第10讲 一次函数的图象与性质（复习讲义，8考点9题型3重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数的图象与性质，覆盖定义、图象性质、交点求解、表达式确定及与方程不等式、几何综合等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点分层解析、真题题型预测及重难突破，形成系统复习体系，助力学生突破重点难点。 亮点在于融合数学思维与模型观念，如通过一次函数与菱形综合题培养几何直观，结合错题诊断归纳平移规律等易错点。分层练习设计基础到拓展层级，配合全国真题训练，有效提升学生运算能力与问题解决能力，为教师提供精准复习指导，高效把控备考节奏。

第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 求一次函数的自变量或函数值 题型01 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 根据一次函数表达式判断图象 题型02 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型03 一次函数的增减性 题型04 一次函数图象的平移 命题点三 求一次函数表达式 题型01 求一次函数表达式 命题点四 一次函数与方程（组）及不等式（组） 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与二元一次方程组 题型03 一次函数与一元一次不等式（组） 05·重难突破·思维进阶 27 突破一 一次函数的新定义问题 突破二 一次函数的图象与性质综合 突破三 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 35 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 求一次函数自变量或函数值 / 辽宁省卷 T10 / 理解一次函数的含义，并会根据自变量值求函数值，以及根据函数值求自变量值。 一次函数与坐标轴的交点 辽宁省卷 T20 / / 掌握根据一次函数表达式求其图像与坐标轴的交点坐标。 求一次函数关系式 / 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 掌握用待定系数法确定一次函数表达式，能根据两点坐标或一组对应值求表达式。 一次函数的图象 / / 沈阳卷T8 会画出一次函数图象，掌握根据一次函数表达式判断图象，及根据一次函数图象判断函数特征。 一次函数与不等式 / / 丹东卷T6 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能用函数观点看方程与不等式，解决问题。 一次函数的增减性 / / 盘锦卷T16 能根据一次函数表达式确定增减性，对函数值或自变量取值进行大小比较，以及根据对增减性的要求求参数。 一次函数的图象与性质综合 / / 阜新卷T18 掌握一次函数的图象特征、增减性、与坐标轴交点、平移规律、与方程与不等式结合等。 一次函数与几何综合 / / 沈阳卷T23 理解一次函数与几何图形之间的关系，通过函数图象与点坐标对几何图形进行分析，与动点问题、折叠问题、旋转问题结合应用等。 命题预测 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考察，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 考点一 求一次函数自变量或函数值 1.正比例函数 一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2.一次函数 一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，故正比例函数是一种特殊的一次函数. 1．（2025·辽宁大连·一模）一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为 ． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知一次函数y=2x+4的图象经过点(m，8)，则m= ． 考点二 一次函数与坐标轴的交点 1.与x轴的交点 令 ，解得 ，交点为 2.与y轴的交点 令 ，解得 ，交点为 1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 ． 2．（2025·辽宁本溪·三模）如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A．4.2 B．4.8 C．5.4 D．6 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 考点三 求一次函数表达式 1.待定系数法求一次函数表达式 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知点，关于x轴对称，若正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 ． 2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知一次函数，当时，，则k的值为（   ） A． B． C．或 D． 考点四 一次函数的图象 1.一次函数图象 一次函数 （）的图像是一条直线，因此一次函数的图像也称为直线 。 倾斜程度：越大，直线越陡峭；越小，直线越平缓； 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 时，直线与y轴交于正半轴（原点上方）； 时，直线过原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于负半轴（原点下方）。 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）一次函数向左平移2个单位后的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 考点五 一次函数的增减性 1.一次函数的增减性 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 1．（2025·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·辽宁·模拟预测）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 考点六 一次函数与不等式 1. 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 2. 一次函数与一元一次不等式 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 3. 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 考点七 一次函数的图象与性质综合 1.一次函数的平移规律 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 考点八 一次函数与几何综合 1．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，菱形的顶点A、D在直线上，点A在x轴上，点C的坐标为，则点B的坐为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 一次函数与x轴、y轴分别交于点，，点在一次函数的图象上，连接，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；再分别以点 M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点 P，作射线，交函数的图象于点D， 则 的值为 ． 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 4．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E． (1)求证：； (2)若点C的坐标为，求直线的解析式． 命题点一 求一次函数的自变量或函数值 ►题型01 求一次函数的自变量或函数值 1. 变量对应混淆：搞反自变量x与函数值y，或点坐标(x,y)代入时横纵颠倒 2. 解方程错误：移项忘变号、负系数化1时不等号方向未调整 3. 含括号/绝对值代入：去括号漏乘、绝对值处理忽略正负解 4. 忽略取值范围：未考虑实际问题中自变量的限制，导致结果无效 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列四点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把纵坐标等于横坐标的平方的点称为“平方点”．如点和点都是“平方点”．求函数图象上的“平方点”的坐标． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 根据一次函数表达式判断图象 k＞0，图像过第一、三象限；k＜0，图像过第二、四象限。 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上。 1. k与b符号混淆：错判k正负对倾斜方向、b正负对y轴交点位置的影响 2. 正比例函数漏记：忘记b=0时图象过原点，误判象限 3. 象限分析不全：未结合k、b符号综合判断直线经过的象限 4. 函数类型误判：将k=0的常数函数（y=b）当作一次函数 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）一次函数中，若kb<0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（    ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数图象与坐标轴的交点问题 1.与x轴的交点 令 ，解得 ，交点为 2.与y轴的交点 令 ，解得 ，交点为 【典例】1．（2025·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标是 B．随的增大而减小 C．当时，函数值 D．的面积是2 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（   ） A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 ►题型03 一次函数的增减性 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【变式】3．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． ►题型04 一次函数图象的平移 1. 平移规律记混：颠倒“左加右减（自变量）”“上加下减（常数项）”的适用对象 2. 符号处理失误：左加右减时，自变量未加括号，直接与常数项运算 3. 平移对象混淆：将函数图象平移与点的平移规律（左减右加）弄反 4. 正比例漏处理：忽略b=0时，平移仍需遵循“左加右减自变量”规则 【典例】．（2025·辽宁大连·模拟预测）将直线向右平移2个单位，所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）函数的图像可由的图像平移的方法是（    ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线沿轴向左平移2个单位后，则所得直线的解析式为 ． 命题点三 求一次函数表达式 ►题型01 求一次函数表达式 用待定系数法求一次函数表达式： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1. 忽略参数限制：忘记一次函数k≠0，或正比例函数（过原点）需满足b=0 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=kx+b时计算失误 3. 待定条件不足：仅用1个点求2个参数（k、b），或漏用平行（k相等）、垂直等隐含条件 4. 特殊点误判：与x轴/y轴交点坐标记反（x轴交点纵为0，y轴交点横为0） 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）已知华氏温度y（℉）与摄氏温度x（℃）之间的关系为一次函数关系，部分对应数据如下表所示，则y与x之间的函数关系式是（　　） x（℃） … 0 10 20 30 … y（℉） … 14 32 50 68 86 … A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B． C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2 【变式】2．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 命题点四 一次函数与方程（组）及不等式（组） ►题型01 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图是一次函数＝与＝的图象，则下列结论：①；②；③：④方程＝的解是＝，错误的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）已知一次函数（），如表示与的一些对应数值，则下列结论中错误的个数是（    ） … 0 1 2 … … 6 3 1 … ①随的增大而增大；②该函数的图象经过第一、二、三象限；③该函数的图象与轴的交点是；④关于的方程的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． ►题型02 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 1. 关系混淆：误将方程组的解与函数图象交点横纵坐标对应颠倒（解为交点横纵坐标） 2. 特殊情况漏判：忽略方程组无解（两直线平行，k相等b不等）、无数解（两直线重合，k、b均相等）的图象特征 3. 计算失误：求交点坐标时代入解析式错误，或解方程组移项、系数化1出错 4. 实际限制忽略：未考虑实际问题中自变量取值范围，导致交点坐标非有效解 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）把直线向下平移a个单位后，与直线的交点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知两直线的交点在第三象限，则m的取值范围为 ． ►题型03 一次函数与一元一次不等式（组） 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 1. 图象与不等号对应错：混淆y>0（x轴上方）、y<0（x轴下方）的图象位置 2. 临界点漏处理：忽略不等式等号对应图象与x轴交点，漏判是否包含解 3. 解析式变形失误：化不等式时，k为负系数化1未变号 4. 多函数比较漏判：两函数比较大小时，误判交点两侧的函数值大小关系 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与函数的图象相交于，，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 突破一 一次函数的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“加和函数”，在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”，在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． (1)若点在函数的图象上． ①的值为 ，点A关于函数的“加和点”的坐标为 ； ②求函数的“加和函数”的函数表达式． (2)点A在函数的图象上，点A关于函数的“加和点”为点B，点B在点A的上方，设点A的横坐标为． ①当时，求的值； ②在①的条件下，的“加和函数”为，直线交轴于点C，已知正方形，点、、，若将的边构成的图形记为，正方形的边与图形“”的交点个数为两个． （Ⅰ）请直接写出的取值范围； （Ⅱ）若点E在图形“”的内部（不包含边界），正方形于图形“”重叠部分的面积记为S，请直接写出S与的函数表达式． 突破二 一次函数的图象与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： (1)将“翻折函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 (3)当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 突破三 一次函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，直线分别与轴、轴交于两点；直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）． (1)求点的坐标． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)求（2）中的最大值． (4)当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知直线：，直线：，直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点C，与直线交于点D，连接，当是等腰直角三角形时，的值为 ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 1．若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（    ） A． B． C． D． 2．若一次函数的函数值随的增大而增大，则（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象与x轴的交点坐标是 D．函数的图象向上平移5个单位长度得的图象 5．平面直角坐标系内，将直线沿y轴向上平移个单位，所得直线的解析式是(　　) A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线相交于点P，则下列结论中： ①； ②当时，； ③关于x，y的方程组的解是； 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 12．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 13．如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 15．在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ． 16．如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 18．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 19．已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”． (1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________． ①   ②   ③   ④ (2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． (3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标． 20．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 8．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 11．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 12．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 15．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 29 命题点一 求一次函数的自变量或函数值 题型01 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图象与性质 题型01 根据一次函数表达式判断图象 题型02 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型03 一次函数的增减性 题型04 一次函数图象的平移 命题点三 求一次函数表达式 题型01 求一次函数表达式 命题点四 一次函数与方程（组）及不等式（组） 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与二元一次方程组 题型03 一次函数与一元一次不等式（组） 05·重难突破·思维进阶 57 突破一 一次函数的新定义问题 突破二 一次函数的图象与性质综合 突破三 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 89 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 求一次函数自变量或函数值 / 辽宁省卷 T10 / 理解一次函数的含义，并会根据自变量值求函数值，以及根据函数值求自变量值。 一次函数与坐标轴的交点 辽宁省卷 T20 / / 掌握根据一次函数表达式求其图像与坐标轴的交点坐标。 求一次函数关系式 / 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 掌握用待定系数法确定一次函数表达式，能根据两点坐标或一组对应值求表达式。 一次函数的图象 / / 沈阳卷T8 会画出一次函数图象，掌握根据一次函数表达式判断图象，及根据一次函数图象判断函数特征。 一次函数与不等式 / / 丹东卷T6 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能用函数观点看方程与不等式，解决问题。 一次函数的增减性 / / 盘锦卷T16 能根据一次函数表达式确定增减性，对函数值或自变量取值进行大小比较，以及根据对增减性的要求求参数。 一次函数的图象与性质综合 / / 阜新卷T18 掌握一次函数的图象特征、增减性、与坐标轴交点、平移规律、与方程与不等式结合等。 一次函数与几何综合 / / 沈阳卷T23 理解一次函数与几何图形之间的关系，通过函数图象与点坐标对几何图形进行分析，与动点问题、折叠问题、旋转问题结合应用等。 命题预测 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考察，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 考点一 求一次函数自变量或函数值 1.正比例函数 一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2.一次函数 一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，故正比例函数是一种特殊的一次函数. 1．（2025·辽宁大连·一模）一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值， 将代入，得，求出解即可． 【详解】解：当时，， 解得． 故答案为：4． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知一次函数y=2x+4的图象经过点(m，8)，则m= ． 【答案】2 【分析】将点(m，8)代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=2x+4的图象经过点(m，8)， ∴8=2m+4 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数． 考点二 一次函数与坐标轴的交点 1.与x轴的交点 令 ，解得 ，交点为 2.与y轴的交点 令 ，解得 ，交点为 1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点，先根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减得出新函数为，令，则，求解即可得出答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后得到的解析式为， 令，则， 解得：， 所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 2．（2025·辽宁本溪·三模）如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A．4.2 B．4.8 C．5.4 D．6 【答案】B 【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长. 【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（3,0）、点B（0,4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=， ∵四边形OADC是菱形, ∴OE⊥AB，OE=DE， 由直角三角形的面积得， 即3×4=5×OE. 解得：OE=2.4， ∴OD=2OE=4.8. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍. 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 考点三 求一次函数表达式 1.待定系数法求一次函数表达式 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知点，关于x轴对称，若正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形变换-轴对称，先根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b值，可得点C坐标，进而利用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：∵点，关于x轴对称， ∴，， ∴， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴这个正比例函数的表达式为， 故答案为：． 2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知一次函数，当时，，则k的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，且当时，， 令，，得：，解得，不符题意， 令，，得：，解得，不符题意， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，且当时，， 令，，得：，解得， 令，，得：，解得，符合题意， 故选：D． 考点四 一次函数的图象 1.一次函数图象 一次函数 （）的图像是一条直线，因此一次函数的图像也称为直线 。 倾斜程度：越大，直线越陡峭；越小，直线越平缓； 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 时，直线与y轴交于正半轴（原点上方）； 时，直线过原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于负半轴（原点下方）。 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）一次函数向左平移2个单位后的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像，一次函数图像的平移，掌握平移规律是解题的关键，“上加下减，左加右减”． 先求出平移后的一次函数解析式，再根据的符号判断经过经过象限即可． 【详解】解：一次函数向左平移2个单位后的函数解析式为， 此时， ∴平移后的直线经过第一、二、三象限，则不经过第四象限， 故选：A． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的坐标，根据在第三象限的点的纵横坐标都是小于0，再结合一次函数的图象性质，得的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴ ∴函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 考点五 一次函数的增减性 1.一次函数的增减性 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 1．（2025·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， ∴， 故选：C． 2．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，对于一次函数，当时函数值随的增大而减小，由此求出k的取值范围，即可求解． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ， ， 观察各选项数值，只有A选项中， 故选A． 3．（2025·辽宁·模拟预测）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键． 考点六 一次函数与不等式 1. 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 2. 一次函数与一元一次不等式 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 3. 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：D． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 考点七 一次函数的图象与性质综合 1.一次函数的平移规律 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 【答案】C 【详解】解： A．当时，，函数图象经过第一、三、四象限，故错误； B．当时，随的增大而增大，故错误； C．当时，，图象与轴交于点，因此函数图象一定交于轴的负半轴，故正确； D．当时，，一定经过点，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质． 4．（2023·辽宁阜新·中考真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)4，图像见详解； (3)，图像见详解； (4)答案见详解； 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：4； ②根据表格描点再连接起来，如图所示，   ； （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 描点如图所示，   ； （4）解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 考点八 一次函数与几何综合 1．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，菱形的顶点A、D在直线上，点A在x轴上，点C的坐标为，则点B的坐为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征及菱形的性质． 根据四边形是菱形可知，故可设直线的解析式为，再把点C的坐标为代入求出b的值即可得出此解析式，设出B点坐标，再由即可得出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， ∵点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 一次函数与x轴、y轴分别交于点，，点在一次函数的图象上，连接，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N；再分别以点 M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点 P，作射线，交函数的图象于点D， 则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理； 作于E，于F，根据角平分线的性质可得，求出点C坐标，利用勾股定理计算出，求出，然后再根据三角形面积公式可得． 【详解】解：如图，作于E，于F， 由作图知：平分， ∴， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设和的底边，上的高为h， 则， 故答案为：． 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 4．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E． (1)求证：； (2)若点C的坐标为，求直线的解析式． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题． （1）证明和即可得出结论； （2）设直线的解析式为：，把A，C坐标代入可求出m和n的值，进而可求出的长，因为，所以M的坐标又可求出，再设直线的解析式为，把M和B点的坐标代入求出k和b的值即可求出直线的解析式． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为：，把A，C坐标代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 令，可求得， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，把和的坐标代入得： 解得：， ∴直线的解析式． 命题点一 求一次函数的自变量或函数值 ►题型01 求一次函数的自变量或函数值 1. 变量对应混淆：搞反自变量x与函数值y，或点坐标(x,y)代入时横纵颠倒 2. 解方程错误：移项忘变号、负系数化1时不等号方向未调整 3. 含括号/绝对值代入：去括号漏乘、绝对值处理忽略正负解 4. 忽略取值范围：未考虑实际问题中自变量的限制，导致结果无效 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列四点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，在一次函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式， 则分别求出，，和的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在函数的图象上， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y的最大值是． 故答案为： 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）点和点在直线上，过点作轴，垂足为点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤．先求出直线的解析式，由轴，垂足为点可知点B的纵坐标为2，代入解析式求出即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴， ∴， ∵轴，垂足为点， ∴点B的纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故选A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 2 … y … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把纵坐标等于横坐标的平方的点称为“平方点”．如点和点都是“平方点”．求函数图象上的“平方点”的坐标． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意根据“平方点”的意义，设为函数图象上的“平方点”，则，求出m后即可判断得解． 【详解】解：由题意根据“平方点”的意义，设为函数图象上的“平方点”， ， 或． 函数图象上的“平方点”的坐标为或． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 根据一次函数表达式判断图象 k＞0，图像过第一、三象限；k＜0，图像过第二、四象限。 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上。 1. k与b符号混淆：错判k正负对倾斜方向、b正负对y轴交点位置的影响 2. 正比例函数漏记：忘记b=0时图象过原点，误判象限 3. 象限分析不全：未结合k、b符号综合判断直线经过的象限 4. 函数类型误判：将k=0的常数函数（y=b）当作一次函数 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题的关键是熟知一次函数的性质． 根据一次函数的图象可知，，然后根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 所以一次函数的图象应该经过一、二、四象限， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限是解决此题的关键，由于正比例函数函数值随的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：正比例函数（为常数，）中的的值随着值的增大而减小， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限； 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，本题的关键是熟练掌握一次函数中决定函数的增减性，决定与轴交点的纵坐标．由，，则可得一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴， 只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）一次函数中，若kb<0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由y随着x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，结合kb＜0可得出b＞0，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． ►题型02 一次函数图象与坐标轴的交点问题 1.与x轴的交点 令 ，解得 ，交点为 2.与y轴的交点 令 ，解得 ，交点为 【典例】1．（2025·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标是 B．随的增大而减小 C．当时，函数值 D．的面积是2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标的交点，一次函数的图象与性质，三角形面积的求解，解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入，可求得图象与轴的交点，将代入，可求得图象与轴的交点，从而判断选项A是否正确，因为，结合一次函数的性质，可以判断选项B是否正确，通过点和点坐标，可以求得的面积，判断选项D是否正确，通过可知，通过解不等式判断选项C是否正确． 