福建泉州市第七中学2025-2026学年第一学期九年级数学期末考试

2025-2026学年上学期初三数学期末考试 参考答案与评分标准 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题铪出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.C2.C3.D4.A5.D6.D7.D8.C9.B10.D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1.2-2,12.6,13.-1,14.}15.16.3 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 计第〔0 解：原式=4-25+4x …6分 2 =4-2√5+2W5 …7分 =4… …8分 18.(8分) 解方程：x2-4x-3=0. 解：x2-4x+4=7, ·3分 ∴(x-2)2=7,… …5分 ∴.x-2=±7， …7分 .X=2+√7，X2=2-√7. …8分 19.(8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B. (1)求证：△ABP∽△PCD: (2)若AB=5,BC=6,当PD∥AB时，求BP的长. (1)证明：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, ……】分 ·.∠APC=∠ABC+∠BAP, ∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP且∠APD=∠B,…2分 ∠DPC=∠BAP,…3分 ∠ABC=∠ACB, .△ABP∽△PCD: 4分 (2)解：△ABP∽△PCD, :e-c0, 即PC、AB …5分 AB BP CD BP .·PD∥AB, △CDP∽△CAB, …6分 CD PC 即BC=PC AC BC AC CD BC AB …7分 AC BP .AB=AC=5,BC=6, 65 5BP 解得Bp=25 8分 6 20.(8分) 某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全相同的小球，小球上分别印着“10 元”，“20元”，“30元”的字样.规定：顾客一次性消费满200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少. (1)小聪有1次摸球机会，求他摸中“10元”小球的概率； (2)小明有两次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他两次摸球返现金额之和超过30元的概率. 解：(1)P(摸中“10元”小球)=3： …3分 (2)作树状图如下： 开始 第一次 10 20 30 第二次102030102030 102030 两次和203040304050405060 …6分 两次摸奖结果共有9种情况，其中两次奖品价格之和超过30元的有6种情况，…7分 故P(2次摸球得到的返现金额之和超过30元)=6-2。 …8分 93 21.(8分) 我们在初中物理中学过：光的折射现象，如，光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=血C sin B 称为折射率（其中代表入射角，B代表折射角）. 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MW可以看见水底的物块C,但不在细管 MW所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点P,D,B恰在同一条直线上，测得BF=12cm, AD=3.(参专数锅：血59护手cg53子m5护净 4 (1)求DF的长： (2)点C在AB上，测得BC=7cm,求光线从空气射入水中的折射率n. 入射角a法线 无介质 介质（折射率n) 折射角3 图1 图2 图 解：(1)如图：过点D作DG⊥AB,垂足为G, 由题意得：四边形DGBF是矩形， DG=BF=l2cm,DF=BG…1分 在t△DGB中，tan∠ABD=DC=12 BG BG =tan37°≈ …2分 .BG≈16， D .DF=BG≈16(cm）… …3分 图3 (2).BG=16cm,BC=7cm, .CG=BG-BC=16-7=9(cm),… 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。 …4分 在Rt△CDG中，DG=12cm, .DC=VCG+DG2=V92+122=15(cm, …5分 simB=sim∠GDC=CC-9-3 CD155' …6分 4 sin∠PDH=sn53°心5，… …7分 4 §mp子3，即光线从空气射入水中的折射率n约为 :折射率n=sin-三-4 …8分 22.(10分) 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD的延长线上一点，连接AB, (1)请用尺规作图法在线段BC上取一点F，,使得△FBD∽△ABE;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若BF2=CF.DC,求∠DAE的正切值. 解：(1)如图所示，点F即为所求；… E…4分 (2)设正方形的边长为a,BF=x,则BC=CD=a,FC=a-x, .BF2 CF.DC, .x2=(a-x)a,即x2+ax-a2=0, 解得：x1+5a,或x=2a（舍)， …6分 2 ·r0=a-1+5,-3-V5 7分 2 2 在Rt△FCD中，∠C=90°， 3-V5 tan∠CDr=FC= a3-5 …8分 a 2 在正方形ABCD中∠ADB=∠BDC=45°， ∴.∠DAE+∠E=∠BDF+∠CDF=45°， 又∠E=∠BDF, ∴.∠DAE=∠CDF, 六tam∠DAB=tan∠cDr=3-V5 …10分 2 23.(10分) 二次函数=x2+bx+c(b，c为常数)，正比例函数为，=x,函数y,y,的图象有两个交点，这两个交 点的横坐标分别为x,x2,且满足x>0,x2-x>1. (1)当x1=1时，求b+c的值； (2)求证：b2>2b+4c; (3)设0<m<x,点(，m)在函数y图象上，请比较n与x的大小. 解：(1)令x2+bx+c=x, 当X=1时，1+b+c=1,则b+c=0;…2分 (2)证明：函数y,=x2+bx+c(b,c为常数)，函数y,=x,函数y,y,的图象有两个交点， .方程x2+bx+c=x有两个不相等的实数根， .△=(b-1)2-4北>0，…3分 两个交点的横坐标分别为x,x2, 方程x2+(b-1)x+c=0的两个根为x,x2, X1+x2=1-b,XX2=C,… ·4分 X1>0,x2-x1>1, .(3-x2)2>1, .(+x2)2-4x2>1, .自-b)2-4北>1，……5分 .1-2b+b2-4c>1, .b2>2b+4c;…… …6分 (3)解：点(m,)在函数y图象上， .n=2+bl+c, 由(2)知，方程x2+(b-1)x+c=0的根为x, .x2+(b-1)x+c=0, ∴c=-x2-(b-1)x, n=2+b-x2-(仍-1)X1,…7分 .n-x1=m2+bm-x2-(b-1)x1-x=m2-x2+b1-bx1, =(0+x)(-x)+b0-x)=(0-x)+X1+b)…8分 :0<<X1, .m-1<0, x1>0,x2-x1>1,x1+x2=1-b, .-b>2x1, .b<-2x, …9分 .m+x+b<0, .n-x1=(m-x)0+x1+b)>0, n>水1…10分 24.(13分) 汽车行驶中的刹车距离是重要的研究指标，经大量实验和数据分析，发现汽车在平坦路面的刹车距离y(单 位：m)与车速x(单位：a/)之间都存在着某种同类型的函数关系.某汽车公司共设计了三种型号A,B,C, 的新型汽车，为了确定y与x之间的函数关系类型，该公司先测试了C的刹车性能： 车速x(al/h) 0 30 45 60 90 105 120 150 刹车距离y(m) 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 y(m)1 80 70 60 50 40 30 20 10 102030405060708090100110120130140150xkm/h) (1)请根据表中提供的数据，在坐标系中描出(x,),顺次连接各点，并判断刹车距离与行驶速度的函数关 系类型，并写出这种函数关系的一般表达式（表达式的系数按x的降幂排列用有序数组（α，b,c)进行表示，这个 数组称为刹车系数)： o0 (2)根据上面的判断，该公司将A和B两种车型的y与x的函数关系的刹车系数近似表示分别是(a3 和(1b 500'10 ,c）),其中0<x≤200， b>1.为了估计α的值，公司综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的 路面进行刹车试验，具体的数据如表三： 路面 路面 路面二 路面三 路面四 路面五 路面六 车速(a/为 100 100 100 100 100 100 刹车距离(m) 26.5 27.2 27.5 27.5 29.2 30.1 ①依据上述数据，合理估计α的值，并求A款型号汽车的“刹车距离”为5.2m时所对应的车速； ②当40<x<150时，是否存在实数b,使得在相同的车速下型号B汽车的“刹车距离”始终比型号A汽车的 “刹车距离”小？若存在，求出相应的b的取值范围；若不存在，请说明理由、 解：(1)由题意，根据表格数据可以作图如下， y(m)↑ 80 70 60 50 -r- 40 10 0 102030405060708090100110120130140150x(km/h) 与行驶速度的函数关系为二次函数关系，设y=2+br+c(a≠0)， 把(0,0)，(60,19.2)，(90,34.2)代入得， 「0=c a=0.002 19.2=3600a+60b,解得b=0.2, 34.2=8100a+90b c=0 所以，y=0.002x2+0.2x,刹车系数为(0.002,0.2,0)： 3分 (2)①由表格得，(26.5+27.2+27.5+27.5+29.2+30.1)÷6=28， 把00,28)代入y=m2+,3 x,得28=10000a+3,解得a= 1 100 400 …4分 所以y=1 x2+3 …5分 400100 令1 x=5.2,即x2+12x-2080=0, …6分 400 100 解得x=40,x,=-52(不符合题意，舍去)， 答：a的值是0A款型号汽车的“列车距案”为52m时所对应的车速40m:…7分 ②存在，理由： 当x2=0时，y2=0,得c=0, 所以.与0产品 X,…8分 100 1 )-(500 3 由题意得 400+10 00)>0,即、1 b 2+ x2+ 3-b x>0, …9分 2000100 令y=+3bx=K+30-10-3 2000 100 2000 20 所以，对称轴为直线x=10b-30,… …10分 因为40≤x150,所以分情况讨论如下： 当106-30≥150时，即6≥18，故x=150时，y。=6360>0,解得b<21 4 ，舍去： 当10b-30≤40时，即b≤7，故x=40时，n=2-2b>0,解得6<5： 5 当40<106-30<150时，即7<b<18时，故x=106-30时，y=_6 20 -<0,舍去； 答：b的取值范围是1≤b<5.… …13分 25.(13分) 如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，连结AC和BD,AD=BD,在AC的延长线上取一点E,连结 DE,延长BC交DE于点F. (1)若C为BD的中点，求证：∠ACD=2∠BDC: (2)当DE切⊙O于点D时， O。 ①求证：△DCF∽△BDF; ②若S△BDc=S△Ec,求证：DB2=AB·DE. 解：(1)，四边形ABCD为圆O的内接四边形，C为BD的中点， BC=CD,…1分 .∴∠DAC=∠BAC=∠BDC, ∠BAD=2∠BAC=2∠BDC,…2分 .AD=BD, .'AD=BD, ∠ACD=∠BAD=2∠BDC; 。。。。。。。。。。 …3分 (2)证明：①连接DO并延长，交⊙O于点G. ,DB切⊙O于点D, .∴.∠EDG=∠CDE+∠CDG=90°， …4分 ,DG是⊙O的直径， .∠DCG=90°， .∠G+∠CDG=90°，… 。。。。。。。。。。。。。 …5分 ∠CDE=∠G,…6分 CD=CD, ∠CBD=∠G, ∠CBD=∠CDE, …7分 ,'∠CFD=∠DFB .△DCF∽△BDF;… …8分 ②由①可知∠CBD=∠CDE, .CD=CD, ∴.∠CBD=∠CAD, ∴.∠CDE=∠CAD, 又，∠AED=∠DEC, ∴.△ECD∽△EDA, .CE_CD ,则CE=DE:CD …9分 ·DEAD AD SSano=DF SARCI SAROR-BF SA DG-SARCB DF=EF,即DB=2EF,…l0分 :AD=BD,DG是⊙O的直径， ∴.DG⊥AB, .DE切⊙O于点D, ∴.DG⊥DE, .AB∥DE, .△ABC∽△EFC, .AC-CE-DE.CD_2CD AB BRBR.ADD·即4巴=2CD AB AC 11分 ,四边形ABCD为圆O的内接四边形， .∠DAB+∠DCB=180°， 又，∠FCD+∠DCB=180°， ∴.∠DAB=∠FCD, AD=BD, ∴.∠DAB=∠ACD, ∴.∠ACD=∠FCD, ,'∠CDE=∠CAD, ∴.△ACD∽△DCF, .DECD …12分 ”ADAC :2CD=2DF DE AC ADAD 片AD、DE ·ABAD AD2=AB·DE, BD2=AB.DE,…13分2025-2026学年第一学期九年级数学期末考试 满分：150分，考试时间：120分钟 学校： 班级： 学号： 姓名： 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的。 1、下列二次根式中，最简二次根式是 B.√4 D.8 2、若最简二次根式√m-1与√8可以合并，则√2m-1的值是 A.5 B.5 C.5 D.7 3、下列方程是一元二次方程的是 A.3x+2=0 B.x+y2=-2 C.x2+2x=x2-1 D.x2=7x 4.如图是某河坝的横截面，若迎水坡AB的长度为17米，坡角为a,则坝高BC为多 少米？ B. 17 A.17sina sin a C.17cosa D. 、17 cosa 5.某同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势 图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 频率 A.朝上的点数是5的概率 40% B.朝上的点数是奇数的概率 30% 20% C.朝上的点数大于2的概率 10% D,朝上的点数是3的倍数的概率 200400600800次数 6,如图在△MBC中，D,E分别是边AB,BC上的点，且DE∥AC,若 S△pE;S△MDg=1:2则SADOE:SAAOC的值为 A,1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 九年级数学第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知a和b是方程x2+2024x-4=0的两个解，则a2+2023a-b的值为 A.2020 B.2024 C.2026 D.2028 8.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C,AE为直径，AB=8,CD=2,则 线段CE的长为 A.2√0 B.45 c.213 D.2√5 D 9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,且AC=6,BD=8,点E,F,分别 是边AB,CD的中点，则EF的长度是 A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知二次函数y=-a2+2(k+1)x+1的图象上有四个点：A(a,m),Bb,m),C(c,m), D(d,n),其中m<n,下列结论一定不正确的是 A.若k>1,则a+b+c+d>0 B.若k>1,则a<d<c<b C.若k<-1,则a+b+c+d>0 D.若k<-1,则d<a<c<b 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若使二次根式√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.如图，直线∥l2∥%，直线a,b与4,24分别交于点AB,C AD 和点D,E,F,若AB:BC=1:2,DF=9,则EF的长为 13.二次函数y=x2+2x+m的最小值是-2，则m的值为 14.在如图所示的电路中，随机闭合开关S,S2,S,中的两个， 能让灯泡L发光的概率是 15.如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，I为△MBC内心， I与⊙O交于点D,O⊥AD与点I,则an∠BAD= 九年级数学第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为 △ABC外一点，且满足∠ADB=60°，BD=3,CD=5, 则△ABD的面积为· 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、(8分) 计算： -√2+4cos30°. 18.(8分) 解方程：x2-4x-3=0. 19.(8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,点R,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B. (1)求证：△ABP∽△PCD: (2)若AB=5,BC=6,当PD∥AB时，求BP的长. 20.(8分) 某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全相同的小 球，小球上分别印着“10元”，“20元”，“30元”的字样.规定：顾客一次性消费满 200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少. (1)小聪有1次摸球机会，求他摸中“10元”小球的概率； (2)小明有两次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他两次摸球返现金额 之和超过30元的概率。 九年级数学第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 21.(8分) 我们在初中物理中学过：光的折射现象，如，光线从空气射入水中会发生折射现象 (如图1)，我们把n=si加称为折射率（其中a代表入射角，B代表折射角）。 sin B 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管N可以看见水底 的物块C,但不在细管N所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形， 洽在同-条直线上，测得BF=12cm,LABD=37°，（参考数据：8 c0s53°≈3 tan53°≈4) 4 3 (1)求DF的长： (2)点C在AB上，测得BC=7cm,求光线从空气射入水中的折射率n. 入射角a一法线 ”介质 介质（折射率n) 折射角 图 图2 图 22.（10分) 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD的延长线上一点，连接AE. (1)请用尺规作图法在线段BC上取一点F,使得△FBD∽△ABE:(保留作图痕 迹，不写作法) (2)在（1)的条件下，若BF2=CF·DC,求∠DAE的正切值. 九年级数学第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 23.（10分) 二次函数y=x2+bx+c,(b,c为常数)，正比例函数y2=x,函数y,y的图象有 两个交点，这两个交点的横坐标分别为：，x2,且满足名1>0，x2一为>1. (1)当x=1时，求b+c的值： (2)求证：b2>2b+4c: (3)设0<m<x,点(m,)在函数y图象上，请比较n与x的大小. 24、(13分) 汽车行驶中的刹车距离是重要的研究指标，经大量实验和数据分析，发现汽车在平 坦路面的刹车距离y（单位：m)与车速x（单位：om/h)之间都存在着某种同类型的 函数关系.某汽车公司共设计了三种型号AB,C,的新型汽车，为了确定y与x之间 的函数关系类型，该公司先测试了G的刹车性能： 车速x(am/h) 0 30 45 60 90 105 120 150 刹车距离y(m) 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 ym)↑ 80 70 60 50 40 30 20 10 0 102030405060708090100110120130140150xm/h) (1)请根据表中提供的数据，在坐标系中描出(x,y),顺次连接各点，并判断刹车 距离与行驶速度的函数关系类型，并写出这种函数关系的一般表达式（表达式的系数按 x的降幂排列用有序数组(4，b,c)进行表示，这个数组称为刹车系数)： (2)根据上面的判断，该公司将A和B两种车型的y与x的函数关系的刹车系数近 九年级数学第5页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 似表示分别是a高00和0高小，其中0<≤20,1.为了估计a的值，公司 综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的路面进行刹车试验，具体的数据如表三： 路面 路面一 路面二 路面三 路面四 路面五 路面六 车速(am/) 100 100 100 100 100 100 刹车距离(m) 26.5 27.2 27.5 27.5 29.2 30.1 ①依据上述数据，合理估计a的值，并求A款型号汽车的“刹车距离”为5.2m时所 对应的车速： ②当40<≤150时，是否存在实数b,使得在相同的车速下型号B汽车的“刹车距离” 始终比型号A汽车的“刹车距离”小？若存在，求出相应的b的取值范围：若不存在， 请说明理由. 25.（13分) 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC和BD,AD=BD,在AC的延 长线上取一点E,连结DE,延长BC交DE于点F, (1)若C为BD的中点，求证：∠ACD=2∠BDC; (2)当DE切⊙O于点D时， ①求证：△DCF∽△BDF: ②若SABDC=S△ECB,求证：DB2=AB·DE, 九年级数学第6页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP