第6章一次方程组（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义；根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成解答即可． 【详解】解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组； 方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有2个． 故选：A． 2．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出二元一次方程组是解题的关键． 根据桶容量为10斗，得，根据总米数7斗，得即可得到方程组． 【详解】解：∵桶容量为10斗， ∴， ∵出米率为，y斗谷子出斗米，加上原有x斗米，共得米7斗， ∴， ∴可得方程组：， 故选：A． 5．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：， 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：D． 6．如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质以及列方程组解决实际问题，解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换，进而求出球的数量． 假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，列方程组求未知数的熟练关系即可． 【详解】解：假设用表示球体，表示正方体，表示圆锥体，根据图①②得， 整理得 得， ， 将代入得，， ∴， ∴图3中， 故选：B． 7．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 9．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（   ） 2 5 7 8 A．9 B．1 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键． 由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程、，最终求出并计算 ． 【详解】解：由题意得： 解得： ∴． 故选：B． 10．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得 ， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 11．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的整数解的含义，理解题意是解本题的关键； 把方程化为，再结合均为非负整数，从而可得答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵均为非负整数， 是2的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，，（舍去） ∴方程的非负整数解为：或或共3对； 故选：C． 12．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分．） 13．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握“方程组的解满足方程组中的每一个方程”是解题的关键．利用方程组的解满足方程组中的方程，将已知的值代入对应的方程，求解的值． 【详解】解：∵方程组的解为，且， ∴将代入，得， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 14．把方程变形为用x表示y的形式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把当成常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 15．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 16．若是方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及整体代入法求代数式的值． 将解代入方程得到关于m和n的等式，变形后得出，然后代入求解即可． 【详解】解：将代入方程，得 ，即， 整理得， 将等式两边乘以，得 ，即， 代入代数式，得， 故答案为：3． 17．若实数同时满足，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了绝对值的性质，解二元一次方程组，根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：由和，分情况讨论： 当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 故答案为：16． 18．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法． （1）根据加减消元法，①×2+②即可求得，再将代入②，即可求解； （2）根据加减消元法，③+④×5即可求得，再将代入④，即可求解； 【详解】（1）解：（1）①，得．③ ②+③，得，解得． 把代入②，得， 所以方程组的解为 （2）（2）将方程组整理，得 ③+④×5，得，解得． 把代入④，得， 所以原方程组的解为 20．（6分）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①－②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得， (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 【答案】(1)甲和乙 (2)选甲同学时，原方程组的解为；或选乙同学时，原方程组的解为；见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据解二元一次方程组的步骤即可得出答案； （2）选甲同学时，①－②得，求出y的值，再代入求解即可；选乙同学时，由①得③，先求出y的值再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是甲和乙， 故答案为：甲和乙 （2）解：选甲同学时，①－②得，   ， 把代入， 解得，， 原方程组的解为， 选乙同学时，由①得③， 将③代入②得， ， ， 把代入③可解得，， 原方程组的解为． 21．（8分）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【答案】每个小长方形的是，宽是． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是，宽是． 22．（8分）《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某商家售出哪吒娃娃30个，敖丙娃娃40个，共收入4400元．已知哪吒娃娃的销售单价比敖丙娃娃贵30元，为帮助商家核算两种娃娃的销售单价，小红和小星两位同学进行了如下讨论．请根据小红的想法，求出两种娃娃的销售单价．    【答案】哪吒娃娃的销售单价为80元，敖丙娃娃的销售单价为50元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设哪吒娃娃的销售单价为元，敖丙娃娃的销售单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设哪吒娃娃的销售单价为元，敖丙娃娃的销售单价为元，由题意得： ， 解得， 答：哪吒娃娃的销售单价为80元，敖丙娃娃的销售单价为50元． 23．（10分）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 24．（10分）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 25．（12分）学校创客社团为科技节布置展位，需运输打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱． (1)1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？ (2)现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b 辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用． 【答案】(1)1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱 (2)最省钱的租车方案为租用A型搬运车4辆和B型搬运车2辆，最少费用为102元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据“用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱” 可以列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据现有32个包装箱，计划同时用A型搬运车和B型搬运车，要一次运完，且恰好每辆车都装满货物．列出二元一次方程，求出正整数解即可得到租车方案，再求出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意，得： ，解得， 答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱； （2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱， 需运输32个包装箱，得， 化简得， ∴， ∵，，且a，b为正整数， ∴或， 费用， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∴最省钱方案为，，费用102元． 答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元． 26．（12分）根据以下素材，尝试解决问题： 素材1 2025年湘超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店在第一周比赛前，购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元． 素材2 由于比赛热度持续升温，该商店计划第三周比赛前购进130件“加油”帽和90件“助威”服． 问题解决 问题1 （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； 问题2 （2）求该商店第三周需花费多少元购买“加油”帽和“助威”服？ 【答案】（1）“加油”帽单价为30元，“助威”服单价为40元；（2）该商店第三周需花费7500元购买“加油”帽和“助威”服 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解答本题的关键． （1）设“加油”帽单价为元，“助威”服单价为元，根据购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元，即可得出关于的二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）设“加油”帽单价为元，“助威”服单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：“加油”帽单价为30元，“助威”服单价为40元； （2）元， 答：该商店第三周需花费7500元购买“加油”帽和“助威”服． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 一次方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 6．如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（   ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 7．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 8．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 9．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（   ） 2 5 7 8 A．9 B．1 C．3 D．6 10．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 11．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 12．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分．） 13．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★= ． 14．把方程变形为用x表示y的形式： ． 15．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 16．若是方程的一个解，则代数式的值是 ． 17．若实数同时满足，则的值为 ． 18．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解下列二元一次方程组： (1) (2) 20．（6分）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①－②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得， (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 21．（8分）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 22．（8分）《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某商家售出哪吒娃娃30个，敖丙娃娃40个，共收入4400元．已知哪吒娃娃的销售单价比敖丙娃娃贵30元，为帮助商家核算两种娃娃的销售单价，小红和小星两位同学进行了如下讨论．请根据小红的想法，求出两种娃娃的销售单价．    23．（10分）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 24．（10分）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 25．（12分）学校创客社团为科技节布置展位，需运输打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱． (1)1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？ (2)现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b 辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用． 26．（12分）根据以下素材，尝试解决问题： 素材1 2025年湘超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店在第一周比赛前，购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元． 素材2 由于比赛热度持续升温，该商店计划第三周比赛前购进130件“加油”帽和90件“助威”服． 问题解决 问题1 （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； 问题2 （2）求该商店第三周需花费多少元购买“加油”帽和“助威”服？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $