8.2矩形寒假预习必备讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（7大知识点+15题型精讲+42过关演练）

8.2矩形寒假预习必备讲义（苏科版） ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习★目标 1.能准确说出矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形核心判定特征。 2.能区分矩形与一般平行四边形的联系，知道矩形继承平行四边形的所有性质，为后续学习特有性质做铺垫。 3.能独立梳理矩形的所有性质，清晰区分共性性质和特有性质； 4.能通过画图、标注关键词的方式梳理预习内容，养成 “数形结合” 的几何预习习惯。 5.能自主对比平行四边形与矩形的性质、判定差异，初步形成几何知识的对比归纳意识。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1】矩形的定义 ●有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 【重点提醒】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件． 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： （1)矩形具有平行四边形的所有性质：即对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，它有两条对称轴． 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 矩形的对角线相等 四边形ABCD是矩形，AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【重点提醒】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，继承平行四边形的所有性质。因而也是中心对称图形． （2） 过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． （3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）,对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）． 总结：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等． 【知识点3】矩形的特殊性质（核心考点） 1.四个角都是直角; 2.对角线相等; 3.矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且对角线的一半相等。 【知识点4】矩形的判定 1．定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形． 【重点提醒】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形． 【知识点5】直角三角形斜边上的中线的性质 核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，D 为AC中点，则BD=AC=AD=CD 常见应用：1.已知斜边长度，直接求中线长度（或反之）；2.结合等腰三角形性质求边长； 3.证明线段相等，三角形为直角三角形。 【重点提醒】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论．性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用． （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题． 【知识点6】关于矩形的计算问题 边长关系：对边相等； 周长公式：C=2（长+宽）； 面积公式：S=长×宽 【知识点7】平行线间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．注意：距离是指垂线段的长度，是正值; （2）平行线间的距离处处相等; 这两条平行线间最短的线段的长度．两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的． ✏聚焦题型★提升能力 【题型1矩形性质理解】 【例1】．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数为2的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，对称轴的条数，通过判断每个图形的轴对称性和对称轴数量，进行判断即可． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴，不符合题意； 平行四边形不是轴对称图形，不符合题意； 等腰直角三角形有1条对称轴，不符合题意； 矩形是轴对称图形且有2条对称轴，符合题意． 故选B． 【变式1】．若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角 ； 【答案】都是直角 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的判定和性质是关键，根据题意，运用矩形的判定和性质求解即可． 【详解】解：若平行四边形的一个内角是直角，则该四边形是矩形， ∴其他三个角都是直角， 故答案为：都是直角 ． 【变式2】．在下面所给出的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形． (1)请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分（不写画法）； (2)请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，画法见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质； （1）如图1，分别连接，，的中点，得到线段，，则线段，将整个图形分为两部分； （2）根据矩形和平行四边形的性质可知，过矩形的对角线交点和平行四边形的对角线交点的线段即可将整个图形分为两部分． 【详解】（1）解：如图1， （2） 解： 如图2，过矩形的对称中心和平行四边形的对称中心画线段，交于点M，交于点N，则线段为所求． 【题型2利用矩形的性质求角度】 【例2】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解，证明是等边三角形，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵，， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∴是等边三角形， ， ． 故选：A． 【变式1】．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】124° 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度． 结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出的度数，再利用平行四边形对角相等得到的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ． 又， ． 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【变式2】．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 【题型3根据矩形的性质求线段长】 【例3】．如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，可知旋转中心为点，旋转角，，根据对应点到旋转中心的距离相等可知，，先在中用勾股定理求，再在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 【变式1】．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，作，，则，设，，，在上取一点，将分为和，设，，所以，，则，过作，交延长线于点，证明四边形是矩形，则有，，由两点之间线段最短可得，当三点共线时，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作，，则， 设，，， 在上取一点，将分为和，设，， ∴，， ∴， 过作，交延长线于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由两点之间线段最短可得，当三点共线时，如图，有最小值，即有最小值， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2】．如图，矩形中，，，是的中点，交于E，求． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 由题意得是线段的垂直平分线，推出，在中，根据勾股定理列方程求出，再在中，由即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，交于E，． ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵，，是的中点， ∴， ∴， ∴． 【题型4根据矩形的性质求面积】 【例4】．如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质可得，可得，，可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1】．用长度是的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为- ． 【答案】 【分析】此考查了矩形的性质，根据矩形的性质进行求解即可． 【详解】解：因为矩形周长为，所以邻边和为，若使面积最大，则只需两边长相等，即都为， 所以最大面积为． 故答案为，． 【变式2】．如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行四边形的性质和条件，证明四边形是平行四边形，再根据垂直得到直角，即可证明出矩形； （2）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据勾股定理求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，. 为延长线上的点，， ，， 四边形是平行四边形. 又， ， 四边形是矩形. （2）解：由（1）知四边形是矩形，， . 为的中点， . 四边形是平行四边形， . ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【题型5利用矩形的性质证明】 【例5】．如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．由题意易得，然后可得为等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式1】．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 【变式2】．如图，在矩形中，点E为对角线上一点，连接，过点D作，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由矩形的性质得，，再由平行线的性质得，，根据同角的补角相等得，再证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型6求矩形在坐标系中的坐标】 【例6】．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】．如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线的作矩形，点坐标． (1)点的坐标为______； (2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式； (3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据题意求出，即可求解； （2）连接，根据，即可求解； （3）由直线的解析式，设点；根据，求出；分类讨论当为对角线时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：在中，令，则； 令，则； ∴； ∵四边形是矩形， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： 则， ∵点在第二象限内， ∴； （3）解：直线的解析式为； 设点； ∵，， 由题意得：， ∴，解得：； ∴，； 当为对角线时，，消去求得； 当为对角线时，，消去求得； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了平行四边形的存在性问题、勾股定理、一次函数的求解等知识点，综合性较强，计算量较大，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 【题型7矩形与折叠问题】 【例7】．如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 【变式1】．如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为 【答案】5 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．由四边形为矩形，得到为直角，由折叠得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理得：， ， 由折叠可得，，，， ， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故答案为：5． 【变式2】．综合与实践.折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【实践操作】如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 【解决问题】 （1）在图3中，与的数量关系是________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 【拓展应用】 （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，请求线段的长度． 【答案】（1），；（2）为等边三角形，证明见解析；（3）或 【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解； （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴，分两种情况讨论，①当点落在上时，②当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， 由折叠可得：， ∴在中，； ∴ 故答案为：，； （2）解：为等边三角形； 理由如下：由（1）可知：，， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：①如图，当点落在上时， 由折叠可知：， ， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ，即 ， ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【题型8矩形的判定定理理解】 【例8】．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．用一把刻度尺来判断一个平行四边形零件是矩形的方法是测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的定义和判定，掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解答题的关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：先测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式2】．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)四个角都是直角的四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； （2）解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【题型9证明四边形是矩形】 【例9】．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ，四边形是矩形． 【题型10添一条件使四边形是矩形】 【例10】．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 【变式1】．如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理，从角或对角线的角度添加条件即可判定平行四边形 是矩形．本题主要考查矩形的判定定理，熟练掌握“对角线相等的平行四边形是矩形” “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 【详解】解：可添加条件： ， 四边形 是平行四边形，且 平行四边形 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一） ． 【变式2】．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【题型11根据矩形的性质与判定求角度】 【例11】．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【题型12根据矩形的性质与判定求线段长】 【例12】．如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 根据条件得出平行四边形为矩形，得出，然后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是通过直角条件判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等的性质，将周长转化为已知距离和的倍． 先判断四边形的形状，再结合矩形性质与已知条件求解周长。观察图形中各角均为直角，可确定四边形为矩形；利用矩形对边相等的性质，结合点到角两边距离之和的条件，进而计算周长． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ， ． ∴四边形周长 ． 故答案为：． 【变式2】．如图，在梯形中，，，，，，为中点，交于点，求的长． 【答案】 【分析】此题考查简单图形中的线段的求法，可以通过四边形的有关知识及勾股定理求解．可过点作于点，解直角三角形，求出的长，进一步求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，过点作于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ，． ， ． ，， ， ， ， 又为中点， ． ， ． 在中， ． 【题型13根据矩形的性质与判定求面积】 【例13】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 【变式1】．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2】．如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 【题型14求平行线间的距离】 【例14】．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 【变式1】．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 【变式2】．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【详解】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 【题型15利用平行线间距离求线段长】 【例15】．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，同理可得，设之间的距离为，然后将面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由，设之间的距离为， 则， ∴ ∴， 故选：D． 【变式1】．如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【变式2】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在线段上找一点E，使，作图依据是 ． (2)在线段上找一点F，使；连接，则三角形面积为 ． 【答案】(1)见解析，对顶角相等 (2)见解析；3 【分析】本题主要考查了格点作图，对顶角相等，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接交于E，由对顶角相等可得； （2）取格点H，连接交于F，则点H即为所求；由平行线的性质可得，． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于E，由对顶角相等可得； （2）解：如图所示，取格点H，连接交于F，则点H即为所求； ∵， ∴，． ❇强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理；根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而其他选项均不符合矩形的定义或性质. 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意. 故选：C. 2．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，掌握由平行四边形证明矩形的方法是解题关键． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误； 当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确． 故选：． 3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形对角线互相平分是解题关键．根据矩形的性质，得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 6．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，再证明，则可证明是等边三角形，得到，则，再由矩形的对角线相等即可解答． 【详解】解：∵矩形的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在矩形中，． 故选：B． 8．如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质（对角线互相平分）与一次函数的待定系数法，解题关键是先确定对角线交点坐标，再代入直线方程求解参数． 先确定矩形对角线交点的坐标，再将其代入直线方程求解的值． 【详解】解：，， 点的坐标为，点的坐标为，则线段的中点坐标为． 直线经过矩形对角线的交点，即经过线段的中点， 把代入，得，解得． 故答案为：D． 9．如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，由折叠的性质可知，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 由折叠可知， 在中，， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， . 故选：D． 10．平行四边形的对角线和相交于点，下列说法正确的是（） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是菱形 D．若，则平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质，对角线互相平分，若对角线相等则平行四边形是矩形；若对角线垂直则平行四边形是菱形．逐项判断即可． 【详解】解：∵平行四边形对角线互相平分， ∴， A：是平行四边形固有性质，不能推出菱形，∴A错误． B：若，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴B正确． C：若，则（∵，）， ∴，，故，推出矩形，而非菱形，∴C错误． D：若，则平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），而非矩形，∴D错误． 故选：B． 11．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 12．如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据矩形的判定得出四边形为矩形，确定，，，连接，再由全等三角形的判定和性质得出，，最后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4， 故选：A． 13．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 14．如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 二、填空题 16．在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ． 【答案】矩形、菱形和正方形 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 矩形、菱形和正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：矩形、菱形和正方形． 17．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 18．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为 ，矩形面积为 ． 【答案】 10 48 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出矩形的对角线，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【详解】解：矩形的对角线长为， 面积． 故答案为：10；48． 19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【答案】102.5° 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 20．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理，利用直角三角形斜边中线定理求出的长度是解题的关键． 由直角三角形斜边中线定理得，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， 解得，即． 故答案为：． 21．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 23．如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 【答案】 等腰三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质与等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由平行线的性质可得，则可得，由等角对等边即可得的形状是等腰三角形； （2）由折叠的性质得，，设，则可表示，在中，由勾股定理建立方程求得x，利用面积关系即可求得点到边的距离． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 设点到边的距离为d， ∵， ∴， 即点到边的距离为， 故答案为：． 24．如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 【答案】矩形 【分析】本题考查了平行四边形的定义，矩形的判定，分别根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 25．如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 由题意可证四边形是平行四边形，再添加其中一个角是即可证四边形是矩形． 【详解】解：可添加的条件为：， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 26．如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 27．如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 28．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 29．如图，在正方形中，，是正方形的外角，是的平分线上任意一点，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、直线平行的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质．过点作于，证明，则等于的高，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质求出，从而可求的面积． 【详解】解：过点作于， ∵是的平分线， ∴等于的高， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为； 故答案为：2． 30．如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】题目主要考查平行线间的距离及三角形面积计算，理解平行线间的距离相等是解题关键． 过点D作的延长线于点F，过点C作，根据平行线间的距离相等得出，结合三角形等底，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点D作的延长线于点F，过点C作， ∵， ∴， ∵的面积等于8， ∴， ∴， ∴的面积等于8． 故答案为：8． 三、解答题 31．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 32．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． 【详解】（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． （2）在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 33．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质推出， ，进而推出，即可得证； （2）根据平行的性质及角平分线定义可证明，然后根据等腰三角形的判定推出，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故答案为：． 34．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 35．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，角直角三角形性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）连接，根据两次对折得到为等边三角形，即可求解； （2）在中，由角直角三角形性质以及勾股定理得到，由折叠得，证明，则在中，，设，，再由勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，由对折矩形可知： ， ， 由第二次折叠可知：， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ∵矩形， ∴，，， ∵沿着对折， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，设， ， ， 解得（舍去负值）， 即，故． 36．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为厘米，厘米，厘米， 所以厘米， ， 所以， 所以四边形是矩形； （2）解：在边上量取3个相等的小段，记， 在边上量取4个相等的小段，记，， 这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形． 37．如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，求矩形的面积； （1）根据平行四边形的性质，角平分线的性质求出即可； （2）根据题意，结合勾股定理求出，，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 38．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 39．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 40．如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 41．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)求的面积； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 【答案】(1)图见解析，； (2)5； (3)或． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）过点B作的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标；延长BC至点，使，过点作AC的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： （2）解：的面积为 （3）解：过点B作的平行线，交x轴于点， 此时（平行线之间距离处处相等，两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为； 延长至点，使，过点作的平行线，交x轴于点，即， 过点作的平行线，交过点作的平行线点，即， 故，且， 即点到的距离点到的距离（平行线之间距离处处相等）， 此时（两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 故答案为：或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2矩形寒假预习必备讲义（苏科版） ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习★目标 1.能准确说出矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形核心判定特征。 2.能区分矩形与一般平行四边形的联系，知道矩形继承平行四边形的所有性质，为后续学习特有性质做铺垫。 3.能独立梳理矩形的所有性质，清晰区分共性性质和特有性质； 4.能通过画图、标注关键词的方式梳理预习内容，养成 “数形结合” 的几何预习习惯。 5.能自主对比平行四边形与矩形的性质、判定差异，初步形成几何知识的对比归纳意识。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1】矩形的定义 ●有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 【重点提醒】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件． 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： （1)矩形具有平行四边形的所有性质：即对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，它有两条对称轴． 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 矩形的对角线相等 四边形ABCD是矩形，AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【重点提醒】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，继承平行四边形的所有性质。因而也是中心对称图形． （2） 过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． （3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）,对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）． 总结：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等． 【知识点3】矩形的特殊性质（核心考点） 1.四个角都是直角; 2.对角线相等; 3.矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且对角线的一半相等。 【知识点4】矩形的判定 1．定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形． 【重点提醒】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形． 【知识点5】直角三角形斜边上的中线的性质 核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，D 为AC中点，则BD=AC=AD=CD 常见应用：1.已知斜边长度，直接求中线长度（或反之）；2.结合等腰三角形性质求边长； 3.证明线段相等，三角形为直角三角形。 【重点提醒】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论．性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用． （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题． 【知识点6】关于矩形的计算问题 边长关系：对边相等； 周长公式：C=2（长+宽）； 面积公式：S=长×宽 【知识点7】平行线间的距离 （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．注意：距离是指垂线段的长度，是正值; （2）平行线间的距离处处相等; 这两条平行线间最短的线段的长度．两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的． ✏聚焦题型★提升能力 【题型1矩形性质理解】 【例1】．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数为2的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰直角三角形 【变式1】．若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角 ； 【变式2】．在下面所给出的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形． (1)请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分（不写画法）； (2)请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法． 【题型2利用矩形的性质求角度】 【例2】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【变式2】．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【题型3根据矩形的性质求线段长】 【例3】．如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，，且，则的最小值为 ． 【变式2】．如图，矩形中，，，是的中点，交于E，求． 【题型4根据矩形的性质求面积】 【例4】．如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【变式1】．用长度是的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为- ． 【变式2】．如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积．根据勾股定理求出的长，即可求出面积． 【题型5利用矩形的性质证明】 【例5】．如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 【变式1】．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【变式2】．如图，在矩形中，点E为对角线上一点，连接，过点D作，交于点F．求证：． 【题型6求矩形在坐标系中的坐标】 【例6】．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【变式2】．如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线的作矩形，点坐标． (1)点的坐标为______； (2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式； (3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【题型7矩形与折叠问题】 【例7】．如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【变式1】．如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为 【变式2】．综合与实践.折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【实践操作】如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 【解决问题】 （1）在图3中，与的数量关系是________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 【拓展应用】 （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，请求线段的长度． 【题型8矩形的判定定理理解】 【例8】．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【变式1】．用一把刻度尺来判断一个平行四边形零件是矩形的方法是测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ． 【变式2】．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【题型9证明四边形是矩形】 【例9】．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【变式2】．如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【题型10添一条件使四边形是矩形】 【例10】．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 【变式2】．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【题型11根据矩形的性质与判定求角度】 【例11】．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【变式2】．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【题型12根据矩形的性质与判定求线段长】 【例12】．如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（   ） A．4 B． C． D．8 【变式1】．如图，，内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 ． 【变式2】．如图，在梯形中，，，，，，为中点，交于点，求的长． 【题型13根据矩形的性质与判定求面积】 【例13】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式1】．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式2】．如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【题型14求平行线间的距离】 【例14】．已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【变式2】．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【题型15利用平行线间距离求线段长】 【例15】．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10∴ 【变式1】．如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【变式2】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在线段上找一点E，使，作图依据是 ． (2)在线段上找一点F，使；连接，则三角形面积为 . ❇强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 2．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 6．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 8．如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 9．如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 10．平行四边形的对角线和相交于点，下列说法正确的是（） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是菱形 D．若，则平行四边形是矩形 11．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 12．如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 13．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 14．如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 15．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．在平行四边形、矩形、和正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 ． 17．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 18．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为 ，矩形面积为 ． 19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 20．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为 ． 21．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 23．如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则： （1）的形状是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 24．如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是 ．（填写一种特殊的平行四边形） 25．如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 26．如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为 ． 27．如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是 ． 28．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 29．如图，在正方形中，，是正方形的外角，是的平分线上任意一点，则的面积等于 ． 30．如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于 ． 三、解答题 31．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 32．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 33．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，则的长为______． 34．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 35．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 36．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 37．如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以、为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 38．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 39．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 40．如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 41．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 42．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)求的面积； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $