检测4函数的概念与性质-基础卷-2025-2026学年高一上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测4函数的概念与性质-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 4．设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 6．下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若函数，则（    ） A．0 B． C．5 D． 8．函数的定义域为R，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．函数,则 ． 13．函数，的值域是 . 14．定义在上的奇函数满足，且当时，则当时的解有 个. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 16．已知． (1)求的定义域； (2)求的值； (3)求的值． 17．已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 18．（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 19．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测4函数的概念与性质-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 4．设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 6．下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若函数，则（    ） A．0 B． C．5 D． 8．函数的定义域为R，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．函数,则 ． 13．函数，的值域是 . 14．定义在上的奇函数满足，且当时，则当时的解有 个. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 16．已知． (1)求的定义域； (2)求的值； (3)求的值． 17．已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 18．（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 19．已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D B C A ACD AD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据分段函数的解析式，先根据0满足的条件选择正确的解析式求出，根据其值，代入符合要求的解析式计算，求出结果即可. 【详解】可知，则. 故选：B. 2．C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C. 3．D 【分析】根据幂函数的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D 4．C 【分析】根据周期的定义即可求解． 【详解】因为函数满足对任意成立， 所以周期为4，又当时，， 所以， 故选：C． 5．D 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 6．B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 7．C 【分析】赋值法计算求解函数值. 【详解】. 故选：C. 8．A 【分析】对方程进行赋值得函数为偶函数,且周期为6,即可求解． 【详解】因为函数的定义域为R，且， 所以，得，得函数为偶函数， 由，得， 所以，两式相加得， 得，得到, 则的周期为6，故， 又，， 得，则, 又，所以， 所以，则. 故选：A 9．ACD 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 10．AD 【分析】根据给定的函数式，逐项计算判断即可. 【详解】对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，得，C错误，D正确. 故选：AD 11．ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误； 因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】代入解析式中求值即可. 【详解】由题意得，. 故答案为： 13． 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 14．1014 【分析】由可得函数的周期为，再结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由题可知，，的周期为8， 又当时，在上为奇函数， 可画出在一个周期上的图象为： 由图可知在每个周期上有4个解，在上有2个解， 则可分为区间再加253个周期，则零点个数应为个. 故答案为：. 15．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【详解】（1）因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 16．(1)的定义域为的定义域为； (2)； (3) 【分析】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为； （2）将分别代入计算即可； （3）先计算出的值，再代入即可. 【详解】（1）对于，因为分母不为，所以，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）由知 ， ； （3）因为， 所以. 17．(1)11； (2)证明见解析； (3)最大值和最小值分别为38和11. 【分析】（1）由计算出的值并求出函数解析式，进而求出的值； （2）由（1）的函数，利用减函数的定义推理得证. （3）由（2）可得在指定区间上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 18．（1）（2） 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【详解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 19．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，可求出和的值； （2）利用奇函数的定义证明； （3）先根据函数单调性的定义证明其是减函数，然后结合单调性推出，转化成，然后求不等式右边最小值即可. 【详解】（1）取可知，，则； 取，则 （2）取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 （3）先证明函数是减函数，， ， 由题知时，，则，则， 故在上单调递减， ，结合， 则， 即，于是， 由，则， 不等式转化为， 而，当取得等号， 故 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $