精品解析：天津市部分区2025-2026学年第一学期期末练习高二数学试题

天津市部分区2025~2026学年度第一学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用截距定义令计算求解. 【详解】令，则， 则直线在轴上的截距是1. 故选：C. 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量与共线，所以，解得， 所以. 故选：C 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出，直接求离心率即可. 【详解】由可得， 所以，故， 所以， 故选：D 4. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列列式得出，再应用等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为等差数列的公差为，又因为，，成等比数列， 则，即得，所以，即， 则. 故选：C. 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 6. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系． 【详解】圆可化简为：， 因为圆与圆的圆心分别为和， 所以两个圆的圆心距 两个圆的半径分别为 因为，所以两个圆外离. 故选：C 7. 设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】如图， 对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：B 8. 在等差数列中，，，设，则（ ） A. 41 B. 50 C. 61 D. 74 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先求出等差数列的通项公式，然后判断数列的性质，然后化简，最后根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以设公差为，则由得. 所以. 当时，，当时，， 记等差数列的前项和为， 所以. 由于. 所以. 故选：B. 9. 已知，，点在曲线上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线过点， 过点与直线平行的直线方程为，两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 故选：A. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可. 【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题. 11. 向量与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积坐标公式先求出余弦值，进而得到向量的夹角. 【详解】因为向量与， 所以. 所以. 又向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 故答案为：. 12. 直线被圆截得的弦长为，则实数______. 【答案】2或 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心坐标为，该圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得或. 故答案为：2或. 13. 设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式化简等式，进而求出该数列的公比. 【详解】因为等比数列的前项和为，设该等比数列的首项为，公比为， 当公比时，，此时，不合题意，所以. 当时，. 因为，所以. 解得，所以该数列的公比为. 故答案为：. 14. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为5厘米. 故答案为：5 15. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出圆的方程和双曲线的渐近线方程，然后将这两者联立，得到的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式列出等式，求得，最后根据面积公式得到等式，从而可求出，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题意可知，，双曲线的渐近线方程为. 以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为. 因为以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，所以联立方程 ，得，化简得， 所以，所以. 因为，所以，解得. 由于四边形的面积为，所以. 由得，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知为等比数列，，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式计算即可. （2）先化简的表达式，然后根据分组求和进行计算即可. 【小问1详解】 设数列的公比为，由，， 得，解得， 又，故， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得，， . 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）求过原点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. （2）按切线斜率是否存在分类，再利用切线的性质，结合点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知圆的标准方程为. 过原点且斜率不存在的直线为， 点到直线的距离为，等于半径，则直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长. 【答案】（1） 如图，以为原点，，，所在的直线为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量，∴，， ∴， 令，得，所以， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. （2）； （3）1 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，进而证明结论. （2）根据点到平面的距离公式，结合（1）中求出的平面的法向量坐标计算即可. （3）先求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面夹角的余弦值，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量， 记点到平面的距离为，则 点到平面的距离为. 【小问3详解】 由题意点在线段上，可设，则 ， 设平面的法向量，∴，， ∴ 令，得，，所以， 因为平面与平面夹角的余弦值是， 所以， 解得，所以的长为1. 19. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距先求出，然后结合线段的长求出，进而得到椭圆方程. （2）先根据垂直求出直线的斜率，然后设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据相切求出直线的方程，进而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则，. 由可得，即， 又，解得， ∴椭圆的方程. 【小问2详解】 由（1）得，，∴直线的斜率为， 记与直线垂直的直线为，∴直线的斜率为， 设直线的方程为，与联立消去， 得， ∵直线与椭圆相切， ∴，解得， 因为与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点位于第一象限， 所以， 此时，方程为， 即， 解得，此时，即， 而直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 又， 所以三角形的面积. 20. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求出递推关系，然后因式分解可得为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求解即可； （3）将裂项为，然后求和即可得证. 【小问1详解】 ∵①， ∴②， 由②-①得， 即. 又，∴. 又，解得或0（舍）， 故. 【小问2详解】 由（1）可知：， 记，则③， ④ 由③-④得 ， ∴ 【小问3详解】 由（1）可知 于是有： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2025~2026学年度第一学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 外离 D. 内含 7. 设抛物线：的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在等差数列中，，，设，则（ ） A. 41 B. 50 C. 61 D. 74 9. 已知，，点在曲线上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 抛物线的准线方程为________． 11. 向量与的夹角为______. 12. 直线被圆截得的弦长为，则实数______. 13. 设等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为______. 14. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽和两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，设滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当，之间的距离为8厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为______厘米. 15. 双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知为等比数列，，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）求过原点且与圆相切的直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）设点在线段上，若平面与平面夹角的余弦值是，求的长. 19. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）与直线垂直的直线与椭圆有唯一交点（位于第一象限），求三角形的面积. 20. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $