第6章 一元方程组单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程（组）、三元一次方程组的概念及解的含义。 2.熟练运用代入、加减消元法解二元一次方程组，能解简单三元一次方程组。 3.能从实际问题中抽象等量关系，列方程组解决常见实际问题。 4.体会消元、建模思想，提升运算准确性和问题分析能力。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程组的代入消元法和加减消元法。 （2）实际问题中等量关系的挖掘与方程组构建。 （3）二元一次方程组解的概念及应用。 难点 （1）消元方法的灵活选择与运用。 （2）复杂实际问题中隐藏等量关系的提取。 （3）含参数方程组的求解与整数解分析。 （4）三元一次方程组向二元一次方程组的转化。 知识点01：二元一次方程的概念与解 1.定义：含有 ，且含未知数的项的次数都是 的 ，一般形式为（，）。 2.解的概念：使方程左右两边 两个未知数的值，有无数组解，可表示为（或）的形式。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ． 知识点02：二元一次方程组的概念与解 1.定义：由两个 组成，共含 ，且含未知数的项的 都是1的整式方程组。 2.解的概念：使方程组中两个方程均成立的未知数的值，通常有 （特殊情况无数组或无解）。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 知识点03：二元一次方程组的解法 1. ：将一个方程变形为（或），代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解。 2. ：化同一未知数系数为相等或相反，通过加减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 3.核心思想：消元，将二元问题转化为 。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·广东揭阳·期末）解方程组： (1) (2) 知识点04：三元一次方程组的初步认识 1.定义：含有 ，且含未知数的项的次数都是1的 。 2.解法思路：逐步消元，先转化为 方程组，再转化为 方程求解。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 题型01二元一次方程（组）的概念辨析 方法技巧：紧扣定义，判断未知数个数、项的次数、是否为整式；方程组需满足“共含两个未知数+两个二元一次方程”。 【典例1】. （25-26八年级上·江西九江·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】. （23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 题型02选择恰当方法解二元一次方程组 方法技巧：未知数系数为1或-1时，优先用代入消元法；同一未知数系数成倍数或易化为相反/相等时，优先用加减消元法；含括号或复杂式子先化简再选方法。 【典例2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式1】. （2025-2026学年上学期期末教学质量监测七年级数学试题卷）小明解方程组时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由，得．③ ，得， 解得． … 解法二：将方程①移项，得，③ 将③式代入方程②，得， 解得． … (1)上述两种解法中，解法一称为________，解法二称为________；（填“代入消元法”或“加减消元法”） (2)判断：解法________（填“一”或“二”）的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 题型03解简单的三元一次方程组 方法技巧：优先消去系数简单的未知数，转化为二元一次方程组，再按二元方程组解法求解。 【典例3】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）解方程组． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程： (1)； (2)． 题型04根据方程组的解求参数的值 方法技巧：将解代入原方程组，得到关于参数的一元一次方程（或方程组），求解后验证。 【典例4】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【变式1】. （23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【变式2】. （23-24七年级下·四川南充·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式3】. （24-25七年级下·吉林·月考）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 题型05求二元一次方程的特殊解 方法技巧：将方程变形为（或），根据限制条件代入取值，筛选符合要求的解。 【典例5】. （24-25七年级下·江西上饶·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【变式1】. （23-24七年级下·湖北武汉·月考）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【变式2】. （2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有____ 个． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏泰州·期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有_______种． 题型06和差倍分问题 方法技巧：根据“和、差、倍、分”关键词（如“比…多”“是…的几倍”）建立等量关系，设两个未知数列方程组。 【典例6】. （24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【变式1】. （2021·广东·模拟预测）某公司计划购买普通医用口罩和专业口罩捐赠给湖北，已知专业口罩的单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只． (1)请问普通医用口罩和专业口罩的单价各为多少？ (2)如果该公司计划购买普通医用口罩和专业口罩共5万只，总费用不超过12万元，通过计算说明最多可以购买专业口罩多少万只？ 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 题型07行程问题 方法技巧：核心公式；相遇：路程和=总距离；追及：路程差=初始距离；顺逆：顺速=静速+辅助速度，逆速=静速-辅助速度。 【典例7】. （25-26八年级上·江西鹰潭·月考）聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【变式3】. （2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 题型08工程问题 方法技巧：工作量=效率×时间；总工作量设为1（或具体数值）；合作效率=各单独效率之和，根据工作量关系列方程。 【典例8】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【变式1】. （25-26九年级上·湖南长沙·期中）2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【变式2】. （24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 题型09配套问题 方法技巧：根据配套比例（如1个部件A配2个部件B）建立等量关系：，设生产数量或人数列方程。 【典例9】. （25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，可列方程组为 ． 【变式1】. （24-25七年级下·江苏泰州·月考）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组 ． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【变式3】. （24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 题型10销售利润问题 方法技巧：利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量；根据成本、售价、利润的关系找等量关系，列方程组求解。 【典例10】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进、两种航模进行科创实验，据了解，2件种航模和3件种航模共需180元；3件种航模和1件种航模共需130元．求，两种航模每件分别为多少元？ 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁本溪·期末）某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 【变式2】. （25-26七年级上·贵州安顺·期末）苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用元购进，两款苗绣产品共件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 款 款 进价(元/件) 标价(元/件) (1)这两款苗绣产品各购进多少件？ (2)若款苗绣产品按标价的八折出售，且这件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润元，则款苗绣产品按标价的几折出售？ 【变式3】. （25-26七年级上·云南玉溪·期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 题型11方案选择与最优决策 方法技巧：根据题意列方程组，求出所有正整数可行方案；结合经费、数量、效率等限制条件，对比各方案优劣，筛选最优解。 【典例11】. （24-25七年级下·广东广州·期末）学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【变式1】. （24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． (1)若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； (2)在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中的带队教师最多有多少人？ 【变式2】. （24-25七年级下·福建厦门·期末）“五一”黄金周，厦门市成为了国内热点旅游城市．许多游客常选“馅饼”和“椰子饼”作为伴手礼．已知购买3盒馅饼和2盒椰子饼共花费96元；购买1盒馅饼和4盒椰子饼共花费92元． (1)求馅饼和椰子饼的单价各是多少； (2)某商场的两家饼铺推出不同的促销方案：甲店全场九折；乙店100元任选6盒，不足6盒的部分按原价计费．小明打算购买馅饼和椰子饼共7盒（两种都购买），现有三种购买方案： 方案A：全部都在甲店购买，设购买x盒馅饼，则费用为 ； 方案B：全部都在乙店购买，则最低费用为 ； 方案C：在乙店购买6盒后，再到甲店购买1盒，则最低费用为 ； 试探究哪种购买方案更划算． 【变式3】. （23-24七年级下·山东临沂·期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 题型12新定义与阅读理解型问题 方法技巧：先读懂题干新定义（如运算规则、概念定义），提取关键条件，将文字描述转化为二元一次方程（组），按常规解法求解后验证是否符合定义要求。 【典例12】. （24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【变式1】. （24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【变式2】. （23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【变式3】. （25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 解得：． 一、单选题 1．下列四组数值中，哪一组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（   ） A． B． C． D． 4．已知是方程的一个解，则常数的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 二、填空题 6．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 7．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为 ． 8．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 10．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 三、解答题 11．解下列方程、方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 12．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算 14．根据图中提供的信息，若在圆柱形容器中同时放入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，求需要同时放入的小球、大球的数量． 15．某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 16．八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小罗的方法，的值为______，的值为______． (2)请按照小湖的思路求出的值． (3)老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 一次方程组 教学目标 1.理解二元一次方程（组）、三元一次方程组的概念及解的含义。 2.熟练运用代入、加减消元法解二元一次方程组，能解简单三元一次方程组。 3.能从实际问题中抽象等量关系，列方程组解决常见实际问题。 4.体会消元、建模思想，提升运算准确性和问题分析能力。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程组的代入消元法和加减消元法。 （2）实际问题中等量关系的挖掘与方程组构建。 （3）二元一次方程组解的概念及应用。 难点 （1）消元方法的灵活选择与运用。 （2）复杂实际问题中隐藏等量关系的提取。 （3）含参数方程组的求解与整数解分析。 （4）三元一次方程组向二元一次方程组的转化。 知识点01：二元一次方程的概念与解 1.定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式为（，）。 2.解的概念：使方程左右两边相等的两个未知数的值，有无数组解，可表示为（或）的形式。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数，根据二元一次方程的定义，方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，同时y的系数不能为零，由此可解． 【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程， ，且， ，且， ， 故答案为：． 知识点02：二元一次方程组的概念与解 1.定义：由两个二元一次方程组成，共含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 2.解的概念：使方程组中两个方程均成立的未知数的值，通常有唯一组解（特殊情况无数组或无解）。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组是二元一次方程组，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； B、方程组中含x、y、z三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； C、方程组中两个方程均为一次方程，且只含x和y两个未知数，故方程组是二元一次方程组； D、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 知识点03：二元一次方程组的解法 1.代入消元法：将一个方程变形为（或），代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解。 2.加减消元法：化同一未知数系数为相等或相反，通过加减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 3.核心思想：消元，将二元问题转化为一元问题。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·广东揭阳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据代入消元法可进行求解方程； （2）先将②变形，再根据加减消元法可进行求解方程． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： 将②变形得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， ∴方程组的解为． 知识点04：三元一次方程组的初步认识 1.定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 2.解法思路：逐步消元，先转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。 【即学即练】 1.（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可； （3）根据解三元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （2）解： 去分母整理得：， 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （3）解： 得：， 解得， 得：， 将代入得， 原方程组的解为． 题型01二元一次方程（组）的概念辨析 方法技巧：紧扣定义，判断未知数个数、项的次数、是否为整式；方程组需满足“共含两个未知数+两个二元一次方程”。 【典例1】. （25-26八年级上·江西九江·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、方程中，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且两个方程都是整式方程组成的方程组，即可作答． 【详解】解：A、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； B、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； C、方程组含三个未知数x、y、z，不符合两个未知数条件，不符合题意； D、方程组含两个未知数x和y，且方程和均为一次方程，符合题意． 故选D． 【变式2】. （25-26七年级上·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 【变式3】. （23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 题型02选择恰当方法解二元一次方程组 方法技巧：未知数系数为1或-1时，优先用代入消元法；同一未知数系数成倍数或易化为相反/相等时，优先用加减消元法；含括号或复杂式子先化简再选方法。 【典例2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】. （2025-2026学年上学期期末教学质量监测七年级数学试题卷）小明解方程组时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由，得．③ ，得， 解得． … 解法二：将方程①移项，得，③ 将③式代入方程②，得， 解得． … (1)上述两种解法中，解法一称为________，解法二称为________；（填“代入消元法”或“加减消元法”） (2)判断：解法________（填“一”或“二”）的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组． 【答案】(1)加减消元法，代入消元法 (2)一 (3)改正见解析， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法； （2）解法一中的结果应为，解法二正确； （3）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法， 故答案为：加减消元法，代入消元法； （2）解：解法一中的结果应为，解法二正确； 故答案为：一； （3）解：由，得．③ ，得， 解得． 将代入得， 解得． ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 题型03解简单的三元一次方程组 方法技巧：优先消去系数简单的未知数，转化为二元一次方程组，再按二元方程组解法求解。 【典例3】. （25-26六年级上·上海普陀·月考）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ∴方程组的解为． 【变式1】. （2026七年级下·全国·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握消元思想是解题的关键． （1）观察方程结构，通过消去，得到含的二元方程，与①联立消元求解，再回代求； （2）由①得，代入消去，转化为关于的二元方程组，求解后回代求； （3）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求； （4）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求． 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【详解】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为． 题型04根据方程组的解求参数的值 方法技巧：将解代入原方程组，得到关于参数的一元一次方程（或方程组），求解后验证。 【典例4】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 【变式1】. （23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 【变式2】. （23-24七年级下·四川南充·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·吉林·月考）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 题型05求二元一次方程的特殊解 方法技巧：将方程变形为（或），根据限制条件代入取值，筛选符合要求的解。 【典例5】. （24-25七年级下·江西上饶·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)B (3)或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． （1）先仿照题意得到，再根据x、y是正整数求解即可； （2）根据题意得出的值为6或3或2或1，据此求解即可； （3）利用加减消元法消去x，用含k的式子表示出y，根据y为正整数求出k的值，再带回验证x的值是否为正整数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴x必须是2的倍数， ∴当时，， ∴方程的正整数解为； （2）解：解：∵为自然数， ∴的值为6或3或2或1， ∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个， 故选：B； （3）解：解：， 得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ∴的值为1或3， 或， 当时，此时,则，解得，符合题意； 当时，此时,则，解得，符合题意； ∴或。 【变式1】. （23-24七年级下·湖北武汉·月考）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 【变式2】. （2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 【变式3】. （23-24七年级下·江苏泰州·期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 【答案】(1)①；② ， (2)摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）①根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；②先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为非负整数，即可求解； （3）设摸到x个红球，y个白球，根据，求出x，y的非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ， ②由①得方程为， ∴， 解得：， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，； （2）解：设摸到x个红球，y个白球， 根据题意得：， ， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，， 摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球． 题型06和差倍分问题 方法技巧：根据“和、差、倍、分”关键词（如“比…多”“是…的几倍”）建立等量关系，设两个未知数列方程组。 【典例6】. （24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【变式1】. （2021·广东·模拟预测）某公司计划购买普通医用口罩和专业口罩捐赠给湖北，已知专业口罩的单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只． (1)请问普通医用口罩和专业口罩的单价各为多少？ (2)如果该公司计划购买普通医用口罩和专业口罩共5万只，总费用不超过12万元，通过计算说明最多可以购买专业口罩多少万只？ 【答案】(1)普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元； (2)最多可以购买专业口罩1万只． 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元，根据数量总价单价，结合用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只，根据总价单价数量，结合总价不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元． （2）解：设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只， 依题意得：， 解得：． 答：最多可以购买专业口罩1万只． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 题型07行程问题 方法技巧：核心公式；相遇：路程和=总距离；追及：路程差=初始距离；顺逆：顺速=静速+辅助速度，逆速=静速-辅助速度。 【典例7】. （25-26八年级上·江西鹰潭·月考）聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 【变式3】. （2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 题型08工程问题 方法技巧：工作量=效率×时间；总工作量设为1（或具体数值）；合作效率=各单独效率之和，根据工作量关系列方程。 【典例8】. （25-26八年级上·陕西西安·月考）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 【变式1】. （25-26九年级上·湖南长沙·期中）2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】(1)甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 【变式2】. （24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【变式3】. （2025八年级上·全国·专题练习）黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 题型09配套问题 方法技巧：根据配套比例（如1个部件A配2个部件B）建立等量关系：，设生产数量或人数列方程。 【典例9】. （25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，通过题意找到等量关系，然后列出方程组即可求解． 【详解】解：设名工人生产螺栓，名工人生产螺母， 由题意可得：． 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级下·江苏泰州·月考）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 【变式3】. （24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 题型10销售利润问题 方法技巧：利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量；根据成本、售价、利润的关系找等量关系，列方程组求解。 【典例10】. （25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）我国航天事业已经成功实现了载人航天、月球探测、火星探测、空间站建设等多个重大项目，拥有自主的运载火箭、卫星、航天器等核心技术，具备独立的发射和控制能力．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进、两种航模进行科创实验，据了解，2件种航模和3件种航模共需180元；3件种航模和1件种航模共需130元．求，两种航模每件分别为多少元？ 【答案】A种航模每件30元，B种航模每件40元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用． 设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据“2件A种航模和3件B种航模共需180元；3件A种航模和1件B种航模共需130元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设A种航模每件x元，B种航模每件y元，根据题意，得： ， 解得， 答：A种航模每件30元，B种航模每件40元． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁本溪·期末）某专卖店用相同的价格，分两次购进了和两种型号的品牌电视机，两次购进情况如下表： 次 （台） （台） 总进价（元） 第1次 第2次 (1)求该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，单价分别是多少？ (2)该专卖店在销售的时候，给这两种型号的品牌电视机标价为：为元/台，为元/台．当两种型号的电视机各销售一半的时候，专卖店打算搞促销活动，剩余的电视机打折：打9折，打8折，该专卖店共获利多少元？ 【答案】(1)该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元 (2)该专卖店共获利元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是找到等量关系． （1）设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润等于A型号电视机利润加上B型号电视机利润求解即可． 【详解】（1）解：设购进型号电视机单价为元，购进型号电视机的单价为元 由题意得， 解得， 答：该专卖店购进的两种型号的品牌电视机，A单价为元，B为元； （2）A型号电视机利润为：（元）， B型号电视机利润为：（元）， 该专卖店共获利（元）． 答：该专卖店共获利元． 【变式2】. （25-26七年级上·贵州安顺·期末）苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用元购进，两款苗绣产品共件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 款 款 进价(元/件) 标价(元/件) (1)这两款苗绣产品各购进多少件？ (2)若款苗绣产品按标价的八折出售，且这件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润元，则款苗绣产品按标价的几折出售？ 【答案】(1)款苗绣产品购进件，款苗绣产品购进件 (2)款苗绣产品按标价的七折出售 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次方程的实际应用． （1）通过设未知数，根据“总件数”和“总进价”列方程组求解； （2）根据“总利润=单件利润×数量”列方程，计算款的折扣． 【详解】（1）解：设款苗绣产品购进件，款苗绣产品购进件． 根据题意，列出方程组： 解得. 答：A款苗绣产品购进件，款苗绣产品购进件． （2）解：设款苗绣产品按标价的折出售． 根据题意，列出方程：， 解得． 答：款苗绣产品按标价的七折出售． 【变式3】. （25-26七年级上·云南玉溪·期末）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】(1)应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿 (2)每副镜架的出厂价应定为元 【分析】（1）考查二元一次方程组的实际应用(配套问题)，核心思路是根据“镜腿数量是镜框数量的2倍”这一关系列方程组求解； （2）考查一元一次方程在经济利润问题中的应用，核心是对“利润率”公式的理解与运用． 【详解】（1）解：设分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿． 根据题意，得， 解得， 答：应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿； （2）解：设每副镜架的出厂价应定为元． 根据题意，得 解得：． 答：故每副镜架的出厂价应定为元． 题型11方案选择与最优决策 方法技巧：根据题意列方程组，求出所有正整数可行方案；结合经费、数量、效率等限制条件，对比各方案优劣，筛选最优解。 【典例11】. （24-25七年级下·广东广州·期末）学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． (1)求、两种品牌的足球的销售单价； (2)学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【答案】(1)品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； (2)①，；②最多可以买个品牌的足球． 【分析】（1）设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元，根据“买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；根据按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； （2）根据题意得：按“方案”需要花费元； 按“方案”需要花费元． 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最大值为． 答：最多可以买个品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式1】. （24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． (1)若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； (2)在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中的带队教师最多有多少人？ 【答案】(1)带队教师的人数为3人； (2)该队伍中的带队教师最多有5人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式结合题意即可得解． 【详解】（1）解：设学生有y人， 由题意得： 解得：， 答：带队教师的人数为3人； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为5， 答：该队伍中的带队教师最多有5人． 【变式2】. （24-25七年级下·福建厦门·期末）“五一”黄金周，厦门市成为了国内热点旅游城市．许多游客常选“馅饼”和“椰子饼”作为伴手礼．已知购买3盒馅饼和2盒椰子饼共花费96元；购买1盒馅饼和4盒椰子饼共花费92元． (1)求馅饼和椰子饼的单价各是多少； (2)某商场的两家饼铺推出不同的促销方案：甲店全场九折；乙店100元任选6盒，不足6盒的部分按原价计费．小明打算购买馅饼和椰子饼共7盒（两种都购买），现有三种购买方案： 方案A：全部都在甲店购买，设购买x盒馅饼，则费用为 ； 方案B：全部都在乙店购买，则最低费用为 ； 方案C：在乙店购买6盒后，再到甲店购买1盒，则最低费用为 ； 试探究哪种购买方案更划算． 【答案】(1)馅饼的单价为20元，椰子饼的单价为18元 (2)元；118元；元；当购买一盒馅饼时，方案A更划算，当购买的馅饼大于1盒时，方案C更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式等等，正确理解题意是解题的关键． （1）设馅饼的单价为x元，椰子饼的单价为y元，根据购买3盒馅饼和2盒椰子饼共花费96元；购买1盒馅饼和4盒椰子饼共花费92元建立方程组求解即可； （2）方案A中，购买椰子饼，分别计算出两种饼的费用，求和可得方案A的费用；方案B中，6盒饼需要100元，剩下一盒饼为椰子饼时费用最低；方案C中，6盒饼需要100元，剩下一盒饼为椰子饼时费用最低；比较出方案A与方案C的费用大小关系即可得到答案． 【详解】（1）解：设馅饼的单价为x元，椰子饼的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：馅饼的单价为20元，椰子饼的单价为18元； （2）解：方案A的费用为元； 方案B的最低费用为元； 方案C的最低费用为元； 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当购买一盒馅饼时，方案A更划算，当购买的馅饼大于1盒时，方案C更划算． 【变式3】. （23-24七年级下·山东临沂·期末）下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【答案】任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中的等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组是解题的关键. （1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： ，即， ，其中为正整数， 当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ， 还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． 题型12新定义与阅读理解型问题 方法技巧：先读懂题干新定义（如运算规则、概念定义），提取关键条件，将文字描述转化为二元一次方程（组），按常规解法求解后验证是否符合定义要求。 【典例12】. （24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 【变式1】. （24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 【变式2】. （23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【变式3】. （25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考下面是小明同学研究二元一次方程组时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】关于x，y的二元一次方程，若将的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． 【问题解决】（1）的“对称方程”为_____①____，并直接写出由它们组成的方程组的解：__②____． （2）若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，  求的平方根． 任务： (1)问题解决（1）中的①为_____，②应填_____． (2)问题解决（2）中的的平方根为_____． (3)由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组的解为，求和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知方程组的解求参数． （1）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，求解即可； （2）根据“对称方程”的定义得到的“对称方程”，得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求出m的值，即可求出的值，求其平方根即可； （3）根据题意得到方程组，将代入方程组得到新的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为，由它们组成的方程组为， 解得：， 故答案为：，； （2）解：根据“对称方程”的定义可知的“对称方程”为， 由它们组成的方程组为， ∵解为， ∴ 得：，即， 将代入①得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：； （3）解：由二元一次方程和其“对称方程”组成的方程组为， ∵解为， ∴， 解得：． 一、单选题 1．下列四组数值中，哪一组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，将各选项代入方程 ，验证是否成立即可． 【详解】解：选项A: , ，代入得 ，不符合题意； 选项B: , ，代入得 ，不符合题意； 选项C: , ，代入得 ，符合题意； 选项D: , ，代入得 ，不符合题意； 故选C． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数十位的一个算1个10，个位的的一个横的算一个5，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18； 第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26； 所以可列方程为． 故选：D． 4．已知是方程的一个解，则常数的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式代入求值，理解方程解的含义是解题关键． 将，代入方程中，求解的值即可． 【详解】解：∵方程的解为，， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：． 5．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 二、填空题 6．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 7．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为 ． 【答案】128 【分析】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 利用二元一次方程组，求出的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【详解】解：由，得， ，， 解得， 由得，白色小正方形的边长为， ∴黑色大正方形的边长为， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为， 故答案为：128． 8．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了解二元一次方程组，代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算定义，利用已知条件建立方程组求解参数和，再代入求值 【详解】解：，且， ∴ 解得： ， ． 故答案为：． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，利用二元一次方程组和解满足的条件，通过加减消元法求出 和 y的值，再代入方程求 即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴二元一次方程组的解也是二元一次方程组的解， 解，得， 把代入，得， 解得； 故答案为：． 10．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 【答案】2031 【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解． 【详解】解：∵， 解方程组得，， ∵，为整数， ∴和均可以被41整除， 设（m为整数），则； 我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数： ∴； 代入上式： ； ∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数． 设（t为整数），即． 把代入： ， 得． ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴． 故答案为：2031． 三、解答题 11．解下列方程、方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】此题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，熟练掌握其解法是做题的关键．（1）-（4）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可；（5）-（8）根据解二元一次方程组的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该方程的解为：． （2）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该方程的解为：． （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴该方程的解为：． （4）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴该方程的解为：． （5）解：， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， ∴该方程组的解为：． （6）解：， 由②得：③， 将③代入①，得：， 解得：， 将代入③，得：． ∴该方程组的解为：． （7）解：， 由①得：③， 将③代入②，得：， 解得：， 将代入③，得：， ∴该方程组的解为：． （8）解：， ，得：③， ，得：④， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴该方程组的解为：． 12．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算 【答案】0 【分析】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键． 因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可． 【详解】解：将代入方程得：，即； 将代入方程得：，即，. 将，代入， 则． 14．根据图中提供的信息，若在圆柱形容器中同时放入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，求需要同时放入的小球、大球的数量． 【答案】需要同时放入小球6个，大球4个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据体积变化建立方程组的方法是解题的关键． 先根据图中放入小球、大球后水面上升的高度，求出单个小球和大球的体积，再结合放入个球后水面上升至的条件，设小球、大球数量为未知数，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设同时放入小球个，大球个，圆柱的底面积为， 则一个小球的体积为， 一个大球的体积为． 由题意可得 解得 答：需要同时放入小球个，大球个． 15．某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人”列方程求解即可； （2）设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件，根据每天生产的A零件和B零件刚好配套列方程求解． 【详解】（1）解：设新调入x名工人， 根据题意得：， 解得， 答：新调入8名工人． （2）解：由（1）知，调入8名工人后，车间有工人名， 设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件， 因为每天生产的A零件和B零件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 答：应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件． 16．八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小罗的方法，的值为______，的值为______． (2)请按照小湖的思路求出的值． (3)老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 【答案】(1)5， (2) (3)① 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据二元一次方程组的解法进行求解即可； （2）根据小湖的思路进行求解即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：将①③联立可得， 得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； 故答案为：5，； （2）解：由可得： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得：小湖的方法则体现了整体思想； 故答案为①． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $