河南辉县市吴村镇中心学校等校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学(HS) 测试范围：21.1-27.2 题号 二 三 总分 分数 评卷人 得分 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 把 有一个是正确的) 1.一元二次方程x2+2x-6=0的一次项系数是 A.1 B.2 C.-6 D.0 2.下列计算正确的是 【 A.3-27=-33 B.√8×√2=4 C.(5-2)2=5-√6 D.√（-2)2=-2 纲 3.小麦种子在相同条件下的发芽试验，结果如表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 567 949 1902 2850 发芽频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.949 0.951 0.950 则估计小麦发芽的概率是 A.0.950 B.0.960 C.0.945 D.0.940 4.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠B=60°，∠ACD=38°，则LDAC的度数为 【】 A.44° B.34° C.30° D.22° 茶 第4题图 第5题图 5.如图，等边△ABC纸片的边长为15，D,E是边AC的三等分点，分别过点D,E沿着平行于 BC,AB的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 【】 A.9 B.6 C.15 D.12 辩 6.若关于x的一元二次方程x2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是 【】 A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠0 第1页（共6页） 7.如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心，作出与 △AOB的位似比为k的位似△CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为 【】 A.(0,0),2 B.(2,2), C.(2,2),2 D.(1,1),2 8 60 75 01 6 图 图2 第7题图 第9题图 第10题图 8.若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则y1,y2,y3的 大小关系正确的为 【】 A.y1>y3>y2 B.y1>y2>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 9.如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处， 此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是 【】 A.（(203-20)海里B.20/2海里 C.20/3海里 D.(203-202)海里 10.数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具.伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识 抛物线.如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点O为坐标原点建立平面 直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对称.已知抛物线 的表达式为y=-0.2x2+1,若点A到x轴的距离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是 【】 A.√2dm B.2dm C.4dm D.2/2dm 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.√a(a≠0)与2是同类二次根式，则a可能是 (写出一个即可). 12.将抛物线y=-4x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线 的表达式为 13.从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx +1=0有实数根的概率为 14.如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点0,0是AC的中点，B0=2D0,已知AB=4, AD=2,an∠ACD=号，则4C的长为 E B ⊙ 第14题图 第15题图 15.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,点E在AB上且AE=3,点F在AC上，连接EF,若△AEF 与△ABC相似，则AF= 第2页（共6页） 评卷人 得分 三、解答题（共8题，共75分） 16.（16分)(1)计算：√4+⑧-√12÷√6； (2)计算：W3tan30°+2cos45°-sin260°， 3)计算：已知本，=号求y的值 (4)解方程：(x-2)(x-3)=12 17.(8分)已知二次函数y=mx2+4mx-5m(m为非零常数)经过点(-1，-8). (1)求m的值； (2)若原二次函数的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,求SABC的值； (3)当-3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差. 18.(8分)已知一元二次方程x2+bx+9=0, (1)求证：当b>6时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这 个等腰三角形的周长 第3页（共6页） 19.(8分)如图，已知AB∥DC,点E、F在线段BD上，AB=2DC,BE=2DF. (1)求证：△ABE∽△CDF; (2)若AE=8,求CF的长 20.（8分)太谷白塔（如图1）是我国八大白塔之一，是一座具有1700多年历史的八边形七级 楼阁式砖木结构塔.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借 助无人机设计了如下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米(AB=23.4米)的点B 处测得塔顶的仰角为30°.向靠近塔的方向水平飞行14.8米到达点C,再次测得塔顶的 仰角为45°，点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，点A,E在同一水平直线上，则太谷白塔 DE的高度为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：W3≈1.732，√2≈1.414) D 4530B 图1 图2 第4页（共6页） 21.(8分)张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直 平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D,测得AB=24cm,CD=8cm. (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求(1)中所作圆的半径 22.(9分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,直线y=x+1与抛物线交于A,D两点.点P为直线AD上方抛物线上的一点（不与A、 D重合)，连接AP,DP (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形ABDP的面积的最大值； (3)点Q是直线AD上的任意一点，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点 Q的坐标 D B 备用图 第5页（共6页） 23.(10分)一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同 种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研 究和求解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问 题： 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45° (A、D、E按逆时针方向)， (1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E ①求证：△ABD∽△DCE; ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长； (2)如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC延长线相交于点E', 是否存在点D,使得△ADE是等腰三角形？若存在，求出CD与AE的长；若不存在， 请简要说明理由. 45 D 图1 图2 第6页（共6页） 九年级数学(HS) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.B2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.C9.A10.D 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.8(答案不唯-)12y=-4(x-2)-3.13.分14915.是或4 3 三、解答题（共8题，共75分） 16.解：(1)原式=2+22-√2 =2+万.…4分 (2)原式=6×5+2×号-（停）户 =1+-是 =万+子 …4分 3解，号 .7x=3(x+y）, .7x=3x+3y, .4x=3y, 小=子即y=4 …4分 (4)解：(x-2)(x-3)=12 x2-3x-2x+6=12 x2-5x-6=0 (x-6)(x+1)=0 .x-6=0或x+1=0, .x1=6,x2=-1.… 4分 17.(1)解：将(-1，-8)代入y=mx2+4mx-5m, 得：-8=m-4m-5m, 解得m=1;… …2分 (2)解：当m=1时，y=x2+4x-5, 令x2+4x-5=0,则x=1或x=-5, 可得AB=1-(-5)=6, 将x=0代入y=x2+4x-5,得y=-5, 故点C坐标为(0，-5)， Sr=分×4Bl =7X6x5=15好m …5分 (3)解：由题意得y=x2+4x-5=(x+2)2-9, ∴.对称轴为直线x=-2,且a=1>0, ∴.抛物线开口向上， ∴.当x=-2时，y有最小值为-9， a>0,且直线x=2比直线x=-3距离对称轴较远， .将x=2代人y=(x+2)2-9可得y的最大值为7， 当-3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为：7-（-9)=7+9=16…8分 18.(1)证明：a=1,c=9, .b2-4ac=b2-4×1×9=b2-36, b>6,.b2-36>0 .当b>6时，方程总有两个不相等的实数根. 4分 (2)解：一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， 该方程有两个相等的实数根， ∴△=b2-4×1×9=b2-36=0,解得：b=6或-6， 当b=6时，原方程可化为x2+6x+9=0,即(x+3)2=0,解得：x1=x2=-3,不符合题意； 当b=-6时，原方程可化为x2-6.x+9=0,即(x-3)2=0,解得：x1=x2=3, .该等腰三角形的两腰均为3， ∴.该等腰三角形的周长为2+3+3=8. 综上，b=-6,等腰三角形的周长为8.…8分 19.（1)证明：AB∥DC, ∠B=∠D, BE=2DF,AB =2DC, 怨器=2， .△ABEM△CDF; 4分 (2)解：能=2，△ABE△CDr, 小得瓷2 AE=8, cF=分AB=4 …8分 20.解：如图2，延长BC交DE于点F 0下 45入30 图2 由题意知，AB=23.4m,BC=14.8m,∠DBF=30°，∠DCF=45°， ∠DFB=∠EFB=∠E=∠A=90°， ∴.四边形ABFE是矩形， ∴.EF=AB=23.4(m), :在RADFB中，LDFB=90°，∠DBF=30°，.tanLDBF=D BE i5D ∴BF=DF 在R△DFC中，∠DFC=90°，∠DCF=45°， CFCEDF .BC=BF-CF=14.8(m), .√5DF-DF=14.8m, 解得DF≈20.22m, .DE=DF+EF=20.22+23.4≈43.6(m), 答：太谷白塔DE的高度约为43.6米.…8分 21.解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于0点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆， 如图1所示. 4分 图1 (2)连接OA,如图2所示： OA=x,AD=12cm,OD=(x-8)cm, 则根据勾股定理列方程： x2=122+(x-8)2, 解得：x=13. 答：圆的半径为13cm. …8分 图2 22.(1)解：抛物线y=a.x2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 则0=a-b+3 l0=9a+3+3' 解得82 .抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3; 联立=+2+3 ,则x2-x-2=0, ly=x+1 解得x=-1或x=2, 当x=2时，yn=2+1=3, D(2,3）;…3分 (2)Sm=24B·n=分×(3+1)×3=6为定值，且SnEm=5m+Sw, .当△ADP的面积最大时，四边形ABDP的面积最大， 过点P作x轴的垂线交AD于点K, D B 设点P(P,-p2+2p+3)(-1<p<2),则K(pP,p+1), PK=-p2+p+2, .SAAoP=2 K(x-)=7x[2-(-1)](-p2+p+2)=子x(-F+p+2)=-p-]2 +22 8 3 -2<0, 当p=之时，Sam有最大值，最大值为贸 此时Sm=Sw+Sw=6+g-2。 四边形AB0P的面积的最大值为空， …6分 (3)解：抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3, ∴.C(0,3), 设Q(9,9+1), .AQ=(9+1)2+(9+1)2=2(g+1)2,C0=g+(9+1-3)2=2g2-4g+4,AC2=(-1-0)2+(0 -3)2=10, :△ACQ是以AC为腰的等腰三角形， 当AC=CQ时，即AC2=CQ, ∴.2g2-4g+4=10, 解得：9=3或9=-1（舍去）； .Q(3,4); 当AC=AQ时，即AC2=AQ, ∴.2(g+1)2=10, 解得：9=-1+5或9=-1-5， Q(-1+5,W5)或Q(-1-5,-5): 综上，△ACQ是以AC为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为(3,4)或(-1+5，√5)或(-1-√5， 5).…9分 23.解：(1)①由∠BAC=90°，AB=AC,推出∠B=∠C=45°. 由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC. 推出△ABD△DCE.…2分 ②分三种情况： (i)当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE= AC=2. (iⅱ)当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE, 又.AD=DE,知△ABD≌△DCE. 所以AB=CD=2,故BD=CE=22-2, 所以AE=AC-CE=4-25. (i)当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C, 故LADC=∠AED=90°. 所以AE=DE=AC=1. 2 故AE的长为2或4-22或1；…6分 (2)存在（只有一种情况）. 由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°. 由∠ADE=45推出∠DAC+∠DEA=45°.