精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

集宁二中2025-2026学年上学期高二年级期末考卷 数学 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一、单选题 1. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令,解得,故选. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以与之间的距离为， 故选：A 3. 经过两点的直线的斜率是12，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式可得答案. 【详解】由题可得，由斜率公式， . 故选：A 4. 在等差数列中， ， ，则的值为（ ） A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可. 【详解】由题,因为,则； 因为,则； 所以, 所以, 故选:B 【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用. 5. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ） A. 9或10 B. 8 C. 9 D. 10或11 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 6. 设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，则， 因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限， 由双曲线的定义可得， 又因为，可得，即， 又由， 可得，解得， 所以的面积为. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 8. 等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质直接求解. 【详解】等比数列中，所以. 又，所以或. 因为，所以. 因为，所以4. 故选：C 二、多选题 9. 设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点到准线的距离为p求解. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为4， 所以， 根据四个选项可得，满足， 故选：AB 10. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】因为在等比数列{}中，， 设等比数列的公比为，则，所以， 故选：. 11. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 存在使得直线与直线：垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】求得直线恒过定点，即可判断A；判断点在圆内，即可判断B；当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，求出最短弦长，即可判断C；求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，因为直线恒过定点，且点在圆：内， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短， 此时圆心到直线的距离， 由弦长公式可得此时的弦长为，故C错误； 对于D，因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以当时，直线与直线垂直，故D正确． 故选：BD. 三、填空题 12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解． 【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解. 【详解】因为，所以， 累加可得： ， 则． 故答案为：70 14. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算求解. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则. 16. 已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 17. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2） 因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度. 【答案】（1）＋＝1； （2）. 【解析】 【分析】（1）依题设条件求出的值，即得方程； （2）将直线与椭圆方程联立消元，利用韦达定理和弦长公式即可求得弦长. 【小问1详解】 由已知得c＝1，＝，所以a＝2，， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 【小问2详解】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去得：7x2－8x－8＝0， 由韦达定理得 则, 即MN长度为. 19. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2025-2026学年上学期高二年级期末考卷 数学 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一、单选题 1. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 2. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 经过两点的直线的斜率是12，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 1 4. 在等差数列中， ， ，则的值为（ ） A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 5. 等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ） A. 9或10 B. 8 C. 9 D. 10或11 6. 设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 4 二、多选题 9. 设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 11. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 存在使得直线与直线：垂直 三、填空题 12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______． 13. 已知数列满足，，则______． 14. 已知，，则______． 四、解答题 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 17. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线y＝x－1与椭圆交于MN两点.求MN长度. 19. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $