第6章一元方程组（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，由2个一次方程，且共含有2个未知数组成的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不能组成二元一次方程组，不符合题意； B、含有2次项，不能组成二元一次方程组，不符合题意； C、方程不是整式，不能组成二元一次方程组，不符合题意； D、能组成二元一次方程组，符合题意； 故选D． 2．若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程应含有两个未知数，且每个未知数的次数均为1，同时未知数的系数不能为零，据此求出结论即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程， ∴的指数必须为1，即， 解得：， ∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义）， ∴， ， 故选：C． 3．若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程为多项式，要求找出可能的，由于题目未明确给出解的具体值，需结合选项及方程进行推断．本题考查了二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为，其解需同时满足两个方程， ∴假设解为，（满足），代入各选项验证： A、，不成立，故该选项不符合题意； B、，不成立，故该选项不符合题意； C、，成立，故该选项符合题意； D、，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C 4．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 6．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程组的解，掌握好方程的解的意义是关键． 通过对比表1和表2，找出一对同时满足两个方程的解，即该对解在表1和表2中均出现． 【详解】解： 表1中，当时，，满足方程； 表2中，当时，，满足方程； ∴方程组解为． 故选：C． 7．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为． 由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长， 即． 左边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 右边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 将两块阴影部分的周长相加并化简： 故选A 【点睛】本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 10．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 11．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 12．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将方程的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 14．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 15．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 16．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 17．数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，图4中的“？”表示，将求得的值代入计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 18．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，且各数位上的数字互不相等，则称这个数为“和合数”．那么最小的“和合数”是 ；若一个“和合数”，将其千位与十位数字交换，百位与个位数字交换，得到一个新数，记，若是一个完全平方数，则满足条件的M 的最大值为 ． 【答案】 1203 9687 【分析】本题考查新定义，整式加减的实际应用，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键．根据新定义，得到当“和合数”最小时，，尝试百位从0开始，满足条件且数字互异的最小数即可；根据新定义推出，得到是完全平方数，得到，再根据最大的“和合数”得到，进行推导即可． 【详解】解：由题意，当时，“和合数”最小，为； ∵为“和合数” ∴， ∴ ， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴是完全平方数， ∵各数位上的数字互不相等， ∴， ∵M 最大，则， 当时，， ∵， ∴当，时，最大为； 当时，， ∵， ∴当，时，最大为； 当时，，此时不存在； 综上，最大为； 故答案为：1203，． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，主要用到代入消元法和加减消元法． （1）通过代入消元直接求解； （2）先整理方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：． 由①得，③ 将③代入②得，解得． 将代入③，得． 故方程组的解为； （2）解：方程组整理得到：， 得，解得． 将代入②，得，解得． 故方程组的解为． 20．（本题6分）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．根据题意可得，即可求出，的值． 【详解】解：∵关于x，y 的二元一次方程组的解是， 把关于x，y 的方程组看作关于 和 的二元一次方程组， ∴， 解得． 21．（本题8分）若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 【答案】原方程组的解为，的值为 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，得，求解后将x的值代入计算即可． 【详解】解：由方程组的解互为相反数， 得，将代入原方程组，得， 解得 ． ∴原方程组的解为，的值为． 22．（本题8分）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)见详解 (3)39 【分析】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． （1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出，，即可证明． （3）设该幻方的幻方值为，根据，，得出，，则，由幻方的特征得，，即，，由幻方的特征，用分别表示出幻方空的数，根据最中间的数列等式得出，再根据幻方的特征列方程，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：， 故答案为： 8，0 ； （2）证明：如图， ①根据题意可得，则； ②根据题意可得，则； （3）解：设该幻方的幻方值为， ∵，， ∴，， 则， 由幻方的特征得，， 即， 整理可得，， 则， 由幻方的特征得，左上角的数为， 第三排中间的数为， 第二排第三个空的数为， 最中间的数为， 或， 即， 整理得， 由幻方的特征得，对角线三个数之和为m，即， 解得：， 则， 即幻方值为39． 23．（本题10分）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆 (2)共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；方案②运费最少，最少运费是7800元 【分析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解是解题的关键． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．根据两种方案得出运费解答即可． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得， 消去得，解得， 因a，b是正整数，且不大于16，得， 且是正整数，解得或， 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 两种方案的运费分别是： ①； ②． 答：共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 方案②运费最少，最少运费是7800元． 24．（本题10分）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为 ； （2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴．    操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ， 【答案】经验反馈：（1）；（2）5 操作探究：操作一：5；操作二：①6，② 【分析】经验反馈： （1）根据平衡点的定义进行解答即可； （2）根据平衡点的定义进行解答即可； 操作一、二：根据两个点对折重合，可求出对折点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，求出该点所对应的数． 【详解】解：经验反馈： （1）点表示的数； 故答案为：； （2）点表示的数； 故答案为：5； 操作一：表示1的点与表示的点重合，即对折点所表示的数为， 设这个数为，则有，解得，， 故答案为：5； 操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为， ①设与表示的点重合，则有，解得，， 故答案为：6； ②设点、点所表示的数为、， 则有：， 解得，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离的计算，新定义的含义理解，一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，熟练的利用方程组解题是关键． 25．（本题12分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题考查了平行线的性质、新定义“系数补角”的理解与应用，利用平行线转化角的关系、结合新定义建立方程是解题的关键． （1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】解：（1）设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：，． 26．（本题12分）甲、乙、丙容器中分别有浓度为和的盐水溶液．从乙容器中取出m克盐水倒入甲容器，再给乙容器加入一些清水，当甲、乙容器盐水重量相同时，乙容器的浓度恰好是甲容器的2倍；再从丙容器中取m克盐水按的比例倒入甲、乙两个容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三个容器中盐水的重量相等，这时三个容器中盐水浓度恰好也相同．若最初乙容器中的盐水重量比甲容器多60克，那么，原来丙容器的盐水重量是多少克？ 【答案】200克 【分析】本题考查了溶液的浓度，二元一次方程组的应用，比例分配，正确理解溶液的浓度是解题的关键．先设甲初始重量为x克、乙为克、丙为y克，结合 “乙取m克入甲后，乙浓度是甲的２倍” 建立方程，得；再根据 “丙取m克按倒入甲、乙后，三容器重量和浓度均相同（盐量相等）”，分别表示出甲、乙、丙的最终盐量，通过甲、乙盐量相等联立方程，求出，最后利用甲、丙盐量相等求出． 【详解】解：设甲容器初始重量为克，则乙初始重量为克，丙初始重量为克，转移量为m克． 第一次操作： 甲的重量：，含盐量：，浓度：， 乙的重量：，含盐量：，浓度：， 根据乙浓度是甲的2倍，得， 化简得：①， 第二次操作：（丙取克按1倒入甲、乙，再加水使三容器重量相等) 丙取克，其中倒入甲，倒入乙，丙剩余重量：， 三容器最终重量、浓度相同，故盐量相等， 甲最终盐量：， 乙最终盐量：， 丙最终盐量：， 由甲、乙盐量相等： ， ②， ①代入式②， ， ∴， ∴． ∵甲、丙盐量相等”， ∴， 解得，． 答：原来丙容器的盐水重量是200克． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 一次方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 4．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 5．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．下列表格中，表1中每对x，y的值都是方程的解，表2中每对x，y的值都是方程的解，所以方程组的解为（    ）． 表1 x 0 1 2 y 1 表2 x 0 1 16 y 1 11 A． B． C． D． 7．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 10．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 11．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 12．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是方程的解，则 ． 14．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁． 15．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 16．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 17．数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是 ． 18．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，且各数位上的数字互不相等，则称这个数为“和合数”．那么最小的“和合数”是 ；若一个“和合数”，将其千位与十位数字交换，百位与个位数字交换，得到一个新数，记，若是一个完全平方数，则满足条件的M 的最大值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题6分）解二元一次方程组： (1)； (2)． 20．（本题6分）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 21．（本题8分）若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 22．（本题8分）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 23．（本题10分）一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 24．（本题10分）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： （1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为 ； （2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为 ； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴．    操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ， 25．（本题12分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 26．（本题12分）甲、乙、丙容器中分别有浓度为和的盐水溶液．从乙容器中取出m克盐水倒入甲容器，再给乙容器加入一些清水，当甲、乙容器盐水重量相同时，乙容器的浓度恰好是甲容器的2倍；再从丙容器中取m克盐水按的比例倒入甲、乙两个容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三个容器中盐水的重量相等，这时三个容器中盐水浓度恰好也相同．若最初乙容器中的盐水重量比甲容器多60克，那么，原来丙容器的盐水重量是多少克？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $