专题6.1 二元一次方程组和它的解（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题6.1 二元一次方程组和它的解 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念。 2.会检验一对数值是否为方程（组）的解。 3.能根据定义求方程（组）中参数的值或取值范围。 4.会根据实际问题列简单的二元一次方程（组）。 5.培养分析问题、抽象概括的能力，树立数学建模思想。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程（组）的概念及识别方法。 （2）方程（组）的解的检验步骤。 （3）根据定义求参数的值。 （4）根据实际问题列二元一次方程（组）。 难点 （1）理解“含未知数项的次数为1”的含义（区分项的次数与未知数次数）。 （2）区分二元一次方程的解与方程组的解。 （3）列方程（组）时准确寻找等量关系。 （4）理解方程组解的唯一、无数、无解三种情况。 【即学即练】 知识点01：二元一次方程的概念 1.定义：含有两个 ，且含未知数项的次数 的 。 2.满足条件：① ；② ；③ （非单个未知数次数）。 3.一般形式：（，，、、为常数）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：二元一次方程的解 1.定义：使二元一次方程左右两边 的一对未知数的值，用（、为常数）表示。 2.检验方法：将数值代入方程，左右两边相等则为 。 3.解的个数：一般有无数个解，若对未知数取值有限制（如非负整数），则解可能有限个。 【即学即练】 1．（贵州省贵安新区2025-2026学年上学期1月期末八年级数学试题）下列满足二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 知识点03：二元一次方程组的概念 1.定义：把两个共含有 、含未知数项的 的 合在一起，组成二元一次方程组。 2.满足条件：①每个方程为 ；②每个方程为 ；③方程组共含两个未知数（允许单个方程含一个未知数）。 3.一般形式：（与不同时为0，与不同时为0）。 【即学即练】 1．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 知识点04：二元一次方程组的解 1.定义：使方程组中两个方程左右两边均相等的一对未知数的值，是两个方程的 。 2.检验方法：将数值代入两个方程，均 则为解，缺一不可。 3.解的情况：一般有唯一解；特殊情况（如方程等价）有无数个解；方程矛盾则无解。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 题型01识别二元一次方程 方法技巧：紧扣“整式方程+两个未知数+含未知数项次数为1”，排除含分式、高次项（如、）、单个未知数的方程。 【典例1】. （25-26八年级上·河南开封·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）二元一次方程的标准形式为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B． C． D． 题型02识别二元一次方程组 方法技巧：满足“整式方程+一次方程+共含两个未知数”，单个方程可只含一个未知数，排除含分式、高次项的方程。 【典例2】. （25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】. （25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型03检验数值是否为二元一次方程（组）的解 方法技巧：检验方程的解，将数值代入方程左右两边，结果相等则为解；检验方程组的解，需将数值分别代入两个方程，均满足则为解，任一方程不满足则不是。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 题型04根据二元一次方程组的定义求参数 方法技巧：结合“共含两个未知数”“含未知数项次数为1”“未知数系数不为0”列条件，联立求解参数，排除矛盾情况。 【典例4】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）已知是二元一次方程，则 ． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程是二元一次方程，则 ． 题型05根据二元一次方程组的解求参数 方法技巧：将解代入方程组的两个方程，得到关于参数的二元一次方程组，求解参数组合。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 【变式2】. （25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 题型06根据实际问题列二元一次方程（组） 方法技巧：设两个未知数，找出2个独立等量关系（避免重复），分别列出方程，联立为方程组。 【典例6】. （24-25七年级上·吉林·期末）列方程表示“x的四分之一与5的和等于y的2倍” ． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·假期作业）某商品成本价为元，商品上架前定价为元，按定价的8折销售后获利45元．根据题意，可列方程 ． 【变式2】. （24-25七年级下·浙江衢州·期中）某网店开展促销，则买3个鼠标和2个键盘，需支付260元．设鼠标单价为元/个，键盘单价为元/个，可列方程为 ． 【变式3】. （24-25七年级下·江苏淮安·期中）设甲数为，乙数为，则“甲数的3倍等于乙数”列方程是 ． 题型07求二元一次方程的特殊解（非负整数解、正整数解） 方法技巧：用一个未知数表示另一个（如由得），根据限制条件确定未知数取值范围，逐一验证得到符合条件的解。 【典例7】. （24-25七年级下·河南南阳·期中）已知二元一次方程，请写出该方程的一组非负整数解 ． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 【变式2】. （22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【变式3】. （23-24七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 一、单选题 1．已知是二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 3．若是方程的一组解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 二、填空题 5．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 6．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 7．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 8．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 三、解答题 9．若是二元一次方程（a为常数）的一组解，求a的值． 10．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 11．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 12．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 二元一次方程组和它的解 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念。 2.会检验一对数值是否为方程（组）的解。 3.能根据定义求方程（组）中参数的值或取值范围。 4.会根据实际问题列简单的二元一次方程（组）。 5.培养分析问题、抽象概括的能力，树立数学建模思想。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程（组）的概念及识别方法。 （2）方程（组）的解的检验步骤。 （3）根据定义求参数的值。 （4）根据实际问题列二元一次方程（组）。 难点 （1）理解“含未知数项的次数为1”的含义（区分项的次数与未知数次数）。 （2）区分二元一次方程的解与方程组的解。 （3）列方程（组）时准确寻找等量关系。 （4）理解方程组解的唯一、无数、无解三种情况。 【即学即练】 知识点01：二元一次方程的概念 1.定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程。 2.满足条件：①整式方程；②含两个未知数；③含未知数项的次数为1（非单个未知数次数）。 3.一般形式：（，，、、为常数）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中方程只含一个未知数，则不是二元一次方程； B、中方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，则不是二元一次方程； C、中方程含有分式，不是整式方程，则不是二元一次方程； D、中方程含有两个未知数且次数均为1，是整式方程，则是二元一次方程； 故选：D． 知识点02：二元一次方程的解 1.定义：使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，用（、为常数）表示。 2.检验方法：将数值代入方程，左右两边相等则为解。 3.解的个数：一般有无数个解，若对未知数取值有限制（如非负整数），则解可能有限个。 【即学即练】 1．（贵州省贵安新区2025-2026学年上学期1月期末八年级数学试题）下列满足二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各组数代入二元一次方程的等号左边，看其值是否等于0即可得． 【详解】解A．把代入得，不成立； B．把代入得，不成立； C．把代入得，不成立； D．把代入得，成立， 故选：D 知识点03：二元一次方程组的概念 1.定义：把两个共含有两个未知数、含未知数项的次数都是1的整式方程合在一起，组成二元一次方程组。 2.满足条件：①每个方程为整式方程；②每个方程为一次方程；③方程组共含两个未知数（允许单个方程含一个未知数）。 3.一般形式：（与不同时为0，与不同时为0）。 【即学即练】 1．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 知识点04：二元一次方程组的解 1.定义：使方程组中两个方程左右两边均相等的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 2.检验方法：将数值代入两个方程，均满足则为解，缺一不可。 3.解的情况：一般有唯一解；特殊情况（如方程等价）有无数个解；方程矛盾则无解。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 题型01识别二元一次方程 方法技巧：紧扣“整式方程+两个未知数+含未知数项次数为1”，排除含分式、高次项（如、）、单个未知数的方程。 【典例1】. （25-26八年级上·河南开封·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． 选项A、，的次数为2，不符合； 选项B、，含分式，不是整式方程，不符合； 选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合； 选项D、，项次数为2，不符合． 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）二元一次方程的标准形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，据此写出标准形式． 【详解】解：二元一次方程的标准形式为， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 【详解】．解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式3】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，、、为常数，若或，则未知数个数不足两个，故不一定是二元一次方程； B、不是整式方程，且的次数不为1，故不是二元一次方程； C、可化为，含有两个未知数，且次数均为1，是整式方程； D、只含一个未知数，且次数为2，故不是二元一次方程； 故选：C． 题型02识别二元一次方程组 方法技巧：满足“整式方程+一次方程+共含两个未知数”，单个方程可只含一个未知数，排除含分式、高次项的方程。 【典例2】. （25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组中应只含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； B．含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； C．中不是整式方程，故该选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①方程组中的方程不是整式方程，故方程组不是二元一次方程组； ②方程组中的方程不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； ③方程组中含有三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； ④方程组是二元一次方程组； ⑥方程组是二元一次方程组； ⑦方程组是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个， 故选：C． 【变式2】. （25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义，需满足：由两个方程组成、含有两个未知数、每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：选项A中第二个方程为二次方程，不符合定义； 选项B中含有三个未知数，不符合定义； 选项C中两个方程均含两个未知数且均为一次方程，符合定义． 选项D中第一个方程为二次方程，不符合定义； 故选：C． 题型03检验数值是否为二元一次方程（组）的解 方法技巧：检验方程的解，将数值代入方程左右两边，结果相等则为解；检验方程组的解，需将数值分别代入两个方程，均满足则为解，任一方程不满足则不是。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 题型04根据二元一次方程组的定义求参数 方法技巧：结合“共含两个未知数”“含未知数项次数为1”“未知数系数不为0”列条件，联立求解参数，排除矛盾情况。 【典例4】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）已知是二元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】二元一次方程要求两个未知数的次数均为1． 此题考查的是对二元一次方程的定义理解，熟练掌握是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可知， 方程中的次数为1，因此的次数 必须为1，即， 解得． 故答案为：3． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，进而得到的值即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 题型05根据二元一次方程组的解求参数 方法技巧：将解代入方程组的两个方程，得到关于参数的二元一次方程组，求解参数组合。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 题型06根据实际问题列二元一次方程（组） 方法技巧：设两个未知数，找出2个独立等量关系（避免重复），分别列出方程，联立为方程组。 【典例6】. （24-25七年级上·吉林·期末）列方程表示“x的四分之一与5的和等于y的2倍” ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程．x的四分之一可表示为，y的2倍可表示为，即可得答案． 【详解】解：x的四分之一可表示为，y的2倍可表示为， ∴可列方程为． 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·假期作业）某商品成本价为元，商品上架前定价为元，按定价的8折销售后获利45元．根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．根据售价的两种表示法列方程即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·浙江衢州·期中）某网店开展促销，则买3个鼠标和2个键盘，需支付260元．设鼠标单价为元/个，键盘单价为元/个，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．理解题意，找准等量关系即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·江苏淮安·期中）设甲数为，乙数为，则“甲数的3倍等于乙数”列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，解题关键是掌握列二元一次方程的方法． 根据倍用乘法，列出方程． 【详解】解：设甲数为，乙数为， ∵甲数的3倍等于乙数， ∴， 故答案为：． 题型07求二元一次方程的特殊解（非负整数解、正整数解） 方法技巧：用一个未知数表示另一个（如由得），根据限制条件确定未知数取值范围，逐一验证得到符合条件的解。 【典例7】. （24-25七年级下·河南南阳·期中）已知二元一次方程，请写出该方程的一组非负整数解 ． 【答案】（4个解或或或中任写一个即可） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先得到，再根据x、y都是非负整数，讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴原方程的非负整数解为或或或， 故答案为：（4个解或或或中任写一个即可）． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，解题关键是通过变形用一个未知数表示另一个未知数，再结合非负整数的限制条件逐一验证取值． 将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负整数的条件确定未知数的可能取值． 【详解】解：由方程 ，解得 ． ∵，为非负整数， ∴必须是的倍数且，． 当时，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，符合； 当时，，为负数，不符合． ∴满足条件的解有组． 故答案为：． 【变式2】. （22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 【变式3】. （23-24七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 【答案】(1)；3或10； 或 (2)17 【分析】本题主要考查了解二元一次方程： （1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案； （2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，且x、y都是正整数， ∴； ∵是正整数， ∴当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴原方程的正整数解为： 或； 故答案为：；3或10； 或 （2）解：设这个正整数为m，（k为正整数）， ∴， ∵m与23的差是6的倍数， ∴可设， ∴， ∴是整数，且要保证， ∴当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∵k随n增大而增大，m随k增大而增大， ∴m的最小值即为17． 一、单选题 1．已知是二元一次方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将给定的解代入方程，求解 m 的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ . 故选： A． 2．下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将每个选项的x和y值代入方程，验证是否成立． 【详解】解：选项A：，不是二元一次方程的解； 选项B：，不是二元一次方程的解； 选项C：，不是二元一次方程的解； 选项D：，是二元一次方程的解． 故选：D． 3．若是方程的一组解，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将解代入方程，通过移项直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 移项得， ∴． 故选：D． 4．若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程解的定义及解一元一次方程，熟记解的定义及一元一次方程解法是解决问题的关键． 将给定的解代入关于的二元一次方程，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解： 是关于的二元一次方程的一个解， ∴， 即， 解得， 故选：A． 二、填空题 5．把方程改写成用含的式子表示的形式是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程，等式的性质，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数．将给定的解代入二元一次方程，通过求解一元一次方程得到的值，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入方程，得， 即， 移项得， 解得， 故答案为 7．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键. 先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可. 【详解】解：把代入得：． 则． 故答案为：． 8．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 三、解答题 9．若是二元一次方程（a为常数）的一组解，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程（a为常数）的一组解， ∴， ∴． 10．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 11．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 12．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $