2.4.1 直线与圆锥曲线的交点 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第4节 直线与圆锥曲线的位置关系 4.1 直线与圆锥曲线的交点 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会用坐标法求直线与圆锥曲线的交点. 2、了解直线与圆锥曲线的三种位置关系. 3、会根据交点个数判断直线和圆锥曲线的位置关系. 1、会用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点. 1、会根据交点个数判断直线和圆锥曲线的位置关系. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、前面我们已经学习了哪些特殊的曲线？ O 直线 圆 F1 F2 O P 椭圆 O F1 F2 M(x,y) 双曲线 O F 抛物线 3 新 知 引 入 韦 达 2、通过平面直角坐标系， 把直线和一元一次方程建立了_________________的关系； 把圆锥曲线和对应的圆锥曲线方程建立了______________的关系。 由此可知，直线和圆锥曲线的交点个数与两者对应的方程的公共解的 个数是________的。 一 一对应 相同 一 一对应 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 求直线与圆锥曲线的交点 把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组 第一步： 第二步： 第三步： 解方程组，得到方程组的解。 由方程组的解得到交点的坐标。 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、求直线l:y=-x+1与椭圆 的交点坐标. 解：直线l与椭圆C的交点坐标是方程组 的解.  方程组可化为   将①代入②，得   化简，得2x²-3x=0.  解得 x= 0 或 x = 代入①，得方程组的解为  或 所以直线l与椭圆C的交点坐标为(0,1), 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、直线l:x+y-=0与椭圆C： + = 1的一个交点坐标为（     ） A. (2,) B. (,) C. (-2,3) D.(- ,) 解：由 ， 得13x2-24x-4=0，解得x=2或x= - 当x=2时，y=- 当x= - 时，y = 所以直线与椭圆的交点坐标为(2,)或(- ,) D 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 判断直线与圆锥曲线的交点的个数 把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组 第一步： 第二步： 第三步： 化为一元二次方程 求出△。 △＞0 有两个交点 △=0 有一个交点 △＜0 有0个交点 8 典 例 引 路 柯 西 例2、已知椭圆 若直线l：x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值. 解：由 得   ∵直线l椭圆C有唯一的公共点 ∴ 解得 或   所以当直线l与椭圆C有唯一的公共点时，实数m的值为 或 9 同 步 练 习 黎 曼 练2、已知直线l:y=2x+m,椭圆C: + = 1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不同的公共点？ （2）有且只有一个公共点？ 解：由 ， 得 9x2+8mx+2m2-4=0 判别式△=（8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144 （1）当△＞0，即-3＜m＜3时，该方程有两个不同的实数解。 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点。 （2）当△=0，即m=±3时，该方程有两个相同的实数解。 这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点。 10 典 例 引 路 牛 顿 例3、讨论直线l:y=kx+1与双曲线C :的公共点的个数. 解：联立方程组   消去y，整理，得 (1)当k=1时,x=-1，公共点为(-1,0) (2)当k=-1时,x=1,公共点为（1,0） (3)当k≠±1时,  若△>0,则 若△=0,则 若Δ<0,则 或   综上，当 或 时，直线l与双曲线C没有公共点；当 时，直线l与双曲线C相切于一点； 当k=±1时，直线l与双曲线C相交于一点； 当 或-1<k<1或 时，直线l与双曲线C有两个公共点. 11 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、若直线y=x+m与双曲线 - y2=1有两个公共点，则实数m的取值范围是什么？ 解：由 得3x2+8mx+4m2+4=0 ∵直线与双曲线有两个公共点 ∴△=(8m)2-4×3×(4m2+4)＞0 ∴m＜- 或 m＞ 12 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知直线 l 经过点A(0，1)，且与抛物线C：y²=x有唯一的公共点，求直线l的方程.  解：(1)当直线l的斜率不存在时， 直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件.  (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1.  由 ，得 ( * ) ①当k²=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件； ②当k²≠0时， 由 解得 此时，方程组有唯一的实数解，符合条件. 综上，满足题意的直线l有三条： 13 同 步 练 习 庞加莱 练4、直线l：y=kx+1,抛物线C：y2=4x,当k为何值时，l与C有：（1）两个公共点；（2）一个公共点；（3）没有公共点。 解：由 ， 得k2x+(2k-4)x+1=0 （※） 当k=0时，方程（※）变为-4x+1=0，则x = ,此时y=1 ∴直线l与C只有一个公共点（，1）。 当k≠0时，方程（※）是一个关于x的一元二次方程 △=(2k-4)2-4k2×1=16-16k ①当△＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点； ②当△= 0，即k=1时，l与C有一个公共点； ③当△＜0，即k＞1时，l与C没有公共点。 综上所述：当k=1或k=0时，直线l与C有一个公共点； 当k＜1且k≠0时，直线l与C有两个公共点； 当k＞1时，直线l与C没有公共点。 14 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 1、由直线和椭圆的交点个数判断直线和椭圆的位置关系 2、由直线和双曲线的交点个数判断直线和双曲线的位置关系 3、由直线和抛物线的交点个数判断直线和抛物线的位置关系 两个交点 一个交点 0个交点 相离 相切 相交 两个交点 一个交点 0个交点 两个交点 一个交点 0个交点 相离 相切 相交 相交 相离 相切 相交 相交 15 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、已知双曲线C: - y2=1和定点P（2，），过点P可以作几条直线与双曲线只有一个交点？ 解：当过点P的直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y - = k(x-2), 由 ， 得(1-4k2)x2-k(4-16k)x-(16k2-8k+5)=0 (※) ①当1-4k2=0,即k=±时，(※)式变为一元一次方程，解得x= 或x= 此时直线l与双曲线交于点（，）或点（，）， 即直线过点P且平行于渐近线的情形。 ②当1-4k2≠0时，由△=0，得k= ,此时l:y- = (x-2),交点为（，） 易知当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x=2,交点为（2,0），满足题意。 所以过点P有四条直线与双曲线只有一个交点。 16 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练5、直线l过点P(2,2)与双曲线C: - y2 =1有且只有一个交点，则这样的直线有___________条． 解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线方程为l1:x=2， 此时直线l恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； (2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为l:y=k(x-2)+2， 代入双曲线方程，整理得：(1-4k2)x2+16k(k-1)x-16k2+32k-20=0， ①当1-4k2=0时，即k=±时，代入方程解得x=2或x= 即直线l2:y=(x-2)+2与双曲线只有1个交点为(-2,0)，符合题意。 直线l3:y=-(x-2)+2与双曲线只有1个交点为(,)，符合题意。 ②当1-4k2≠0时，即k≠±时， 由△=256k2(k-1)2-4(1-4k2)(-16k2+32k-20)=0，解得k = , 此时直线l4:y= (x-2)+2与双曲线相切于点(- ,- )，符合题意. 综上，过点P(2,2)与双曲线 - y2 =1有且只有一个交点的直线共有4条. 17 典 例 引 路 华罗庚 例6、过点M(2,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：由y2=4x可知，抛物线开口朝右，则过点M(2,3)的直线斜率不存在时，抛物线有两个交点，不符合题意； 当斜率为0时，直线y=3与抛物线有一个交点，符合题意； 当斜率存在且不为0时，设直线方程为y-3=k(x-2)，即y=kx-2k+3， 由，得k2x2+2(-2k2+3k-2)x+(-2k+3)2=0， 由△=0，得k=或k=1 所以过点M(2,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有3条 C 18 同 步 练 习 陈景润 练6、“k = ”是“直线y=kx+2与抛物线y2=4x只有一个公共点”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由 ,得 k2x2+4(k-1)x+4=0， 当k=0时，交点为(1,2),只有一个公共点，符合题意； 当k≠0时，△=[4(k-1)]2-4×k2×4=0,得 k = 所以直线y=kx+2与抛物线y2=4x只有一个公共点的充要条件是k=0或k= 所以“k = ”是“直线y=kx+2与抛物线y2=4x只有一个公共点”的充分而不必要条件。 A 19 全 课 总 结 一、用坐标法求直线与圆锥曲线的交点. 二、直线与圆锥曲线的三种位置关系. 三、根据交点个数判断直线和圆锥曲线的位置关系. 20 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 21 $