泉州市2026届高中毕业班质量检测（二）高三数学试题

泉州市2026庙局中毕业班质重则、一 2026.01 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★祝马到成功★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答策后，用铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答策写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合U={xx<5,A={x|x2<5x},则CuA= A. B.(0,5) C.(-o,0] D.(-0,5) 2.已知a为第二象限角，且如血a= ,则cosa+孕- 2 1 A.-1 B.- 2 c. D.1 3.已知正数4，b满足a+2=1,则二的最大值为 b A8 1 B C.2 4 D 4.定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=2e-1,则f(x)的值域为 A.R B.(-o,-1)U(1,+o)C.(-1,0)U(0,1) D.（-1,1) 5.已知正三棱台ABC-AB,C的高为√3，AB=3AB=3V3,则该棱台的侧面积为 A.24N5 B.12√5 C.18 D.4W5 6.在复平面内，0是原点，复数，22对应的向量分别为0Z,0Z.若名=1-i,0Z绕点0按 逆时针方向旋转号所得的向量与0元绕点0按顺时针方向旋转行所得的向量相等，则 A.32l=2 B.1=z2 C.222=21 D.五=i 22 高三数学试题第1页（共4页） 1/4 7.已知函数fx)=2sin(ox+p)(@>0,lpk的部分图象如图所示，则 A.f在区间匹，巧]上单调递减 66 B。因在区间停1上单调递增 12 C.)的图象向右平移元个单位长度后得到的图象关于y轴对称 12 D、的图象向左平移晋个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 8.双曲线C的对称中心为O,焦点为F,F,过F的直线1与C的一条渐近线平行.若1与以 O为圆心，IFF|为半径的圆相交于P,两点，且4|P=7F2|,则C的离心率为 4 A. B. 4W15 7 C. D.4 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称AQI)，记日期编号 为x,甲、乙两个区域的AQI分别为，y2,将数据整理如下： 日期编号x 1 2 3 文 5 6 8 10 甲区域AQIy 27 44 43 45 34 35 33 34 40 35 乙区域AQIy2 34 34 30 31 36 33 32 34 33 33 根据数据进行分析，以下说法正确的是 A.甲区域AQI的极差为18 B.乙区域AQI的第65百分位数为33.5 C.甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差 D.根据最小二乘法求得y2关于x的经验回归方程对应的直线必过点(5.5,33) 10.已知数列{an}满足an1= ,”4a≥4记8，为a}的前n项和，则 3an,an<4, A.当41=3时，a2o26=a6 B.3a∈N,使得S2m6=S6 C.{a,}为等比数列的充要条件是a<0 D.a≥0且a≠4k(keN),TeN'，使得a+r=an 11.已知函数f(x)=e-bx-2有两个零点x1,x2,则 A.当b=e时，f(x)≥-2 B.f(西+)>(x)+f() 2 2 C.当b>e时，e+e>2e D.函数g(b)x-x2|取最小值时，b=2 高=数学试顾第？丙（井4丙） 2/4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知AC=2CB,BC=1AB,则实数1的值为 13.已知点A,3),F0,,若P为抛物线y=x2+二上的动点，则1PA+1PF1的最小值 为 14.现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心 小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知锐角三角形ABC中，角4B,C的对边分别为ab,c,且，a=6-C b+c a-c (1)求B; (2)若cos3C+cosC=0,c+√2b=4,求a的值. 16.(15分) 已知函数f(x)=x-aln(x+1). (1)讨论f(x)的极值： (2)证明：当xe[0,1]时，≤2nx+): (3)证明： 1<2n2026. 17.(15分) 如图，己知在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,BC=2V2,AD=AB=PB.=PD=VE. (1)证明：AD∥平面PBC; (2)证明：BD⊥PA: (3)若直线PA与平面ABCD所成角为45°，点D在平面PAB内的正投影是点Q,求四棱 锥O-ABCD的体积. 高三数学试题第3页（共4页） 3/4 18.(17分) 如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处， 8 按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋 子按顺时针方向连续移动3个相邻位置：若反面朝上，则按逆时针方向 连续移动3个相邻位置.若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子， 6 (2 记最终棋子所处的数字为随机变量X,例如：若连续3次抛掷硬币均为 5 3 正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2 次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即X,=1. (1)求P(X2=2),PX3=3): (2)证明：P(X,=1)=P(X,=T): (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投 掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当X。<4时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏 最多进行10轮.记游戏结束时的轮数为随机变量Y,求Y的分布列，并证明E()<4. 19.(17分) 在直角坐标系x0中，椭圆c:千+为@>b>0)的左、石顶点分别为4,4，上顶项后 为B,且I44=6,1OA+0丽上21OB1: (1)求C的方程： (2)点P(x,y),Q(x2,y2)(y>0,y2>0,≠y2)是C上两个动点，点S在直线AP上，设 2=1+1 直线4P,40,0s的斜率分别为，k,,且元店+店 ()设关于0的对称点为Q',试判断A,g',S是否共线？并说明理由： (i)在①△TBA的面积为定值，②△TAO的面积为定值，③△TBO的面积为定值，这 三个结论中选择一个结论补充在下面命题中，使该命题为真命题，并证明。 命题：若直线OS与直线PQ相交于点T,则 7邮1n而馆下（计1面） 4/4泉州市2026届高中毕业班质量监测（二) 2026.01 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 3 4 5 6 7 8 A A D B C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9 10 11 ACD ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 13 14 1 3 3 35-3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【试题解析】解法一：(1)由，a-6- b+c a-c ,可得a2+c2-b2=ac,…1分 根据余弦公式cosB=+c2-B ,…2分 2ac 可得cosB= …3分 因为B∈(0，，（若写B∈(0，）不扣分)…4分 ……5分 (2)由cos3C+cosC=0,可得c0s(2C+C)+cos(2C-C)=0.…6分 即2C0S2CC0SC=0,…7分 高三数学试题第1页（共13页） 所以cos2C=0,或cosC=0,即C=)kr+T或C=k红+(keZ), 在锐角三角形ABC中，C∈(O,),所以C=T ……8分 4 由正弦定理b a …9分 sin B sin C sin A b c a Aa in4sn(+乃6+V2, 可得sin sin 10分 34 4a 2 得c=6+5 ,b=4a 2 V6+√22 …11分 优入4a4可为6g号 4ax5=4, …12分 √6+√22 得2a=4,即a=2.…13分 解法二：（1)同解法一.…。 …5分 (2)由cos3C+cosC=0,可得cos3C=-cosC, 则3C=2kπ+π-C或3C=2kπ+π+C（k∈Z),…6分 即C=k元+或C=k元+π(k∈Z).…7分 4 2 在锐角三角形ABC中，C∈(0，，所以C= …8分 由余弦定理可得a2+b2-c2=√2ab,… …10分 又a2+c2-b2=ac,两式相加，可得2a2=ac+√2ab,…11分 即2a=C+√2b=4,…l2分 得a=2,…13分 解法三：(1)同解法一，…5分 (2)由cos3C+cosC=0,可得cos(2C+C)+cosC=0. 得cos2 CcosC-sin2 CsinC+cosC=0,即(cos2C+l)cosC=sin2 Csin C.…6分 (cos 2C+1)cosC=2sin C cos Csin C, 在锐角三角形中，cosC≠0， 故cos2C+1=2sin2C,即2cos2C-1+1=2sin2C,即cos2C=sin2C…7分 因为Ce0,,所以C=平 …8分 如图，过A作AD⊥BC,垂足为D, …9分 高三数学试题第2页（共13页） 可得BD=CC0sB,CD=bc0SC,…l0分 故a=BD+CD=CC0sB+bc0SC,…l1分 所以a=c+2 1 =。+V2b). …12分 2 2 2 得a=2. …13分 (另外，若没有作图，9-11分按以下方式得到，同样给分) 因为sinA=sin(π-A)=sin(B+C),…9分 所以sinA=sin BcosC+cos Bsin C,…l0分 根据正弦定理，可得a=bcosC+ccos B… …11分 16.(15分) 【试题解析】解法一：(1)f=x+1-0(x>-), …1分 x+1 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(-1，+o)上单调递增，函数f(x)无极值；…2分 当a>0时，令f'(x)=0得x=a-1,…3分 当x∈(-1，a-1)时，f'(x)<0,f(x)在(-1，a-1)上单调递减；…4分 当x∈(a-1,+oo)时，f'(x)>0,f(x)在(a-1,+oo)上单调递增.…5分 所以当x=a-1时，f(x)取得极小值a-1-alna,无极大值.… 6分 (备注：没有讨论a,但有注意定义域，给4分：没有讨论a,也没注意定义域，给3 分；若过程全对，只忽视定义域得5分) (2)令g()=x- 3n(x+D.xe0.1] 由(1）知，取a=2时，f)=g)）,…7分 所以g(x)在[0，)上单调递减，在(，山上单调递增， …8分 因为g(0)=0,所以x∈[0，)时，g(x)≤0： …9分 又因为g0=1-n2<0,所以xe(,时，g)≤0：…10分 高三数学试题第3页（共13页） 综上当xe0时，g0,即≤d+: (3)令x=meN),则由2得上<3n1+马， ………12分 即<3（n(0n+）-ln0,…13分 周t22h+0m3-h2)++0m2026-n202 …14分 所以<n2026. …15分 解法二：(1)同解法一： …6分 (2)令g)=x-nx+.xe0,] 3 2x-1 则8'()=1- …7分 2(x+1)2(x+1) 所以当x∈[0，)时，g'(x)<0,当x∈(5，]时，g'(x)>0, 因此，gx)在[0，)上单调递减，在(5，】上单调递增， …8分 下同解法一 (3)同解法一， …15分 17.(15分) 【试题解析】解法一：(1)因为AD∥BC,…1分 BCC平面PBC,…2分 AD工平面PBC,…3分 所以AD∥平面PBC,……4分 (2) D 0 E 取BC中点E,连接PE,AE,设AE∩BD=O,…5分 高三数学试题第4页（共13页） 因为AD∥BC,BC=2√2，AD=AB=√2，AB⊥BC, 所以四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AE,…6分 连接PO,因为PB=PD,O为BD的中点，所以BD⊥PO,…7分 因为PO∩AE=O,PO,AEc平面PAE,所以BD⊥平面PAE,(相交没写扣1分)…8分 又PAC平面PAE,所以BD⊥PA,…9分 (3) D 00 B 由（2)可知BD⊥平面PAE,BDC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAE.…I0分 过P作PO⊥AE,垂足为O,又因为平面ABCD∩平面PAE=AE,POC平面PAE, 所以PO⊥平面ABCD, 所以PA在底面ABCD的射影在直线AE上， 所以直线PA与平面ABCD所成角是∠PAE,所以∠PAE=45°，…11分 因为正方形ABCD中AB=√2，所以BD=2,AO=1, 又因为PB=PD=√2，所以PO=1, 所以∠PAO=∠APO=45°，所以PO⊥AE. 所以点O与O重合，即PO⊥平面ABCD.… 12分 以点O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系O-z,则 O0,0,0),A0,-1,0),B1,0,0)P0,0,1,E0,1,0),D-1,0,0),PA=(0,-1,-1),PB=(1,0,-1), DP=(自，0,1），…13分 因为点D在平面PAB内的正投影是Q,所以DQ⊥平面PAB. 设PO=PA+uPB=(4,-元，--)，D0=DP+P9=(u+1,-元，1-1-川， DO.PA=0 22+4-1=0 因为 3 DO.PB=0 ,所以 2l+元=0 ，所以 1 所以0=后号影，所以@3， 高三数学试题第5页（共13页） 所以点？到平面ABCD距离 3 …14分 %sw35amh=}×5+22)x反×名-名 11 33 15分 32 解法二：(1)(2)同解法一. (3) D O0; E (不同建系方法)以点D为原点，DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系D-)z, 则D(0,0,0),4A,-1,0,B(2,0,0),P1,0,1),E(1,1,0),PA=(0,-1,-1),PB=1,0,-),DP=1,0,). …13分 因为点D在平面PAB内的正投影是Q,所以DQ⊥平面PAB。 P0=PA+uPB=(4,-元，--D0=Dp+P四=(u+l,-,1--), DO.PA=0 [22+4-1=0 因为 所以 3 DO.PB=0 2u+1=0 ，所以 μ23 所以四-号得.所以e的 所以点Q到平面CD距离为子， …14分 15分 33 解法三：（1)(2)同解法一. (3)由(2)可知BD⊥平面PAE,BDC平面ABCD, 所以平面ABCD⊥平面PAE.……10分 过P作PO⊥AE,垂足为O,因为平面ABCD∩平面PAE=AE,且POc平面PAE, 所以PO⊥平面ABCD, 所以PA在底面ABCD的射影在直线AE上， 高三数学试题第6页（共13页） 所以直线PA与平面ABCD所成角是∠PAE,所以∠PAE=45°，…11分 因为正方形ABCD中AB=√2，所以BD=2,AO=1, 又因为PB=PD=√2，所以PO=1, 所以∠PAO=∠APO=45°，所以PO⊥AE. 所以点O与O重合，即PO⊥平面ABCD.… …12分 D E 取PA中点G,连接BG,DG, 由题意知AB=PB,则PA⊥BG;同理题意知AD=PD,PA⊥DG 又DG∩BG=G,所以PA⊥平面BGD, 因为PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面BGD. 注意到平面PAB∩平面BGD=BG, 故点D在平面PAB内的正投影Q必在直线BG上， 过点D作DQ⊥BG,垂足为Q,则点D到平面PAB的距离DQ, 因为ynPB=V,ABD,所以SrBD0=SDP0, 31 即*5例0-21，所以0肩 …13分 B0=VBD-D0_26,设点Q到平面ABD的距离g, 3 因为g-Hmyn-e,所以SaeD0=5amh, 3 2 2321 …14分 √33 %wu-吉5+2x5x号-号 …15分 33 (若通过体积比转化，可以不用求出点Q或者点Q到平面ABD的距离。，也同样给分) 比如：-cw3S影ch=写3×Smh=3--4m,…14分 高三数学试题第7页（共13页） 又Vg-4=3 mD0312N622 23 2 59 22 所以'。-ABcD=3× 3 …15分 9 18.(17分) 【试题解析】 (1)记S,为棋子顺时针移动n次，N,为棋子逆时针移动n次， 则S,N,i+j=t,ijeN)与SV(e+f=t,e,f∈)互斥.…1分 (类似的设法酌情给分) PX=2)=PN)-C=4 …3分 PX,=3)-P(N)-C( …5分 (2)PX,=0=P6N+N)=C3+C3-G …7分 PX,=7)=Ps,+)=C+C2=G 故P(X=1)=P(X,=7). …9分 (3)先分析连续移动6次后X,的取值情况：6次均为顺时针，则X。=2; 5次顺时针1次逆时针，则X。=4:4次顺时针2次逆时针，则X。=6: 3次顺时针3次逆时针，则X。=8;2次顺时针4次逆时针，则X。=2: 1次顺时针5次逆时针，则X。=4;6次逆时针，则X。=6.…10分 故PX<4=PX,=2)=P。+S,N,)=C(+C= …12分 随机变量Y的分布列如下： 2 3 … i 9 10 3 4 4 厚x好+= …14分 由0=+2x+3x++9x1+10x …15分 令5=+2x+3x++9x] 高三数学试题第8页（共13页） 则子-2x+3×++9. 两式相减，得}=+子+孕++孕-9x] 即s=1+子+++-9x=413x。 …16分 故E(X)=4-3×(?,又因为n∈N,所以E(Y)<4, 17分 19.(17分) 【试题解析】解法一：(1)由AA=6,可得a=3, …1分 又B(0,b),可得OA=(-3,0),OB=(0,b), 所以0A+OB=(-3,b),…2分 所以|OA+OB=√9+b2,… …3分 又OB=b,根据题意得√9+b2=2b, 解得6=3，从而求得椭圆C:亡+上-1. …4分 93 (2)是，A,Q,S三点共线，…5分 (判断是，即得1分) 证明：设直线A,Q'与4，P的交点为S(x,yg),要证明A,Q',S三点共线， 只需要证明S'与S重合， 即证明直线OS的斜率k'与OS的斜率k相等。 1=-31-5-3 由题意得方片方为 因为A,A关于原点对称，Q,Q'关于原点对称， 故直线AQ,A,Q相互平行，所以A但的斜率k40=k,…6分 所以40：x=5-3y-3@,4Px=-3y+3…②， y 由①②，得2x=(+,)y, …7分 k k2 11 即2x=( +)ys, …8分 k k, 高三数学试题第9页（共13页） 即2=1+1 1.1 少名，即 21.1 又由题意知飞飞十后，所以=，得证。 …9分 (3)选③ ……10分 根据题意PQ直线的斜率存在且不为零，设直线PQ:x=my+n(n≠±3，m≠0)， 与椭圆C:×+) 、=1联立，得(m2+3)y2+2my+n2-9=0, …11分 93 其判别式△=(2mn)2-4(m2+3)(n2-9)>0,即3m2-n2+9>0, 且y+3 m+3=n2-9 -2n 12分 m2+3 2=1+1--3+5-3 由(2)知0T:y=kx,其中飞飞+k片为 =m+”-3++n-3=2m+0a-3)+业 可得k …13分 y y2 y y2 化简得22m+"-列。2m0+”为 61m n2-9 n+3n+3’ 所以直线OT:y=”+3 ,…14分 3m 将直线OT与直线PQ:x=my+n联立， 设T,),可得，=m”+3 x7+n,即x7=-3n, 3m 注意到当n=0时，直线PQ:x=my, 此时P,Q关于原点对称，这与y>0,y2>0矛盾，…15分 故n≠0，从而可得x7=-3,即点T在直线x=-3上，…16分 故可得△780的面积S=方OBH1x,卡5，所以△7B0的面积为定值。 …17分 2 解法二：(1)依题意|AA=2a=6,故a=3,…1分 由OA+OB=2OB,可知OA+OB与OB夹角为60°，…2分 所以=tan600=V5…3分 解得=3，从而求得椭圆c:二+ =1. …4分 93 高三数学试题第10页（共13页）