【详解】将代入，解得 将代入，解得 ， 故A错误； 故D错误； 随的增大而增大 故B错误； 当时，即 解得： 故C正确； 综上所述，故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由图象可得，，，， A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数，得到图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（   ） A．直线与x轴交点的坐标是 B．直线经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】A 【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意； B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意； C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意； D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意； 故选：A． ►题型03 一次函数的增减性 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握利用一次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 由题意知，随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，利用与y轴正半轴相交可以判断常数项，列出一元一次不等式组，求解从而确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可． 【详解】∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴，即， 又∵， ∴， ∴点在第三象限， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． ►题型04 一次函数图象的平移 1. 平移规律记混：颠倒“左加右减（自变量）”“上加下减（常数项）”的适用对象 2. 符号处理失误：左加右减时，自变量未加括号，直接与常数项运算 3. 平移对象混淆：将函数图象平移与点的平移规律（左减右加）弄反 4. 正比例漏处理：忽略b=0时，平移仍需遵循“左加右减自变量”规则 【典例】．（2025·辽宁大连·模拟预测）将直线向右平移2个单位，所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 【详解】解：直线向右平移2个单位，所得直线的解析式为， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数图象平移规律即可得到，根据一次函数性质判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限， ，解得， ． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）函数的图像可由的图像平移的方法是（    ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的平移规律可得出结论． 【详解】解：∵中， ∴函数的图像可由的图像向上平移3个单位长度得到， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练应用一次函数图象的平移规律是解答本题的关键．直线可由直线向上或向下平移得到，当时，将直线沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线；当时，将直线沿y轴向下平移个单位长度，得到直线． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 【答案】A 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线沿轴向左平移2个单位后，则所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可． 【详解】解：将直线向左平移2个单位后，得到直线， 即， 故答案为：． 命题点三 求一次函数表达式 ►题型01 求一次函数表达式 用待定系数法求一次函数表达式： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1. 忽略参数限制：忘记一次函数k≠0，或正比例函数（过原点）需满足b=0 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=kx+b时计算失误 3. 待定条件不足：仅用1个点求2个参数（k、b），或漏用平行（k相等）、垂直等隐含条件 4. 特殊点误判：与x轴/y轴交点坐标记反（x轴交点纵为0，y轴交点横为0） 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）已知华氏温度y（℉）与摄氏温度x（℃）之间的关系为一次函数关系，部分对应数据如下表所示，则y与x之间的函数关系式是（　　） x（℃） … 0 10 20 30 … y（℉） … 14 32 50 68 86 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据给出的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式是解题的关键．设y与x之间的函数关系式是，根据给出的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式是， 将，代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式是． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B． C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】C 【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得， ∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误； 当时，，故C正确； 该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， ∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则， ∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，见解析 (2)或 【分析】（）利用待定系数法可求出的值，进而求出函数解析式，再补全表格即可； （）画出函数图象，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可得，， 解得， 即，， ∴一次函数为， 当时，， 把，代入，得， ∴， ∴反比例函数为， 当时，， ∴补全表格如下： （2）解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当的图象在的图象上方时，的取值范围为或． 命题点四 一次函数与方程（组）及不等式（组） ►题型01 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图是一次函数＝与＝的图象，则下列结论：①；②；③：④方程＝的解是＝，错误的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可； 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，错误的有1个． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程之间的关系，解题关键是利用数形结合思想解题． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：， ， 一次函数的图象与轴交于点， 时，，即时，， 关于的方程的解为． 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）已知一次函数（），如表示与的一些对应数值，则下列结论中错误的个数是（    ） … 0 1 2 … … 6 3 1 … ①随的增大而增大；②该函数的图象经过第一、二、三象限；③该函数的图象与轴的交点是；④关于的方程的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察、分析表格中的所给数据，即可判断． 【详解】解：观察表格中数据可知， 随的增大而减小，故①错误； 点在第二象限，点在第一象限，点在第四象限，即该函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误； 当时，，即该函数的图象与轴的交点是，故③错误； 当时，，即是关于的方程的解，故④错误； 综上，错误结论的个数是4， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，能够运用数形结合思想将一次函数图象与一元一次方程结合起来是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． ►题型02 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 1. 关系混淆：误将方程组的解与函数图象交点横纵坐标对应颠倒（解为交点横纵坐标） 2. 特殊情况漏判：忽略方程组无解（两直线平行，k相等b不等）、无数解（两直线重合，k、b均相等）的图象特征 3. 计算失误：求交点坐标时代入解析式错误，或解方程组移项、系数化1出错 4. 实际限制忽略：未考虑实际问题中自变量取值范围，导致交点坐标非有效解 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）把直线向下平移a个单位后，与直线的交点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的图象平移后的解析式，解一元一次不等式组，两直线的交点问题，解题关键是求两直线的交点． 先求出直线平移后的表达式，再求出平移后的直线与直线的交点坐标，根据交点在第四象限，得到不等式组求解． 【详解】解：把直线向下平移个单位后可得：， ，解得：， 所以直线与直线的交点坐标为， 因为它们的交点在第四象限， 所以，解得：， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知两直线的交点在第三象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】联立两个函数解析式，计算出、的值，进而得到交点坐标，然后再根据交点在第三象限，得到横纵坐标的取值范围，再解不等式组可得的取值范围． 【详解】解：由题意得，解得：， 因此交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两函数图象交点问题，求不等式组的解集，关键是掌握两函数图象的交点，就是联立两函数解析式，求出、的值． ►题型03 一次函数与一元一次不等式（组） 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 1. 图象与不等号对应错：混淆y>0（x轴上方）、y<0（x轴下方）的图象位置 2. 临界点漏处理：忽略不等式等号对应图象与x轴交点，漏判是否包含解 3. 解析式变形失误：化不等式时，k为负系数化1未变号 4. 多函数比较漏判：两函数比较大小时，误判交点两侧的函数值大小关系 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选取正确的部分是解题的关键．先求得结合两函数图象，在点P的右边的图象都低于的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集． 【详解】解：将得 解得：， ∴ 根据函数图象可得：不等式的解集是, 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要是运用一次函数的图像求解一元一次不等式的问题，运用数形结合思想是解题的关键． 要解不等式的解集，就要找出一次函数的图象在函数的图象的上方所对应的x的取值范围；再结合两个一次函数图象，运用上述的结论即可求出不等式的解集，再用数轴表示即可． 【详解】解：根据两一次函数图像的交点可知，当时，一次函数的图象在函数的图象的上方， ∴不等式的解集为． 故选D． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方，此时，进而得到关于的不等式的解集． 【详解】一次函数中，要使关于的不等式 即：时，图象在轴上方 由图可知：，则关于的不等式的解集是 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与函数的图象相交于，，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要找到函数的图象在函数的图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数的图象上方，即此时， 故选：A 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键；从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解,并求得时，则得出，即可求解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 突破一 一次函数的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象是解题关键． 根据题意设，通过“点积值”的定义求出点坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点的坐标，即可求解点的坐标． 【详解】解：点在直线上， 设， 点的“点积值”为， ，解得：， 或， 四边形是平行四边形， ， 设或， 点的“点积值”为， 或，解得：， ， 点在正半轴上， ． 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②存在， (3)①；②；③ 【分析】本题考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，理解定义是解题的关键． （1）根据定义直接求出的解析式为，再将点代入该解析式即可求的值； （2）①求出，，再求的面积即可； ②设，且，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论即可； （3）①时，当时，根据题意得，求得； ②时，当时，根据题意得，求得； ③当时，当时，根据题意得，求得． 【详解】（1）解： 中，， ∴函数的“逆反函数”的解析式为， ∵点在的函数图象上， ， 解得， 故答案为：，； （2）①点是两个函数的交点， ， 则，， 点； ：，当时，， ， ， ， . ②存在，如图，过点向右作线段，使且. ∵且， 四边形是平行四边形， ， 点向右平移个单位得到点， ， . （3）①当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ②当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ③当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的图象与性质，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知点、的坐标满足，即，则点、为直线与长方形边的交点，进而求得点、的坐标，得到、的长度，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，点、的坐标满足， ， 则点、为直线与长方形边的交点，如图所示， ，， 代入得，，， ，， ，， ． 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ． 【答案】 1或/或1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数 “新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：一次函数的“新生函数”为， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 则n的值为1或， 故答案为：；1或． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“加和函数”，在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”，在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点A关于的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． (1)若点在函数的图象上． ①的值为 ，点A关于函数的“加和点”的坐标为 ； ②求函数的“加和函数”的函数表达式． (2)点A在函数的图象上，点A关于函数的“加和点”为点B，点B在点A的上方，设点A的横坐标为． ①当时，求的值； ②在①的条件下，的“加和函数”为，直线交轴于点C，已知正方形，点、、，若将的边构成的图形记为，正方形的边与图形“”的交点个数为两个． （Ⅰ）请直接写出的取值范围； （Ⅱ）若点E在图形“”的内部（不包含边界），正方形于图形“”重叠部分的面积记为S，请直接写出S与的函数表达式． 【答案】(1)①，；② (2)①；②（Ⅰ）或；（Ⅱ） 【分析】本题考查了函数新定义，涉及已知自变量求函数值，待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程，正方形的性质，正确理解题意，找出临界状态是解决本题的关键． （1）由“加和点”与“加和函数”的定义即可求解； （2）①由题意得，由“加和点”定义得：，即，则，解方程即可；②（Ⅰ）：，函数的“加和函数”为，可求，确定点在直线上，当点落在直线， 代入，得：，解得：；当点落在直线，即上， 代入，得：，解得：，故满足题意时，；当点落在上时，此时，当点落在上时，，故满足题意时，，综上所述：正方形的边与图形“”的交点个数为两个时，的取值范围；或；（Ⅱ）记与正方形的边分别交于点，求得，，故，化简即可． 【详解】（1）解：①∵点在函数的图象上， ∴点代入得：， 由定义得：“加和点”为， ∴“加和点”为， 故答案为：，； ②∵， ∴由“加和函数”定义得函数的“加和函数”为：， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 由“加和点”定义得：，即， ∵在上方，且， ∴， 解得：； ②（Ⅰ）∵， ∴， 函数的“加和函数”为， 当时，， ∴ ∵、， ∴设经过的直线为， 代入得： 解得：， ∴点在直线上， 当点落在直线，即上，如图： 代入，得：， 解得：， 当点落在直线，即上，如图： 代入，得：， 解得：， ∴满足题意时，； 当点落在上时，此时， 当点落在上时，， ∴满足题意时，， 综上所述：正方形的边与图形“”的交点个数为两个时，的取值范围；或； （Ⅱ）记与正方形的边分别交于点， 则， 将代入，得， ∴， ∴， 而， 将代入， 得， ∴， ∴ ∴． 突破二 一次函数的图象与性质综合 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： (1)将“翻折函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 (3)当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的增减性，求一次函数的自变量和函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值求出y关于x的函数关系式即可得到答案； （2）联立和可求出点A和点B的坐标，过点C作轴交于D，设，则，可得，分和两种情况，求出的长，根据可建立关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）由函数解析式可得当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，则当时，y有最小值，再分，即时，，即时和，即时三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，看最大值与最小值的差是否为定值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：联立，解得，此时满足， 联立，解得，此时满足， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 如图所示，过点C作轴交于D，设，则， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为； 当时，， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值， 在中，当时，， 在中，当时，，当时，， 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为，是定值，符合题意； 当，即时， 当时，则的最大值为，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 综上所述，． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，_________，_________． (2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为_________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 【答案】(1)；0； (2)见详解； (3)①<，<；②；③. 【分析】（1）选择对应的函数解析式，代入求值即可； （2）描点连线即可； （3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较；②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解；③根据题意可得，由，得， ，得或，解得，，然后根据即可求解. 【详解】（1）解：当时，代入得，，即； 当时，代入得，，即 故答案为：；0 （2）解： （3）解：①把代入中．得 把代入中，得 ∴ 由（2）中的图象可知，当时，或或 当时， ∴ 故答案为：<，<. ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称， ∴. 故答案为：. ③根据题意可得，由，得 ，得或 解得， ， 解得 所以t的值为. 【点睛】本题是新定义题目，考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键． 突破三 一次函数与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点作于点，求得，，，证明，求得，，利用勾股定理列式，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作于点， 将代入一次函数解析式得，， ∴点A的坐标为， 同理可得，点B的坐标为， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点C的坐标为 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，直线分别与轴、轴交于两点；直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）． (1)求点的坐标． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)求（2）中的最大值． (4)当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)或 【分析】 本题考查函数基本性质，求函数最值问题，动点问题，解决本题的关键是观察图形，搞清几何坐标，理清思路，运用分类讨论思想． （1）由于点C是直线与直线的交点，把两直线组成方程组即可； （2）需要分情况讨论：①当时，正方形与重叠部分是矩形，用的代数式表示出矩形的长和宽即可，②当时，正方形与重叠部分是正方形，用的代数式表示出正方形的边长即可； （3）由（2）中的与的关系式中，根据二次函数的最值易解决； （4）考虑边界即可，求定点在正方形内部时，的范围，点在轴上运动，要用到分类讨论． 【详解】（1） 解：由题意，得 解得 ∴； （2）解：根据题意，直线分别与轴、轴交于两点， ∴， 可得，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 当在上时，， ∴， 当时，，即， 当时，，即； （3）解：当时，， ∴时，， 当时，， ∵时，随的增大而减小， ∴时，， ∵， ∴的最大值为； （4） 解：当时，，三点重合； 当时，知时是临界条件，即 ∴点的纵坐标为，点在正方形边界上，继续往左移动，则点进入正方形内部，但点的纵坐标再减少，当点的纵坐标为时， ∴即， 此时满足条件， ∴， 当时，由图和条件知，则有，要满足点在正方形的内部， 则临界条件点横坐标为， ， 即，此时点的纵坐标为：，满足条件， ∴． 综上所述：或． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案． 【详解】解：∵A在直线上， ∴设， ∵轴， ∴， 解得：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选B 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知直线：，直线：，直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点C，与直线交于点D，连接，当是等腰直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出的坐标，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，，， ∴，， 当时，，， ∴，， ∴， 当是等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：，解得：， ②当时，过点作，则：， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接交轴于点，根据菱形的性质求出，再由待定系数法求解函数解析式； （2）①先证明为等边三角形，则，那么，，则，故，过点作于点，可得，故，证明四边形为平行四边形，则； ②当重叠部分为五边形时，过点作于点，表示出，，则，证明为等边三角形，则，故，则，然后表示，则，过点作于点，同理可得，，然后计算，而，最后由建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意． 【详解】（1）解：连接交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， ∴， ∴， ∴直线； （2）解：①在图1中，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，且平移后的为菱形 ∴,， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作于点 ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当重叠部分为五边形时，如图： 过点作于点 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 过点作于点， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意， 综上：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，二次根式的混合运算，平移的性质，等边三角形的判定与性质等知识点． 1．若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．先确定，进而得到，即可得到直线的图象经过一、二、四象限，问题得解． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的图象经过一、二、四象限． 故选：A 2．若一次函数的函数值随的增大而增大，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围． 【详解】解：∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大， ∴k-2＞0， ∴k＞2， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象与x轴的交点坐标是 D．函数的图象向上平移5个单位长度得的图象 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移、一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数性质可判断A、B选项；令，求得，可判断C选项；由函数图象平移规则“上加下减”可判断D选项，进而可求解． 【详解】解：对于一次函数，，， A、函数值随自变量的增大而减小，此选项结论正确，不符合题意； B、该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限，此选项结论正确，不符合题意； C、令，由得， 则函数的图象与x轴的交点坐标是，此选项结论错误，符合题意； D、函数的图象向上平移5个单位长度得即的图象，此选项结论正确，不符合题意， 故选：C． 5．平面直角坐标系内，将直线沿y轴向上平移个单位，所得直线的解析式是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象平移问题，根据平移法则“上加下减”可得出平移后的解析式． 【详解】解：直线沿轴向上平移个单位后的解析式为：，即． 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：∵顶点A在直线上，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点A向右平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线相交于点P，则下列结论中： ①； ②当时，； ③关于x，y的方程组的解是； 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据直线与y轴交于负半轴，直线中y随x增大而增大，可得a＜0，b＞0，即可判断①；根据图象在0＜x＜1的范围内，y2＜y1＜0，即可判断②；根据直线的交点坐标就是两直线解析式组成的方程组的解，可判断③． 【详解】解：由函数图象可知，直线与y轴交于负半轴，直线中y随x增大而增大， ∴a＜0，b＞0， ∴a＜b，①正确； 观察图象可得，当0＜x＜1时，y2＜y1＜0，②正确； ∵直线与直线相交于点P（1，−3）， ∴关于x，y的方程组的解是，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，明确两直线的交点坐标就是两直线解析式组成的方程组的解是解题的关键． 8．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2 【答案】D 【分析】根据待定系数法求得解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得． 【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1）， ∴1＝k﹣2k，解得k＝﹣1， ∴一次函数为y＝﹣x+2， 令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝2， 由图象可知，当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是1≤x＜2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行．直线与轴、轴分别交于点、F．将菱形沿轴向左平移个单位，当点落在的内部时（不包括三角形的边），的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，求出点点的坐标是解题的关键． 如图中，连接交于，延长交于．求出点的坐标，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， ∵菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，对角线与轴平行， ， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ， ∴当时，点落在的内部（不包括三角形的边）． 故选：A． 11．已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故选：D． 12．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 13．如图，把直线向下平移m个单位长度后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，第一象限内的点的坐标特点，先求出平移后直线解析式为，再求出直线与与直线的交点坐标为，则根据题意可得在第一象限，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：把直线向下平移m个单位长度后得到的直线解析式为， 联立， 解得， ∴直线与与直线的交点坐标为， ∵直线与与直线的交点在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 15．在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设，根据“轴”表示出点B的坐标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：点A在直线上， 设， 线段位于第一象限，轴， 点B的坐标为， 点B的“点积值”为28， ，即， 解得，， 点A在第一象限， ， 即点A的横坐标为4， 故答案为：4． 16．如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点作于点F，先证明，根据，得到，利用正切的定义结合点是的中点，求出，设，求出直线的解析式，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点作于点F， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，点．点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 则， 解得：， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证，进而根据三角形的性质即可得出结论； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， ∴取值范围为． ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”． (1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________． ①   ②   ③   ④ (2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． (3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)① (2)0或 (3)或 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征以及新定义“阶定距点”的应用，正确理解“阶定距点”是解答本题扔关键． （1）根据“阶定距点”定义分别判断所给出的四点是不是一次函数图象上的“2阶定距点”； （2）根据“3阶定距点”的定义求解即可； （3）设点P的坐标为，把点代入得，，求出，得，，求出直线的解析式为，设，求得，，列式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①当时，， 所以，点在函数的图象上， 又， 所以是“2阶定距点”； ②当时，， 所以，点在函数的图象上， 但， 所以不是“2阶定距点”； ③当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； ④当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； 所以，是一次函数图象上的“2阶定距点”的是①， 故答案为：①； （2）解：点是一次函数图象上的“3阶定距点” ， ， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 的值为0或； （3）解：点P是一次函数在第一象限内的“5阶定距点”， 设点P的坐标为， 把点代入得， ， 解得，， ，                          ，         设直线的解析式为，把点代入， 解得， 直线的解析式为，      设， 轴，点E在直线上， ， ，                  ， ， 解得，                   或． 20．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 8．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 11．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 12．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，延长交轴于， 求解，，，，，可得，，可得①符合题意；可得，可得②符合题意；如图，连接交于点，连接交于点，结合矩形和平行四边形，可得直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，进一步可得③符合题意；如图，连接，过作于，求解，进一步可得④符合题意． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为， ∴，，，，， ∴，，纸片面积为：，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 如图，连接交于点，连接交于点， ∵矩形和平行四边形， ∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积， ∵，，， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为；故③符合题意； 如图，连接，过作于， 由题意可得：，而的面积为， ∴， ∴， ∵当最小时，最大， ∴当时，最小， ∵， ∴，解得：， 此时， ∴m与n之间的关系式为，故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，矩形，平行四边形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 15．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 11 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $