口(2，+∞） 11.如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动） 的转动时间t(单位：分钟)与座舱P距离地面的高度h()(单位：米)的函数关系式为 a0)=50sn(+)+hr@>0,4<),且开给转动分钟后，座舱P 距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的 高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（) A.0=元 10 B.h=60 C.H>92 D.该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为107米 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.en3-l0g23-log,4+83= 13.写出一个同时满足下列条件①②③的函数f(x)= ①f(x-1)为偶函数：②f(x)的最小值为3；③f(x)是周期为2的函数. 14.已知函数f)=x++a(e-e,当x>0时f)≥0恒成立，则a的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15(本题g分》已知来合A-君08=k2c-m, (1)若m=1,求AUB和A∩(dB); (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围. 16(本题15分)角x的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(1,2)为角x 终边上一点. (I)求tana的值； sina+ 5π 2023π cos(2024π-x) cos a- sin(π-x) (2)求 2 2 的值， cos(π-c) sin(n+a) (本题15分)已知函数/☒=sm@x+(®>0，二<p<)的图象与x轴的交点 相邻两个交点之间的距离为死， 且图象过点M (1)求f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)将函数f()的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变)，得到函数)y=g()的图象，若关于x的方程g()+k=0,在区间0引上有且 只有一个实数解，求实数k的取值范围. 18(本题17分)已知函数f(y)=2a为奇函数，其中a为实数.(1)求实数a的值； a.2x+1 (2)若a>0时，用定义证明f(x)在定义域内单调递增； (3)在(2)的条件下，已知不等式f(f(x)+f2)<0在x∈[-1,1上恒成立，求实数t的取 值范围. 19(本题17分)意大利著名天文学家伽利咯曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛 物线.直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961 年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物 理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数， 最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦 函数为8（句，已知这两个最基本的双曲函数为）-°，g)-e 2 (1)对任意实数x,[f(x)了-[g(x)]是否为定值，若是定值，请求出定值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y); (3)证明：F(x)=f(x)+g(x)+n[f(x)+g(x)]-2有唯一的正零点x,并比较和血 一的 4 大小.