7.3.4正切函数的性质与图像（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

7.3.4 正切函数的性质与图形 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解正切函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性和零点. 利用周期性、奇偶性及正切线直观表示，能通过列表、描点、连线在区间 内作图，并推广至整个定义域. 通过性质归纳和图像绘制，提升学生的直观想象能力和数学操作技能. 新课导入 在前面的学习中，我们掌握了正弦函数 的性质与图像.你还记得我们是怎样研究正弦函数的吗？ 借助单位圆中的正弦线： ①定义域与值域 ②周期性与奇偶性 ③单调性 ④绘制图像 性质 图像 我们要运用这个同样成熟的研究思路，来认识三角函数家族的另一个重要成员——正切函数 新知探究 我们首先来回顾正切函数以及正切函数线，并类比研究正弦函数的性质与图像的过程，研究正切函数的性质与图像. 正切函数的定义 正切函数线 对于任意一个角,只要 ,就有唯一确定的正切值 tan 与之对应， 因此 是一个函数，这就是正切函数. ②正切线可以直观地表示正切值 ①如图 ，就是角 的正切线 探究一：正切函数的性质 新知探究 尝试与发现 问题一：当角 的终边运动到何处时，正切线不存在？这说明了定义域是什么？ ①第一象限的任意角 ②终边无限接近 ③终边与重合，正切线不存在 因此可知的定义域为 5 新知探究 问题二：正切线 的长度可以如何变化？这说明了值域是什么？ ①终边无限接近 ②终边无限接近 正切线沿 轴正方向无限延长， 的值无限增大 当 从 增大趋近于 时，正切线沿 轴负方向无限延长， 的值无限减小 对比正弦函数的值域 ，得出正切函数的值域为 6 ① ① 问题三：根据诱导公式，与 有何关系？奇偶性是什么？ 新知探究 结合以及所学过的诱导公式可知 正切函数为奇函数，其图像关于原点对称. ② ① 新知探究 问题四：观察正切线，当角 增加 时，正切线如何变化？周期性是什么？ 由图可知，= 故正切函数的最小正周期为 新知探究 问题五：在 内，随着 增大，正切线如何变化？单调性如何？ 在内，随 增大，正切线越来越短，正切值越来越大 在内，随 增大，正切线越来越短，正切值越来越大 在每一个开区间 )上都是单调递增的 知识小结 正切函数的性质 ①定义域：． ②值域： ③奇偶性：奇函数． ④周期性：周期为 ⑤单调性：在每一个开区间 )上都单调递增 ⑥零点： 即时训练 1.求函数的定义域、值域和周期. 【分析】根据正切函数的性质可以分别求解. 解，，即，， 设，由，知，， ∴的值域为，即的值域为． 由 ∴的周期为． ∴函数的定义域为{|Z} 新知探究 探究二：正切函数的图像 如何利用已得出的性质，高效地画出正切函数的图像？ ①利用周期性：先画一个周期内的图像，默认区间为 ②利用奇偶性：先画 的图像，再关于原点对称得到 的图像. ③描关键点：在 上取“四点”. 新知探究 0 ​ 0 ​​ 1 ​ ①列表 ②描点+连线 ③利用中心对称 由此我们就得到了 上的函数图像，再利用正弦函数的周期性，即可的到正切函数在其定义域上的图像. 新知探究 由于的周期是,所以正切函数在上的函数图像如图： 一般地，的函数图像称为正切曲线. 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为 知识小结 正切函数的图像 如右图，为正切函数的函数图像 图像特征： 对称中心： 点击右侧图标动态演示正切线与正切函数关系演示 即时训练 2.作出函数的图象. 【分析】依题意是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，即可得到的函数图象； 【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示： 典例分析 例1 求函数 的定义域. 【分析】通过换元，将求解复合函数 )定义域的新问题，转化为求解基本函数 定义域的已知问题. 解：令 ，则 可以化成 . 因为 中，，，所以 所以函数 的定义域为 典例分析 例2 将 满足的条件或关系，通过换元式转化回关于原始自变量 的条件或关系. 求函数 的周期. 解：令 ，则 可以化成 . 由于 这说明对任意 ，当它增加到且至少要增加到 时， 的函数值才重复出现 这就说明 的周期为. 巩固提升 重点题型一：定义域问题 所以函数的定义域为. 1.求函数的定义域. 【分析】根据函数的解析式列出不等式组，结合正切函数的性质求解即可. 【详解】要使函数有意义 则，即. 在上满足上述不等式的的取值范围是. 又因为的周期为 巩固提升 重点题型二：正切型函数不等式问题 故解集为： 2.求不等式的解集. 【分析】根据正切函数性质即可得出答案. 解，则， 则 巩固提升 重点题型三：正切函数的周期性 3.求函数的定义域与最小正周期. 【分析】根据题意，由正切型函数的定义域以及周期公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，，所以，， 最小正周期为； 所以函数定义域为{|Z}； 巩固提升 重点题型四：正切函数的奇偶性 4.求函数的奇偶性. 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或 ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又 ， ∴，∴是奇函数． 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 正切线与正切函数 人教B版高中数学 · 必修课程 当前角度 0 rad 单位圆与正切线定义 拖拽圆上的红点改变角度 tan α = 0.00 正切函数图像 $y=\tan(x)$ 观察函数值的同步变化 定义域: $x eq \frac{\pi}{2} + k\pi$ 值域: $(-\infty, +\infty)$ 角度调节 0 -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 角度 (rad) 0 正切值 0.00 课堂小结 正切函数的图像与性质 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 💡 提示 点击蓝色色块可查看隐藏的关键内容。 核心知识梳理 函数图像 y = tanx 图象特征：被互相平行的渐近线隔开的无穷多支曲线组成。 基本性质 01 定义域： {x | x ≠ kπ + π2, k ∈ Z} 02 值域： R 03 周期性： 最小正周期 T = π 04 奇偶性： 奇函数 (图象关于原点对称) 单调性与对称性 05 单调递增区间： (kπ - π2, kπ + π2), k ∈ Z 06 对称中心： (kπ2, 0), k ∈ Z 常见易错点 🚫 单调区间的书写错误 错误写法：将单调区间用并集符号 "∪" 连接。 正解： 正切函数在整个定义域上不单调，只能说在每一个开区间 (kπ - π2, kπ + π2) 上单调递增。 ⚠️ 忽视定义域限制 在解正切型方程或不等式时，容易忘记 x ≠ kπ + π2 这一条件。 警示： 解题最后一步务必检验解集是否在定义域内，特别是涉及 tanx 有意义的条件。 📝 参数 k 的遗漏 在写对称中心、单调区间或定义域时，经常忘记注明 k ∈ Z。 规范写法： 必须在表达式后加上 , k ∈ Z k∈Z 解题方法论 1. 整体代换法 处理 y = A tan(ωx + φ) 型函数时，将 ωx + φ 看作一个整体 t。 求单调递增区间步骤： kπ - π2 < ωx + φ < kπ + π2 📦 整体思想 2. 数形结合法 解决正切不等式（如 tanx > 1）时，画出函数图像与直线 y = 1，观察图像上下关系。 关键步骤： 画出一个周期内的图像 找到交点横坐标 根据图像写出基础区间 两端加上 kπ 📈 以形助数 $