14.8一次函数的应用（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

二、一次函数 14.8一次函数的应用 第十四章 一次函数 学 习 目 标 1 2 能根据实际问题建立分段一次函数模型，并确定自变量的取值范围。 会利用一次函数的图象与性质，比较不同方案的优劣，解决实际决策问题。 3 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的联系，能结合函数图象求解方程与不等式。 复习回顾 1 问题1：一次函数的增减性由什么决定？ 由系数 k决定，当 k>0时，y随 x的增大而增大；当 k<0时，y随 x的增大而减小 问题2：如何用两点法快速画出一次函数的图象？ 选取图象与坐标轴的交点 (0,b)和 (−,0)，描点连线即可。 新知导入 2 生活中很多问题都可以用一次函数来解决，比如： 商场购物的分段优惠； 游泳馆的不同付费方案； 燃料消耗的剩余量计算。 今天我们将学习如何用一次函数解决这些实际问题。 实际问题 数学问题 数学知识 数学答案 还原 新知探究 3 一次函数与实际问题 探究1 例1：某超市出售小麦粉，每袋售价 80 元 . 为了促进销售，规定了优惠办法：买 3 袋按售价计算，从第 4 袋开始每袋优惠 5%. ( 1 ) 写出购买小麦粉的总金额 M ( 元 ) 与购买袋数 n 的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围； 实际问题 一次函数 分析： 1.分析问题中的分段条件，确定不同区间的数量关系； ①0<n≤3（n 为整数）： ② n≥4（n 为整数）： 2.对每个区间分别列出一次函数表达式； M = 80 n M = 80 × 3 + 80 × ( 1 - 5% ) ( n - 3 ). 3.结合实际意义，确定每个区间自变量的取值范围。 新知探究 3 一次函数与实际问题 探究1 解：( 1 ) 根据题意，可以知道： 当 0≤n≤3 时，可得函数的表达式为M = 80 n. 自变量 n 的取值范围是0≤n≤3 ( n 是整数 ). 当 n≥4 时，可得函数的表达式为 M = 80 × 3 + 80 × ( 1 - 5% ) ( n - 3 ). 整理，得M = 76 n + 12. 自变量 n 的取值范围是 n≥4 ( n 是整数 ) 分段函数的核心是 “分段讨论”，每个区间的表达式需符合该区间的数量关系，且自变量取值范围要满足实际意义。 新知探究 3 一次函数与实际问题 探究1 ( 2 ) 为了快速得到购买这种小麦粉的总金额，请你利用这个函数的表达式制作一个购买 1 ~ 10 袋化肥的总金额的对照表。 解：当 n 依次取 1 ~ 10 时，分别计算出函数的值，得出下表： 数学知识 解决实际问题 新知探究 3 方案选择与函数图象的应用 探究2 例2：某游泳馆推出两种游泳付费方案，方案一：购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人使用，凭卡游泳每次再收费50元；方案二：不购买会员卡，每次游泳收费70元。选择哪种方案更合算？说明理由。 分析：根据题意，可写出游泳所需费用与游泳次数的函数关系。 新知探究 3 方案选择与函数图象的应用 探究2 解：设游泳x次，两种方案所需费用分别为y1和y2元，则这两个函数的表达式分别为 y1=200+50x（x≥0，x为整数）y2=70x（x≥0，x为整数） 在同一平面直角坐标系中画出它们图像的示意图，两图像的交点为A，交点处有相同的纵坐标，意味着此时两种方案的收费相同。 新知探究 3 方案选择与函数图象的应用 探究2 令y1=y2，有 200+50x=70x 解这个方程，得 X=10 由此可到如下结论： （1）当游泳次数x=10时，两种方案都可； （2）当游泳次数0＜x＜10时，选择方案二更合算； （3）当游泳次数x＞10时，选择方案一更合算。 新知探究 3 方案选择与函数图象的应用 探究2 　　 知识归纳 利用一次函数的图象与性质，比较不同方案的优劣 1.为每个方案建立一次函数表达式； 2.在同一坐标系中画出各函数的图象，找到交点； 3.根据图象的高低或函数的增减性，分析不同区间内的最优方案。 新知探究 3 一次函数与方程、不等式的联系 探究3 问题 1：说明二元一次方程 2x−y+3=0 的解与一次函数 y=2x+3 及其图象的关系。 任意取方程 2x−y+3=0 的一组解，例如 x=0 时 y=3，得到点 (0,3)；x=1 时 y=5，得到点 (1,5)。 这两个点都在一次函数 y=2x+3 的图象上。 反过来，在 y=2x+3图象上任意取一点，例如 (−1,1)，代入方程 2x−y+3=0，左边 =2×(−1)−1+3=0，满足方程，说明该点坐标是方程的解。 新知探究 3 一次函数与方程、不等式的联系 探究3 问题2：利用上面的关系，判断下列方程组的解的个数。 两个函数的 k 相同，b 不同，图象是互相平行的直线，没有交点，因此方程组无解。 两个函数的 k 不同，图象是相交的直线，有唯一交点，因此方程组有唯一解。 新知探究 3 一次函数与方程、不等式的联系 探究3 问题 3：探索一元一次方程 2x+3=0 的解、一元一次不等式 2x+3>0 的解与一次函数 y=2x+3 之间的关系。 方程 2x+3=0 的解：令 y=0，即求一次函数 y=2x+3 图象与 x 轴交点的横坐标。解得 x=−23​。 不等式 2x+3>0 的解：令 y>0，即求一次函数 y=2x+3 图象在 x 轴上方时 x 的取值范围。因为 k=2>0，函数单调递增，所以 x>−23​。 新知探究 3 一次函数与方程、不等式的联系 探究3 问题 3：探索一元一次方程 2x+3=0 的解、一元一次不等式 2x+3>0 的解与一次函数 y=2x+3 之间的关系。 结论：一元一次方程 2x+3=0的解，就是一次函数y=2x+3的图象与x轴交点的横坐标。 一元一次不等式2x+3>0的解集，就是一次函数y=2x+3的图象在x轴上方时x的取值范围。 典例解析 4 例1 购买种子 数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 付款金额/元 … “黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折. （1）填写下表： 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 典例解析 4 （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 分析：从题目可知，种子的价格与 有关. 若购买种子量为x＞2时，种子价格y为： . 若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为： . 购买种子量 y=5x y=4（x-2）+10=4x+2 典例解析 4 解：设购买量为x千克，付款金额为y元. 当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2. 当0≤x≤2时，y=5x； 叫做分段函数. 注意：1.它是一个函数； 2.要写明自变量取值范围. y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2) ｛ 典例解析 4 y=5x(0≤x≤2) y=4x+2(x>2) y x O 1 2 10 3 14 的函数图象为: y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2) ｛ 新知进阶 5 某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）.方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供若干元赞助后每张票价为50元，如图中直线DC. 总价相同时，x的值为 ，总价是 ⁠ ，如果某单位拟定购买300张，应选择 ⁠； 200　 18000 　 方案一　 课堂练习 6 1. 某人用新充值的50元IC卡打长途电话，按通话时间3 min内收2.4元、超过1 min加收1元的方式缴纳话费，若通话时间为t min（t≥3），则卡中所剩话费y（单位：元）与时间t（单位：min）之间的关系式是 ⁠ ⁠. y＝ －t＋50.6（t≥3）　 课堂练习 6 2. 某快递公司的每位快递员日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示. （第2题） （1）求每位快递员的日收入y（单位：元）与日派送量x（单位：件）之间的函数关系式. 解：（1）设函数关系式为y＝kx＋b. 将（0，70），（30，100）代入y＝kx＋b， 得 　解得 ∴每位快递员的日收入y与日派送量x之间的函数关系式为y＝x＋70. 课堂练习 6 （2）已知某快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？ （2）根据题意，得x＋70≥110.解得x≥40. 答：某快递员的日收入不少于110元，则他至少要派送40件. （第2题） 课堂练习 6 3. 某校准备让甲、乙两家公司为毕业班制作一批光盘作毕业留念.甲公司提出：每个光盘收材料费5元，另收设计和制作费1 500元；乙公司提出：每个光盘收材料费和制作费8元，不收设计费. （1）请写出两家公司的收费y（单位：元）与光盘个数x之间的函数关系式； （1）甲公司：y＝5x＋1 500；乙公司：y＝8x. （2）如果学校派你去甲、乙两家公司定做毕业留念光盘，你会选择哪家公司？ （2）当光盘的个数为500时选甲公司或乙公司；当光盘的个数大于500时选甲公司；当光盘的个数小于500时选乙公司. 0 课堂总结 7 核心应用 分段一次函数：用于解决分段计费、分段优惠等问题，需注意自变量的取值范围。 方案选择：通过建立函数模型、分析图象交点，确定不同区间的最优方案。 函数与方程：一次函数的图象与一元一次方程、二元一次方程组的解密切相关，体现了数形结合思想。 解题步骤：实际问题→建立函数模型→分析图象与性质→验证结论 思想方法：数学建模思想、数形结合思想、分类讨论思想。 感谢聆听! $