寒假作业06幂函数-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

寒假作业06 幂函数 要点回顾 知识点1 幂函数的概念 幂函数的概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点2 幂函数的图象与性质 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 知识点3 幂函数性质的综合运用* (1)比较幂值大小时，先看幂指数是否相同，如果相同就可以构造幂函数，利用其单调性比较大小；如果幂指数不相同，可以借助中间值比较大小，有时也可以把幂指数化成相同的，再利用单调性比较大小. (2)解决幂函数的综合问题时首先要确定幂指数，然后根据幂指数来分析得到函数的单调性和奇偶性等性质，最后应用上述性质来解决具体的问题. 题型巩固练 一、题型一 幂函数的概念 1．给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的图象经过第三象限 二、题型二 有关幂函数的单调性 4．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．函数在上为增函数，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 8．幂函数在上单调递减，则 三、题型三 比较大小 9．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 四、题型四 过定点问题 12．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 14．函数的图象恒过点 . 五、题型五 解不等式 15．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．已知幂函数则不等式的解集为 ． 19．已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 能力提升练 一、单选题 1．若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 2．已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．4 B． C． D．4或 5．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 6．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 二、多选题 7．若函数且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 9．已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 三、填空题 10．若幂函数的图像经过点，则 ． 11．若幂函数为偶函数，则 12．已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 四、解答题 13．已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 14．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业06 幂函数 要点回顾 知识点1 幂函数的概念 幂函数的概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点2 幂函数的图象与性质 五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 知识点3 幂函数性质的综合运用* (1)比较幂值大小时，先看幂指数是否相同，如果相同就可以构造幂函数，利用其单调性比较大小；如果幂指数不相同，可以借助中间值比较大小，有时也可以把幂指数化成相同的，再利用单调性比较大小. (2)解决幂函数的综合问题时首先要确定幂指数，然后根据幂指数来分析得到函数的单调性和奇偶性等性质，最后应用上述性质来解决具体的问题. 题型巩固练 一、题型一 幂函数的概念 1．给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可求解. 【详解】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 2．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的图象经过第三象限 【答案】AB 【分析】根据幂函数的定义，可得到关于的方程，进而求得的值，再根据的值逐一分析选项. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，所以选项A正确，选项B正确； 由，得，所以选项C错误； 又，所以其图象不经过第三象限，所以选项D错误. 故选：AB 二、题型二 有关幂函数的单调性 4．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得或， 即函数的定义域为. 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 的单调递减区间是. 故选：B 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 6．函数在上为增函数，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数在上为增函数，列出相应的不等式组即可求解. 【详解】因为函数在上为增函数， 所以，解得. 故选：BCD. 7．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一判断. 【详解】根据已知，设幂函数，又函数图像过点，解得，即. 对于选项A，因为，所以A正确； 对于选项B，定义域为，B错误； 对于选项，，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于选项D，值域为，故无最小值，D正确. 故选：AD. 8．幂函数在上单调递减，则 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义可得 ，即可求出 的可能取值，再根据函数在 上为减函数，即可确定出满足题意的 的值. 【详解】因为 所以，解得或， 当 时， 在 上是增函数，不符合题意， 当 时， 在 上是减函数，符合题意， 综上，. 故答案为： 三、题型三 比较大小 9．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 11．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】A：在上单调递增，所以，故正确； B：在上单调递增，所以，故错误； C：在上单调递减，所以，故错误； D：在上单调递减，所以，故错误； 故选：A. 四、题型四 过定点问题 12．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 13．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 14．函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 五、题型五 解不等式 15．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 16．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 17．已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 18．已知幂函数则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且函数在单调递增，在单调递增，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 19．已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 能力提升练 一、单选题 1．若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以，解得． 故选：A 2．已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】设，代入点的坐标，求出的值，即可求出解析式，从而判断即可. 【详解】设，依题意，解得，所以， 则的定义域为，且， 所以为偶函数，且在上单调递增. 故选：A 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 4．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．4 B． C． D．4或 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得或， 又因为幂函数在上单调递增，则 所以. 故选：A. 5．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定幂函数的性质，再结合图象特征判断即可. 【详解】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB； 函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合. 故选：C 6．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】由条件确定的值，研究幂函数的定义域，奇偶性及在上的单调性，利用单调性解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，即，解得. 因为，所以的可能取值为1，2. 因为幂函数为偶函数，须满足指数为偶数. 当时，，是偶数，符合条件； 当时，，是奇数，不符合条件， 所以，所以不等式为①. 因为幂函数的定义域为， 且对于定义域内的任意，都有， 所以幂函数是偶函数，且在上单调递减. 所以①式可化为②， 将两边平方可得， 即，即，解得， 所以②式为，解得且， 故选：C 二、多选题 7．若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】判断出函数的单调性及图象形状，结合复合函数单调性的判断方法、特殊值法逐项分析即可. 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 8．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 【答案】ACD 【分析】由可求出的值，可得出函数的解析式，计算的值，可判断A选项；利用反比例函数的奇偶性可判断B选项；利用反比例函数的单调性可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，解得，所以， 所以，即的图象经过点，A对； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的图象关于原点对称，B错； 对于C选项，函数在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，故当时，恒成立，D对. 故选：ACD. 9．已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断ABC；解法一：取特殊值计算可判断D，解法二：作图，根据函数图象可判断D. 【详解】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图象如下：      由图象可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC 三、填空题 10．若幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】8 【分析】利用幂函数的定义可得答案. 【详解】设幂函数 ，由其图像经过点 ， 得：， 得：， 得：，即， 因此 ， . 故答案为 ：8. 11．若幂函数为偶函数，则 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义及性质，可得m值，检验即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或2， 因为为偶函数，所以为偶数，则， 当时，，定义域为R， 则，符合题意， 故答案为：1 12．已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 四、解答题 13．已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1)， (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义，结合单调性求参数即可； （2）根据题意，，任取，且，作差得，再根据的符号确定单调性即可． 【详解】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 14．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数定义求出，结合性质取舍即可； （2）根据二次函数对称轴和区间的位置关系可求答案； （3）对参数分类讨论，比较根的大小可得不等式的解集. 【详解】（1）由幂函数定义可得， 即，解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得，则的解析式为. （2）由题意得，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； （3）， 当时，，解得； 当时，令，解得或， 若，当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $