精品解析：湖南岳阳县第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2026年1月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理解集合描述法的意义，并用列举法表示，然后根据交集的定义求解. 【详解】集合，由，得， 所以. 故选：C. 2. 设集合，集合，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角， 四条射线分别是射线 ， 它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为是的内角，所以. 所以时，根据正弦函数的性质可知，充分性成立； 当时，或，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得二次函数的对称轴，以及函数的最小值，由，即可得到所求的范围． 【详解】，可得对称轴为， 且且为最小值， 又由， 函数的定义域为，值域为， 可得， 即有的取值范围是， 故选：A． 5. 下列选项正确的是（ ） A. 已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B. 若，则是第一或第二象限角 C. 已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D. 已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【解析】 【分析】选项A：设，该角是第三象限角，即可判断； 选项B：取，则，该角是第三象限角，即可判断； 选项C：先求出，则,分类讨论为偶数和奇数，即可判断；  选项D：是锐角，即，则，即可判断； 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误;  选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误;  选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此，  当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确;  选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误.  故选：C. 6. 如图所示，用6个小正方形拼成一个大矩形，然后在每个小正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设六个正方形的边长，利用条件建立方程组，计算即可. 【详解】设组成矩形的正方形的边长分别为，且边长即为圆弧的半径， 则， 所以，解得， 则这段斐波那契螺旋线的长度为. 故选：C． 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 若，则 C. 若，且为第四象限角，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求，判断A的真假；利用同角的三角函数基本关系，可判断B的真假；利用诱导公式和同角的三角函数基本关系，可判断CD的真假. 【详解】对于A：，所以，故A正确： 对于B：因为，则，故B错误； 对于C：因为 ，则，又为第四象限角，则， 又，故C正确； 对于D：根据诱导公式可得， 又，则，，则有，故D正确． 故选：ACD 10. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数和为偶函数得，即是周期为8的周期函数即可判断AC，作出函数在和的函数图象，利用数形结合即可判断BD. 【详解】由为奇函数，可得，即（*）， 又为偶函数，则，即， 由（*），，即， 则，故， 所以是以8为一个周期的周期函数， 对于A，，故A正确； 对于C，， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 对于B，因方程的根的个数，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图象： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据百分位数的计算方法可得答案. 【详解】由题意可得，解得， 将数据排序得，，，，， ，则这组数据的第百分位数为第和第位数的平均数，即. 故答案为：. 13. 已知，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角函数诱导公式的应用，解题的关键在于找出与之间的关系，然后利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为，所以，所以 ； 故答案为： . 14. 已知函数．记，则 （1）___________； （2）若函数（为常数）在上有个零点，则的取值范围为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用归纳法，根据函数的周期性思想，可得函数值的求解；根据题意，利用数形结合思想，结合函数的对称性，可得答案. 【详解】当时，；假设当时，； 当时，. 根据数学归纳法，可得，在上恒成立. ， 由题意可得（）， 则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图： 由图可得， 当时，当时， ， 结合图象，函数的图象在上关于直线对称， 由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 不妨设， 则，，，， 所以. 故答案为：；. 四、解答题（共80分） 15. （1）； （2）化简求值. 【答案】（1）；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简求值即可. （2）根据对数的运算法则及换底公式化简求值即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 16. 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求解. （3）利用已知求得，，结合诱导公式化简表达式，进而计算可求解. 【小问1详解】 根据任意角三角函数的定义可得 【小问2详解】 由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 【小问3详解】 因为为角终边上一点，所以， 所以，. ， 原式. 17. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【答案】（1）. （2）2032年 【解析】 【分析】（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值； （2）由题意得，.解出.列出对应的方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【小问1详解】 由题可知：当时，；当时，. 所以，解得：. 所以. 【小问2详解】 因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以 由题可知：当时，；所以. 由，得 令，则，即. 所以，所以. 因为. 故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年. 18. 某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） （2）请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； （3）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】（1）选用； （2）； （3）甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元）. 【解析】 【分析】（1）将表中前两个点的函数值分别代入函数表达式中求解系数，再利用后两个点的函数值验证即可. （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可. （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，结合利用换元法转化为一元二次函数即可求解. 【小问1详解】 若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，不符合表格中数据； 若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，当时，，符合题意， 所以更适宜作为函数模型. 【小问2详解】 由（1）知，在中，， 所以函数表达式为. 【小问3详解】 设乙产品的研发投入为x万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润 ，当且仅当，即时取等号， 则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元），可使总利润最大. 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【小问1详解】 由是型函数，得，即， 所以. 【小问2详解】 由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. 【小问3详解】 由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，集合，则（ ） A. B.  C.  D. 3. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项正确的是（ ） A. 已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B. 若，则是第一或第二象限角 C. 已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D. 已知是锐角，那么是第一或第二象限角 6. 如图所示，用6个小正方形拼成一个大矩形，然后在每个小正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 若，则 C. 若，且为第四象限角，则 D. 若，且，则 10. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 13. 已知，且，则_____． 14. 已知函数．记，则 （1）___________； （2）若函数（为常数）在上有个零点，则的取值范围为___________ 四、解答题（共80分） 15. （1）； （2）化简求值. 16. 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 18. 某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 （1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） （2）请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； （3）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $